陕西省黄陵中学2016-2017学年高二（重点班）下学期期中考试数学（文）试题 Word版含答案

高二重点班文科数学中期考试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
3．下列各数中，纯虚数的个数是(　　)
2＋，i,0i,5i＋8，i(1－)，0.618
A．0
B．1
C．2
D．3
4．下列推理正确的是(　　)
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a，b均为正实数，则lg
a＋lg
b≥
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－≤－2
＝－2
5．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
6．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
8．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　)
A．z1＋z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
9．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
10．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是(　　)
A.
B．
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)
A.
B．
C.
D．
12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：
数学物理　　　
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为(　　)
A．0.5%
B．1%
C．2%
D．5%
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
14．已知x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.
16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2
012对应于________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17（10分）．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.
18（12分）．(1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
(2)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．
19．(已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
20．(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数列．
21．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5
2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4
1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
图1－4
．
22．(本小题满分12分)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)
A．3
690
B．3
660
C．1
845
D．1
830
答案及解析
1.解析：　a＝0时，a＋bi不一定为纯虚数，因为a＝0，b＝0时，a＋bi＝0，但当a＋bi为纯虚数时，a＝0.
答案：　B
2.解析：　由复数相等的条件可知解得
答案：　A
3解析：　根据纯虚数的定义知，i，i(1－)是纯虚数．
答案：　C
4.解析：　A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg
a，lg
b正负不确定，故C错．
答案：　D
5.解析：　使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．
答案：　C
6.解析：　z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i.
.答案：　D
7.解析：　由z1＋z2＝0，得解得故选D.
答案：　D
8.解析：　∵＋－＝－＝0.∴z1＋z2－z3＝0.
答案：　D
9.解析：　“恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D.
答案：　D
10.解析：　假设f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，
亦即方程f(x)＝x有实数根，
所以x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数根，
则Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3≥0，
解得a≤－或a≥，
故当f(x)不存在好点时，
a的取值范围是－故选A.
答案：　A
11.解析：　设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P(
)＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P(
)＝，故选D.
答案：　D
12.解析：　代入公式得K2的观测值
k＝≈4.514＞3.841查表可得．
答案：　D
13．答案：　菱形的对角线互相垂直且平分
14．解析：　“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：　x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
15．答案：　知识　并集　交集　补集
16.解析：　设由每一行的第一个数构成数列{an}，
则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，an－an－1＝2n－2.
以上各式相加可得an＝n2－n＋2.
令n2－n＋2≤2
012，解不等式可得n的最大值为45，所以2
012在第45行，第45行的第一个数为a45＝452－45＋2＝1
982.
因为2
012－1
982＝30,30÷2＝15，所以2
012为第16个数．
答案：　(45,16)
17解析：　z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，且x，y∈R.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
18解析：　(1)根据复数相等的充要条件得解得x＝，y＝4.
(2)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
19解：(1)对任意n∈N
，
∵an＋1－an＝－
＝<0，
∴数列{an}是递减数列．
(2)令an<0，即<0，
∴n2＋5n＋4<0 (n＋4)(n＋1)<0 －4而n∈N
，故数列{an}没有负数项．
20.证明：　假设，，能构成等差数列，则＝＋，
因此b(a＋c)＝2ac.
而由于a，b，c构成等差数列可得2b＝a＋c，
∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，
这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．
故假设不成立，即，，不能构成等差数列．
21．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得
x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
y＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得x>y,
因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药
B药
6
0.
5
5
6
8
9
8
5
5
2
2
1.
1
2
2
3
4
6
7
8
9
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
2.
1
4
5
6
7
5
2
1
0
3.
2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好
22．D　[解析]
令bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n，
则bn＋1＝a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4.
因为an＋1＋
(－1)nan＝2n－1，
所以an＋1＝－(－1)nan＋2n－1.
所以a4n－3＝－a4n－4＋2(4n－4)－1，
a4n－2＝a4n－3＋2(4n－3)－1，
a4n－1＝－a4n－2＋2(4n－2)－1，
a4n＝a4n－1＋2(4n－1)－1，
a4n＋1＝－a4n＋2×4n－1，
a4n＋2＝a4n＋1＋2(4n＋1)－1，
a4n＋3＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1，
a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1，
所以a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1
＝－a4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1
＝a4n－2×4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1
＝a4n＋8，
即a4n＋4＝a4n＋8.
同理，a4n＋3＝a4n－1，a4n＋2＝a4n－2＋8，a4n＋1＝a4n－3.
所以a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4＝a4n＋a4n－1＋a4n－2＋a4n－3＋16.
即bn＋1＝bn＋16.故数列{bn}是等差数列．
又a2－a1＝2×1－1，①
a3＋a2＝2×2－1，②
a4－a3＝2×3－1，③
②－①得a3＋a1＝2；②＋③得a2＋a4＝8，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝10，即b1＝10.
所以数列{an}的前60项和即为数列{bn}的前15项和，即S15＝10×15＋×16＝1830.
故选D.