课题：2.1
不等关系
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．了解不等式的意义,
能根据条件列出不等式，能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
2．经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
3．感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，认识数学与人类生活
的密切联系，激发学习数学的信心和兴趣.
教学重点与难点：
重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式，会用不等号表示简单的不等关系.
难点：根据实际问题建立合理的不等关系。
课前准备：
教师：多媒体课件
学生：复习正方形和圆的周长、面积公式；预习课本37-38页——不等关系.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
观察下面这些图片，你发现了什么数学问题？
我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中．
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
由此可见，生活中“不相等”关系处处可见。从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
【教师板书课题：2.1
不等关系.】
设计意图：从学生熟悉的现实生活出发，在教学中创设问题情境，开门见山引入新课，能从实际生活中去体会不等关系。具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣，提高了学生的学习兴趣，同时也让学生体会到数学来源于生活，服务于生活的道理．
二、自主探究
,合作学习
1.生活与数学
不等关系在生活中处处可见.
例如，你见过下列交通标志吗？你会表示这些不等关系吗
（课件展示）
处理方式：学生口答.（1）速度不能超过50千米／小时.（2）高度不能超过4.5米.
（3）宽度不能超过3.5米.（4）载重量
不能超过10吨.
又如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
问题：同学们，你们也举一些不等关系的例子吗？
处理方式：（同学们各抒己见.例：每天我都比他早起5分钟.
我的年龄不小于13岁.
我的体重不低于40公斤
.数学书和历史书不一样大！）
设计意图：引导学生感知不等关系在生活中处处可见，加深对不等关系的理解，并增强学习的积极性和主动性.
2.自主探究（一）（课本第37页）
看来大家对不等关系并不陌生，你们能说出这些术语或符号的意义吗？
(课件出示)
处理方式：同学之间相互说说.
设计意图：加强学生对上述术语或符号的理解认识，为后面的学习打好基础.
例：如图
用两根长度均为L
cm的绳子,分别围成一个正方形和圆.
(1)如果要使正方形的面积不大于25cm ,那么绳长L应满足怎样的关系式
(2)如果要使圆的面积不小于100cm ,那么绳长L应满足怎样的关系式
(3)当L=8时,它所围成的正方形和圆的面积哪个大 L=12呢
(4)由上述计算你能得到什么猜想 改变L的取值,再试一试
处理方式：本题中大家要弄明白两个关键,一是正方形和圆的面积计算公式，一个是“不大于”“不小于”的含义.请大家根据自学提示认真思考，小组交流，共同协作完成.
（自学提示）
处理方式：通过独立思考和合作交流后，小组代表在小黑板进行展示.教师巡视学生动手操作、交流探究和在黑板上的展示，适时进行点拨指导.尤其对学困生加以辅导，面积的表示方法和计算都有难度，不能因此而停止了他们前进的脚步.
学生在黑板前一一展示：
（1）生1：因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，
得面积为（）2，化简为.要使正方形的面积不大于25
cm2，即:≤25.
强调：“不大于”就是“小于等于”！(教师适时板书“≤”符号.)
（2）生2：因为圆的周长为l，所以圆的半径为R=.要使圆的面积不小于100
cm2，就是
π·（）2≥100，化简后即:≥100
强调：“不小于”指的就是
“大于等于”！（教师适时板书“≥”符号.）
（3）生3：当l=8时，正方形的面积为=4（cm2），圆的面积为≈5.1（cm2），
此时圆的面积大.
当l=12时，正方形的面积为=9（cm2）,圆的面积为≈11.5（cm2），此时还是圆的面积大.
注意：学生在计算时容易出现计算性的错误，师要对学生的计算技巧和方法进行指导.
生4：我们又取了l分别为10cm、4cm，用计算器验证了我们猜想：用长度相等的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积.
＞.可以观察分子都是l
2相等，而分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有＞.
处理方式：小组长各负其责，对本组还有疑问的同学进行帮扶互助.
设计意图：
通过创设动手情境和问题情境的结合，使学生对比较难于理解的数学问题认识和理解地更加的直观和充分；并通过小组合作讨论和展示交流成果，培养和锻炼学生在学习过程中学会倾听，学会交流，并能取长补短，在共同学习中得到进步．同时也提高了学生的语言组织能力及逻辑推理能力．
3.自主探究（二）
（课件出示）
(1)
铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为
a
cm、b
cm、c
cm，
请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5cm的地方作为测量部位.
某树栽种时的树围为6cm,
以后树围每年增加约3cm.经过x年后这棵树的树围超过
30c
m，请你列出x满足的关系式.
处理方式：请大家互相讨论后列出关系式.这时小组内交流起来，教师注意倾听学生的解题思路，精当点拨：
（1）“不得超过”是什么意义？
(2)可设x年后,最初树围加上以后每年生长的树围就是总树围.师找几名代表性学生到黑板写出关系式：1.5+6+3x>30；6+3x=30;1.5+3x>30等等.其他学生一对比很容易发现错误出在哪里，讨论的气氛很热烈，各抒己见.最后由学生指出并修改.
学生讲解：(1)
a+b+c≤160
（2）最初树围为6cm,x年后增加了3x
cm,“超过”就是“大于”，所以：
6+3x>30
师：你说的很详细，我们做题的时候也要像他一样细心，可不能让马虎挡住了双眼.
设计意图：这是一个学生比较感兴趣的话题，通过创设熟悉的问题情境，激发学生主动用数学解决实际问题，体会数学源于生活、应用与生活，通过几个学生在黑板的板演，即使出错也不干涉，让小组讨论交流，最终解决这一生活中的问题.
三、知识提升，扩大视野
1.归纳定义
(课件出示)
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
≤25，≥100，＞
，4<5.1
a+b+c≤160
，3x+6＞30
处理方式：引导学生发现它们都有“>、<”或者“≥、≤”符号.
归纳定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式,另外用“≠”连接的式子也是不等式.（师板书）
设计意图：通过学生自己的发现找到共同点和规律，发展学生类比、归纳和语言表达能力；通过组内的互相交流及课件出示表格的方式，加深不等号意义的理解,从而归纳不等式的概念.
2.牛刀小试
下列各式中是不等式的有
个.
（1）8＜9；
（2）a+b=0；
（3）a2+1＞0；
（4）3x-1≤x；
（5）x-y≠1；
（6）3-x=0；
（7）4-2x；
（8）x2+y2＞0.
处理方式：学生对自己所做的题目进行讲解，师关注学生对不等式概念的掌握情况.
3.
巩固练习
请用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数；（2）直角三角形斜边ｃ比它的两直角边ａ，ｂ都长；
（3）x与17的和比它的5倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍.
处理方式：请同学们简单说说自己在列式时的思路和想法.学生分析题意，简单交流后，尝试地列出不等式来，部分学生到小黑板完成.教师巡视，并帮助学困生理解关键词的含义，能够正确运用不等号，杜绝混淆.
设计意图：通过列不等式，进一步发展学生符号感和数学化的能力,体会不等式是刻画量与量之间关系的重要模型.
4.“我来设计”
请设计不同的实际背景来表示不等式：x+y≤5
处理方式：学生结合实际思考，很快就有同学站起来.
生1：一支圆珠笔和一个笔记本不超过5元钱.
生2：我每天中午在食堂打饭和菜，不超过5元钱.
......
师：请一个小组的同学任意写出不等式，其他同学设计不同的生活背景来表示写出的不等式.
小组内就像玩游戏一样开始活动起来.
设计意图：通过用实际生活背景来解释简单不等式的意义，感受不等式在生活中无处不在.“我来设计”游戏式地小组互动促使每个学生都能够积极参与.
四、小结感悟，知识沉淀
祝贺同学们顺利的完成本课的学习内容，请同学们谈一谈本节你的收获？还有什么疑惑？
生1：我的收获是……
生2：我学到数学思想是…….
生3:
我掌握…….
生4：我还有问题与困惑是…….
夯实基础是成功的基础！相信经过大家的努力，我们会做的更好！
设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互学习，共同提高，使学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.
五、分层评价，当堂达标
A组（必做题）：
1.表达式①x2＞0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式
有
.（填序号）。
2、八一班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是
.
3、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式是
。
B组（选做题）：
3.某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b元，那么b和a满足的关系式是
.
4.如果某等腰三角形的底边用a
cm表示，这边上的高为4
cm，如果这个三角形的面积不大于8
cm ，那么a应该满足的关系式为
.（注意：不大于的含义）
设计意图：结合本节课学习目标设计一系列有层次、有梯度的习题，尽可能使所有的学生都得到了广泛的调动，促进学生应用所学的知识积极思考，解决问题.习题考查内容与本节课的重难点相吻合，进一步加深学生对本节课所学知识的理解.
六、布置作业，课后促学
必做题：课本
第38页
习题2.1
第
1、2、3题.
设计意图：分层次作业的设置，结合学生实际为学生搭建“平等”的平台，满足不同层次学生学习数学的需要，使不同层次的学生都有收获和成功的喜悦，并有老师和同学的肯定和认可，激发学生学习的热情和兴趣.
板书设计：
2.1
不等关系
不等式定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式,另外用“≠”连接的式子也是不等式.
（投影展示）
（学生板演区）
1.正方形的边长可以表示为
，面积可以表示为
；
圆的半径可以表示为
，面积可以表示为
；
2.“不大于”可以用符号
表示；“不小于”可以用符号
表示；
3.
正方形的面积不大于25cm2，可以用式子表示为
；
4.
圆的面积不小于100cm2，可以用式子表示为
；
5.代入求值，完成第（3）（4）题.(共21张PPT)
第二章
一元一次不等式与
一元一次不等式组
2.1
不等关系
仔细观察:
从中你发现了哪些数学问题？
第二章
一元一次不等式与
一元一次不等式组
2.1
不等关系
比如，你见过下列交通标志吗？你会表示这些不等关系吗
（4）载重量
不能超过10吨.
现实生活中还存在许多反映不等关系的量。
（1）速度不能超过50千米／小时.
（2）高度不能超过4.5米.
（3）宽度不能超过3.5米.
又如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
同学们还能举一些不等关系的例子吗？
相等关系的量可以利用等式来描述；
同样，不等关系的量可以利用不等式来描述。
怎样表明不等关系？
关键词语
表明数量的不等关系
不等号
①大于
②比…大
①小于
②比…小
①不大于
②不超过
③至多
①不小于
②不低于
③至少
≥
＞
＜
≤
如图，用两根长度均为l
cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
(1)如果正方形面积不大于25cm2，
那么绳长l
应满足怎样的关系式？
(2)如果正方形面积不大于25cm2，
那么绳长l
应满足怎样的关系式？
(3)当l
=8时，正方形和圆的面积哪个大？
l
=12呢？改变l
的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？
(1)
≤
25
(2)
≥100
4<5.1
我们可以猜想，用长度均为 cm的两根绳子分别围成
一个正方形和圆，无论 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，
即
＞
问题探讨：
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关式
。
a+b+c
≤160
做一做：
(2)
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为6cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至少生长多少年其树围才能超过30Cm？
解：设这棵树生长x年其树围才能超过30
Cm，
根据题意得：
5＋3x＞30
它们的共同特点：
一般地，用符号“＜”（或“≤”）、“＞”（或“≥”）、“≠”连接的式子叫做不等式。
≤
25
≥100
议一议：
＞
4<5.1
a+b+c
≤160,
5＋3x＞30
观察由上述问题得到的关系式，比如：
都是用不等号连接的式子。
牛刀小试
1.下列各式中是不等式的有
.
（1）8＜9；
（2）a+b=0；（3）a2+1＞0；
（4）3x-1≤x；（5）x-y≠1；（6）3-x=0；
（7）4-2x；
（8）x2+y2＞0.
（1）
（3）
（4）
（5）
（8）
2.用适当的符号表示下列关系：
（1）ａ是非负数；
（2）直角三角形斜边ｃ比它的两直角边
ａ，ｂ都长；
（3）ｘ与17的和比它的5倍小。
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。
a
≥
0
c>a且c>b
x+17＜5ｘ
x2+y2
≥
2xy
我来设计
请设计不同的实际背景来
表示不等式：x+y≤5
小 结
通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？
表示不等关系的符号（不等号）都有哪几种？
什么叫做不等式？
你能从现实生活中举出几个表示不等关系的不等式吗？
1、表达式①x2≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式有
（填序号）。
2、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是
。
3、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式
是
。
①
②
④
5x+3（20-x）≤56
100(1+x％)2＞a
达标检测
A组
1.某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b元，那么b和a满足的关系式是
。
2.如果某等腰三角形的底边用acm表示，这边上的高为4
cm，如果这个三角形的面积不大于8cm ，那么a应该满足的关系式为
。（注意：不大于的含义）
(b-a)/a＞20％
1/2
×4
×a
≤8
B组
布置作业
必做题：课本
第38页
习题2.1
第
1、2、3题.
