课题：1.1.4等腰三角形
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题．
2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
3.经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力．
4.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力．
教学重点与难点：
重点：等边三角形判定定理的发现与证明以及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
课前准备：
教师准备：直尺、两个带30度角的三角板、多媒体课件.
学生准备：每生准备两个含30度角的相同的三角尺．
教学过程：
一、创设情境
导入新课
问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？
问题2：（1）具备什么条件的三角形是等边三角形？
（2）具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？
生：质疑思考.
师：本节课我们就来探索等边三角形的判定定理．
处理方式：直接提出问题,让学生自由发言,适当补充.回顾等腰三角形的性质及等边三角形特有性质;如边的关系、角的关系，三线合一等一些重要性质.从而顺利导入新课,
具备什么条件的三角形是等边三角形
那么具备什么条件的等腰三角形是等边三角形 本节课让我们共同探讨“等边三角形判定定理”.
【板书课题：1.1等腰三角形（4）】
设计意图：开门见山，利用问题引入新课，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判定一个三角形是等腰（边）三角形呢？从而引入新课．
二、合作探究，展示交流
师：要解决上面的问题，如果运用分类的思想，我们可以从几方面考虑添加条件？
生：可以从两方面添加：（1）添加“边”的条件.（2）添加“角”的条件.
师：请同学们自由探索讨论一下.
探究一、三个角都相等的三角形是等边三角形.
师：请说明你的理由？
生：理由：∵∠B=∠C,
∴AB=AC．
∵∠A=∠C，
∴AB=BC．
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等边三角形．
探究二、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
师：请说明你的理由？
生：以∠A=60°来说明．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∵∠A=60°．
∴．
∴∠A=∠B=∠C．
∴
△ABC是等边三角形．
生：以∠B=60°或∠C=60°来说明．
∵AB=AC,
∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°．
∴∠A=．
∴∠A=∠B=∠C．
∴
△ABC是等边三角形．
师：能用文字语言描述这个结论吗
生：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
处理方式：这两个问题是以不同的三角形为出发点,引导学生思考等边三角形的判定方法,分别得到两个定理.问题二60°的角可能是顶角,也可能是底角,应关注得出证明思路的过程,引导学生全面的思考问题,并有意识地渗透分类的思想.
应让学生自主思考,充分交流证明过程.
设计意图：对证明思路可与同伴交流，然后再去证明.提醒学生运用分类思想，思考问题要全面、周到
.经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的合作意识和探究能力．
三、变式训练，巩固新知
1．判断正误:
（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
(
)
（2）有两个角为60°的三角形是等边三角形.
(
)
（3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.
(
)
（4）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.
(
)
（5）三个外角都相等的三角形是等边三角形.
(
)
2．如图，△ABC中AB=AC，AO平分∠BAC，若∠BOC=60°，则△BOC的形状是（
）
A、等边三角形
B、腰和底边不相等的等腰三角形
C、直角三角形
D、不等边三角形
处理方式：习题1是采用学生抢答形式,其他同学判断说明.习题2直接利用定理由学生说明完成.
设计意图：把所学定理应用到例题求解中，既巩固了新知，又培养了学生掌握一般的解题思路、方法、技巧，让学生真正做到了学以致用.
四、操作探究，获取新知
我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形．同学们请拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗
生：能拼成等边三角形．
师：谁能说明为什么得到的三角形是等边三角形？
生1：图（1）中因为△ABC≌△ACD，所以AB=AD．
又因为Rt△ABC中，∠BAC=30°，所以∠BAD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
生2：图(1)中，∠B=∠D=60°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAD=60°，即△ABC是等边三角形．
师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
生：分析发现：在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°
求证：BC=AB．
分析：你能否由拼图得到启示，作辅助线把拼图的另一部分构造出来？
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC=BD=AB．
师生共同总结：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
师：指导学生利用符号语言表达定理．
用符号语言表示为：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠BAC=30°，
∴BC=AB．(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)
学以致用
小试牛刀:
如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
处理方式：利用拼图活动让学生在操作中发现这两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形,从而将直角三角形中的问题转化为“半个”等边三角形的问题.师生共同完成巩固练习.
设计意图：让学生经历拼摆三角尺的活动过程，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．先从问题出发，让学生经过自己的观察、拼摆、探索发现并得到结论.
这样更能加深学生对定理的理解与应用．
五、学以致用，巩固新知
师：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题．
例4求证：等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半．
已知:如图,在
△ABC中，AB=AC，∠B
=15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD=AB.
师：这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在Rt△ADC中，AB=AC，∠B=∠ACB而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=2×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD=AB.
（两名学生黑板板演，其余学生在练习本上完成．）
师：（纠正学生出现的问题，强调步骤的规范性．）
解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B
=15°（等角对等边）
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°．
∵CD
是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°．
∴CD=AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
学以致用
小试牛刀:
3．如图，某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少要
______
元．
处理方式：教师适度点拨,分析.让学生独立思考并完成此题.
设计意图：在例题求解中巩固新知．先让两名同学黑板板演，其余在练习本上板演，最后老师纠正学生出现的问题，强调步骤的规范性．
五、盘点收获，反思提升
师：通过这节课的学习你学到了什么知识？你有哪些感悟与收获？
生1：本节课我学会了证明等边三角形的判定定理和直角三角形有关的性质定理．
生2：我们可以用等边三角形的判定定理和直角三角形有关的性质定理解决一些简单的问题．
生3：通过学习我知道了“分类讨论思想、逆向思维”是一种很重要的数学思想．由
15°等角度去寻找与30°特殊角，从而构造特殊的直角三角形解题.
生4：学习了30°角的直角三角形的一个性质定理，它可以用来寻找线段之间的关系和求线段的长度．
……
设计意图：让学生梳理所学知识点，以形成完整知识结构，培养了归纳概括能力和语言表达能力．另外有针对性的对本节课的重点加以强调，加深学生对本节课知识的掌握．激发学生主动参与的意识，调动学生的学习兴趣，为每一位学生都提供了在数学学习活动中获得成功的体验和充分展示自己的机会．
六、达标检测，反馈矫正
通过本节课的学习，同学们都收获了不少，下面让我们测试一下吧．
A
类
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8
cm，则BD=_________cm，∠BDE=__________°，BE=__________cm.
2.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，DE⊥AC，垂足为E．求BC，DE的长．
B
类
3．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A、3cm
B、6cm
C、cm
D、cm
设计意图：针对学生的学习差异进行分层训练，既可以满足了不同学生的需求，充分激发学生的学习热情，同时也便于老师及时地了解学生的情况.对于B类题目可以在学生独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论得出结果.
七、布置作业，落实目标
基础作业：课本
第12页
习题1.4
第
1、2、3题.
拓展作业：《数学助学》第10-11页
自主评价
1-6题
板书设计：
§1.1
等腰三角形（4）
等边三角形判定定理：
例题4
30°角的直角三角形的性质定理：
补充条件
A
B
C
B
C
A
补充条件
A
B
C
A
C
B
A
B
C
顶角为60°
A
B
C
A
C
B
底角为60°
A
B
C
A
C
B
2
1
A
B
C
O
2题图
A
30°
30°
D
C
B
D
C
B
A
D
C
B
A
C
B
A
D
B
E
C
D
A
0
3题图
2题图
1题图(共23张PPT)
北师大版八年级数学下册
(正三角形)
等边三角形:
三条边都相等的三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形.
在等腰三角形中，有一种特殊情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。
等边三角形的性质
2.等边三角形的内角都相等,且等于60
°.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
1.三条边相等.
∵
∠A=∠B=∠C=60°,
∴
AB=AC=BC
(在同一个三角形中（等角对等边)
1.三个内角都相等的三角形是等边三角形
∴
△ABC是等边三角形.
2.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
当顶角为60°时
当底角为60°时
你认为有一个顶角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
A
C
B
60°
A
C
B
60°
你认为有一个底角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60
°的等腰三角形是等边三
角形.
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
等边三角形
1.判断正误：
（3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.
（4）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.
（5）三个外角都相等的三角形是等边三角形.
（2）有两个角为60°的三角形是等边三角形.
（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
2．如图，△ABC中AB=AC，AO平分∠BAC，若∠BOC=60°，则△BOC的形状是（
）
A、等边三角形
B、腰和底边不相等的等腰三角形
C、直角三角形
D、不等边三角形
B
C
A
O
用两个含有30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300
300
300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
结论:在直角三角形中,
30°角所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
定理:在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图，在△ABC,
∠ACB=90°,
∠A=30°.
求证:BC=
AB.
定理
在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°
在△ABC
中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°.
∴BC=
AB.(在直角三角形中,
30°角所对的直角边等于斜边的一半).
数学符号表示：
如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD是△ABC的高，且BD=1，
求AD的长.
C
A
B
D
例4
求证：等腰三角形的底角为15°,那么腰长的高是腰长的一半.
D
A
C
B
15°
15°
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.
求证:CD=
AB
.
A
D
C
B
15°
15°
证明:在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=15°
(已知),
∴∠ACB=∠B=15
°(等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=
15°+15°=30°
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴CD=
AC(在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD=
AB.
如图，某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少要
______
元．
等边三角形的判定:
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理:在直角三角形中,
如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8
cm，
则BD=_________
cm，∠BDE=________°，BE=_______cm.
2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=7.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.
求:BC,DE的长.
B
E
C
D
A
30°
解:∵BC⊥AC,∠A=30°,AB=7.4m(已知),
∴
BC=AB/2=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
又∵
AD=AB/2=7.4÷2＝3.7(中点意义),
∴
DE=AD/2=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中,
如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
答:BC=3.7m,DE=1.85m.
3．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A、3cm
B、6cm
C、
cm
D、
cm
独立作业
基础作业：课本
第12页
习题1.4
第
1、2、3题.
拓展作业：《数学助学》10-11页
1-6题.
