课题：1.1
等腰三角形（3）
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性．
2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.
3．体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
教学重点与难点：
重点：等腰三角形的判定定理的证明.
难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题.
教师准备：多媒体课件.
教学过程：
创设情境，导入新课
活动内容：回答下列问题.
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
（学生口答）
（1）等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”
.
（2）“三线合一”
.
（3）等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等.
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？
问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
【教师板书课题：1.1等腰三角形（3）】
处理方式：学生口答问题1，在此基础上，师特意提出“等腰三角形两底角相等”
定理的条件和结论反过来还成立吗？学生对此问题各抒己见，师引导，并引入出新课．
设计意图：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔；同时调动了学生学习的兴趣，激发学生学习的热情．
二、自主探究，交流展示
活动内容1：请同学们探究“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗
你能完成它证明吗？并与同伴交流．（多媒体出示）
（学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．）
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC.
方法预设：
方法一：
证明：过点A作BC的垂线，垂足为D．
∵AD⊥BC
，
∴∠BDA=∠CDA=
90°．
在△ABD和△ACD中，
∵∠B=∠C,
∠BDA=∠CDA,
AD=AD
，
∴
△ABD≌△ACD
(AAS)．
∴
AB=AC
（全等三角形的对应边相等）．
方法二：
证明：作∠BAC的角平分线，交BC与D．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∵∠B=∠C,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD，
∴
△ABD≌△ACD
(AAS)
．
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）．
（师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，规范的写出推理过程，鼓励学生一题多解.）
师指出：作△ABC边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．
（多媒体展示）
等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：等角对等边.在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.
处理方式：学生先在练习本上画图，写出已知、求证，在此基础上，学生自主探究，合作交流，小组之间探究讨论多种证明方法．在学生有困难情况下，师引导类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，并让学生亲自书写的解题过程，给予展示，从而得到定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
设计意图：让学生学会类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，明白可以作BC边上的高线，也可以作∠A的角平分线，但不适合作BC边的中线，同时培养了学生一题多解能力.通过学生板书证明过程，培养了学生规范的解题过程及推理能力.
活动内容2：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？（多媒体出示）
(学生积极动脑思考，小组交流讨论)
师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(多媒体展示)
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此
AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗
师出示：
“反证法”的定义：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
处理方式：在学生没有证明思路和方法的情况下，师展示小明同学证明方法，并给出反证法的定义，然后让学生打开课本阅读并理解反证法，明确反证法的步骤．
设计意图：让学生明确当用综合法证明命题行不通时，需要探究一种新方法来完成它的证明，结合课本小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中的作用.
三、例题解析，应用新知
（多媒体出示）
例1
已知：如图AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
（教师引导、点拨）
证明:在△ABD和△DCA中，
∵AB=DC,
BD=CA，AD=DA，
∴
△ABD≌△DCA
(SSS)
.
∴∠
ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE(等角对等边)
.
∴
△AED是等腰三角形.
处理方式：先给学生独立思考，再讨论交流，教师适当引导，在此基础上小组合作完成证明过程．完成后，教师对学生的证明过程进行展示、评价．针对出现的问题，师及时指出，并多媒体出示规范的过程．这样通过小组共同探讨、交流、教师引导解决了本节课的重难点．
设计意图：通过本例题，让学生初步应用“等角对等边”
证明一个三角形是等腰三角形，体会证明的思路与书写的过程，同时也培养了学生推理的严密性．
例2
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
（教师引导，学生讨论交流）
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会证明过程．）
师生共同总结：用反证法证明的一般步骤：
归纳小结：1.假设命题的结论不成立；2.从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.
由矛盾的结果判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
处理方式：反证法是学生刚学的一种新的证明方法，加上这种方法不容易理解，因此对学生来说难度较大，所以教师引导，师生共同完成证明过程．完成后，教师对学生的证明过程进行展示、评价．针对出现的问题，师及时指出，并多媒体出示规范的过程．
设计意图：通过本例题，让学生初步感受反证法的证明的思路与书写的过程，体会反证法证明与作用．
变式训练，巩固提高
（多媒体出示）
1.如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
解：图中一共有三个等腰三角形．
证明：∵∠DBC
=36°，∠C
=72°，
∴∠BDC
=72°（三角形内角和定理）．
∴∠BDC=∠C．
∴BD=BC(等角对等边)．
∴△DBC是等腰三角形.
同理可证：△ABC与△ABD也是等腰三角形.
2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠EAD=∠CAD．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD
=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠CAD
=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠EAD=∠CAD，
∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于．
证明：假设五个正数每一个都小于，则
五个正数的和小于1．
这与五个正数的和等于1矛盾，
所以五个正数每一个都小于不成立．
所以这五个数中至少有一个大于或等于．
处理方式：教师引导、点拨后，三名学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，同学之间相互进行解题过程评价，教师及时点评、适时表扬．
设计意图：前两道题的练习，是对学生应用“等角对等边”定理训练，同时加强对综合法证明过程的理解；第三题是让学生感受反证法的证明的思路与书写的过程．在学生书写或口答的过程中，加强学生书写和语言的规范性．
归纳小结，反思提升
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、当堂检测，反馈矫正
试一试，你能成功！（多媒体出示）
1．如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（
）
A、钝角三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形（
）
A、6个
B、5个
C、4个
D、3个
3．如上右图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4
cm，AE=5
cm，则AC等于（
）
A、5
cm
B、4
cm
C、9
cm
D、1
cm
4.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
处理方式：留给学生5～6分钟的时间独立做题，教师巡视，学生做完后，教师出示答案，并统计学生答题情况，指导学生校对；学生根据答案及时进行纠错．
设计意图：用不同的形式巩固所学知识，不同的梯度来检验学生掌握的程度，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
七、布置作业，延展课堂
必做题：课本
第10页
习题1.3
第2、4题．
选做题：课本
第10页
习题1.3
第3题．
设计意图：分层设置作业，使不同学生都能够在不同程度上更进一步.必做题巩固了本节课所学，选做题满足个别数学爱好者的需求.
板书设计：
§1.1
等腰三角形(3)
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.反证法：
3.例题解析：例1例2
投影区
学
生
活
动
区
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
A
C
B
A
D
E
B
C
A
B
C
D
A
B
C
E
D
B
D
C
A
E
E
B
A
D
C
A
D
M
N
C
B(共20张PPT)
1.1
等腰三角形（3）
1.等腰三角形有哪些性质？
2.等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？
3.如果把它的条件和结论反过来还成立吗？也就是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
温故知新
有两个角相等的三角形是等腰三角形吗 你能完成它的证明吗？
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
思考：
要想证AB=AC，常转化证AB与AC所在的两个三角形全等.那么如何构造两个全等三角形？
合作探究（一）
A
B
C
合作探究（一）
方法一：
过点A作BC的垂线，垂足为D．
∵AD⊥BC
，
∴∠BDA=∠CDA=
90°．
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C,
∠BDA=∠CDA,
AD=AD
，
∴
△ABD≌△ACD
(AAS)．
∴
AB=AC
（全等三角形的对应边相等）．
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC
．
A
B
C
D
证明：
合作探究（一）
方法二：
作∠BAC的角平分线，交BC与D．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∵∠B=∠C,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD，
∴
△ABD≌△ACD
(AAS)
．
∴
AB=AC
（全等三角形的对应边相等）．
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC
．
A
B
C
D
证明：
思考：作BC的中线，交BC与D
，可以吗？
辅助线：可以过点A作BC的垂线，作∠BAC的角平分
线，但不可以作BC的中线
．
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：等角对等边.
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
符号语言：
C
B
A
这个定理可以作为判断两条线段相等的根据.
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
你认为这个结论成立吗
如果成立，你能证明它吗
合作探究（二）
小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.
你能理解他的推理过程吗
C
A
B
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此，
AB≠AC.
合作探究（二）
反证法的定义：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已知定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把这种证明方法称为反证法．
反证法是一种重要的数学证明方法，它在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
例1
已知：如图AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
例题示范
证明:在△ABD和△DCA中，
∵AB=DC,
BD=CA，AD=DA，
∴
△ABD≌△DCA
(SSS)
.
∴∠
ADB=∠DAC（全等三角形对应角相等）
.
∴AE=DE（等角对等边)
.
∴
△AED是等腰三角形.
A
D
E
B
C
例2
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
例题示范
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°
．
于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°的假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
用反证法证明的一般步骤：
1.假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
1.如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
B
C
D
解：图中一共有三个等腰三角形．
证明：∵∠DBC
=36°，∠C
=72°，
∴∠BDC
=72°（三角形内角和定理）．
∴∠BDC=∠C．
∴BD=BC(等角对等边)．
∴△DBC是等腰三角形.
同理可证：△ABC与△ABD也是等腰三角形.
2.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠EAD=∠CAD．
求证：AB=AC．
A
B
C
E
D
证明：∵AD∥BC，
∴
∠EAD
=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠
CAD
=∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠EAD=∠CAD
，
∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个数中至少有一个大于或等于
．
证明：假设五个正数每一个都小于
,则
五个正数的和小于1．
这与五个正数的和等于1矛盾，
所以五个正数每一个都小于
不成立．
所以这五个数中至少有一个大于或等于
．
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？让大家与你分享．
1.如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（
）
A、钝角三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
2.如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，D、E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形（
）
A、6个
B、5个
C、4个
D、3个
达标检测
提升自我
B
D
C
A
E
C
C
3.如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4
cm，AE=5
cm，则AC等于（
）
A、1cm
B、4
cm
C、5
cm
D、9
cm
4.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
达标检测
提升自我
A
D
M
N
C
B
第4题
E
B
A
D
C
第3题
D
30
必做题：习题1.3
第2、
4题．
拓展题：习题1.3
第3题．
祝你成功！
独立
作业
结束寄语：
只有不畏艰险的人,才能领略学无止境的真谛!
数学中的某些结论具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
