2018届北师大版（理） 十二概率、随机变量及其分布 单元测试

单元滚动检测十二　概率、随机变量及其分布
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
2．(2016·山东实验中学三模)两名学生参加考试，随机变量X代表通过的学生数，其分布列为
X
0
1
2
P
那么这两人通过考试的概率最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．(2016·石家庄模拟)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：an＝如果Sn为数列的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)
A．C()2·()5
B．C()2·()5
C．C()2·()5
D．C()2·()5
4．(2016·郑州第三次质测)某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为(　　)
A．10
B．9
C．8
D．7
5．(2016·长沙一中二模)将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形(三段的端点相连)的概率等于(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变量η的均值Eη及方差Dη分别是(　　)
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
7．(2016·福州质检)假设在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%.已知甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665
B．0.56
C．0.24
D．0.285
8．如图是一个算法框图，在集合A＝中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y值落在区间(－5,3)内的概率为(　　)
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.8
9．在10包种子中，有3包白菜种子，4包胡萝卜种子，3包茄子种子，从这10包种子中任取3包，记X为取到白菜种子的包数，则EX等于(　　)
A.
B.
C.
D.
10．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
11.(2016·长沙模拟二)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图像下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.　　　　　
D.
12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3
次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX＞1.75，则p的取值范围是(　　)
A．(0，)
B．(，1)
C．(0，)
D．(，1)
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第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·合肥一模)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
14．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则DX＝________.
15．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．
16．甲、乙两地某月的气温分别满足正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)，这两个正态分布的密度函数图像如图所示，则平均气温高的是________地，温差小的是________地．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·陕西宝鸡中学第一次月考)甲、乙两人各射击一次，如果两人击中目标的概率都为0.6，求：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率.
18.(12分)(2016·江西师大附中第一次月考)已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门.
(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和均值.
19.(12分)有编号为D1，D2，…，D10的10个零件，测量其直径(单位：mm)，得到下面数据：
编号
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
直径
151
148
149
151
149
152
147
146
153
148
其中直径在区间(148,152]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及均值.
20.(12分)甲，乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独
立．
(1)求乙直到第3次才投中的概率；
(2)在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由.
21.(12分)(2016·南昌二模)如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气重度污染．该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会，在11月1日至11月13日任意选定一天开幕.
(1)求运动会期间未遇到空气重度污染的概率；
(2)记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值.
22.(12分)(2016·兰州诊断考试)某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.
(1)若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x(单位：份，x∈
N＋)的函数解析式；
(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量(单位：份)，整理得下表：
日需求量x
240
250
260
270
280
290
300
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.
①
若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润(单位：元)，求ξ的均值；
②若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？请说明理由.
答案解析
1．A　[＝，故选A.]
2．A　[设甲通过考试的概率为p，乙通过考试的概率为q，依题意得(1－p)(1－q)＝，p(1－q)＋q(1－p)＝，pq＝，解得p＝，q＝或p＝，q＝，所以两人通过考试的概率最小值为，故选A.]
3．B　[据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.]
4．B　[因为ξ～N(105,102)，P(95≤ξ≤105)＝0.32，所以P(105＜ξ≤115)＝0.32，P(ξ＞115)＝－0.32＝0.18，所以此次数学考试成绩不低于115分的学生人数约为50×0.18＝9，故选B.]
5．B　[设剪成的三段为x，y,1－x－y，则其所表示的平面区域如图所示，其面积为S＝，由三线段能构成三角形，可得即其所表示的平面区域的面积为S1＝，则三段能拼成三角形的概率P＝＝，故选B.]
6．B　[设随机变量X的均值及方差分别是为EX，DX，因为X～B(10，0.6)，所以EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E(8－X)＝8－EX＝2，Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4，故选B.]
7．A　[记事件A＝“从市场上买一个甲厂产品”，事件B＝“甲厂产品为合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.95，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.95＝0.665.]
8．D　[依题意，y＝当－5＜x＋3＜3时，－8＜x＜0；当－5＜x－5＜3时，0＜x＜8；当x＝0时，y＝0，也符合，所以所求概率P＝＝0.8，故选D.]
9．A　[由于从10包种子中任取3包的结果数为C，从10包种子中任取3包，其中恰有k包白菜种子的结果数为CC，那么从10包种子中任取3包，其中恰有k包白菜种子的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.]
10．D　[由题意f′(x)＝2mx2－n≥0，在[1，＋∞)上恒成立，
即x2≥，即≤1，即第二次投掷的点数不超过第一次点数的2倍，共有30种可能，所以所求概率为＝.]
11．C　[依题意，图中的阴影区域的面积等于2×＋∫1dx＝1＋ln
x＝1＋ln
2，因此所求的概率等于，故选C.]
12．C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，
P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)
＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，
解得p＞或p＜，又由p∈(0,1)，
可得p∈(0，)，故选C.]
13.
解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，
所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
14.
解析　由题意知，×(1－p)2＝，即p＝，
∴P(X＝1)＝×(1－)2＋××(1－)＋×(1－)×＝，
P(X＝2)＝××(1－)＋×(1－)×＋××＝，
P(X＝3)＝×()2＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
∴DX＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝.
15．3
解析　设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
16．乙　甲
解析　正态曲线的对称轴方程为x＝μ，其中μ表示随机变量取值的平均水平的特征数，正态分布N(μ，σ2)中μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散．由图知μ1<μ2，σ1<σ2，故乙地的平均气温较高，甲地的温差小．
17．解　设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B.
(1)两人都击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.36.
(2)恰有一人击中目标的概率为
P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.48.
(3)∵两人都未击中目标的概率为P(
)＝0.16，
∴至少有一人击中目标的概率为1－P(
)＝0.84.
18．解　(1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64(种)；
各人互不相同的选法有A种，故互不相同的概率P＝＝.
(2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
19．解　(1)由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个．
设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)∵ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴ξ的均值为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解　(1)记事件Ai：乙第i次投中(i＝1,2,3)，
则P(Ai)＝(i＝1,2,3)，事件A1，A2，A3相互独立，
P(乙直到第3次才投中)＝P(1·2·A3)
＝P(1)·P(2)·P(A3)
＝(1－)·(1－)·＝.
(2)设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，
则η～B(3，)，
∴乙投中次数的均值Eη＝3×＝.
ξ的可能取值是0,1,2,3，则
P(ξ＝0)＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝1)＝C··(1－)·(1－)＋C(1－)2·＝，
P(ξ＝2)＝C·()2·(1－)＋C··(1－)·＝，
P(ξ＝3)＝C·()2·＝，∴甲投中次数的均值
Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×
＝，
∴Eη＞Eξ，
∴在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙．
21．解　(1)该运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有5日，6日，7日，11日，12日，13日，所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是P1＝1－＝.
(2)随机变量ξ的所有可能取值有0,1,2,3，
0(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
随机变量ξ的均值是Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×
＝.
22．解　(1)当x≥270时，y＝270×(1－0.4)＝162；
当x＜270时，
y＝(1－0.4)x＋(270－x)×0.1－(270－x)×0.4
＝0.9x－81，
∴y＝(x∈N＋)．
(2)①ξ可取135,144,153,162，则
P(ξ＝135)＝0.1，P(ξ＝144)＝0.2，
P(ξ＝153)＝0.16，P(ξ＝162)＝0.54.
∴Eξ＝135×0.1＋144×0.2＋153×0.16＋162×0.54
＝154.26.
②购进报纸280份，当天利润的均值为
y＝(0.6×240－40×0.3)×0.1＋(0.6×250－30×0.3)×0.2＋(0.6×260－20×0.3)×0.16＋(0.6×270－10×0.3)×0.16＋280×0.6×0.38＝154.68＞154.26，
∴每天购进280份报纸好．