课题：1.
2.2直角三角形
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.经直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用
“HL”定理解决实际问题．
2.能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形.
3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力，培养学生思维的灵活性与开放性．
教学重点与难点：
重点：直角三角形“HL”全等判定定理，运用直角三角形全等解决简单的实际问题．
难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析．
课前准备：制作多媒体课件、圆规、三角尺．
教学过程:
一、复习提问，导入新课
出示问题：
1.前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
2.通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果已知在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？
3.如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？
处理方式：教师提问，学生回答问题，教师适时板书.预设学生回答．
1.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
2.这两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等．
3.不一定全等．
学生画图展示说明：
(多媒体出示)
思考：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？
让我们带着这个问题来共同继续学习直角三角形．
【教师板书课题：1.2直角三角形（2）】
设计意图:通过复习全等三角形的判定方法，利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”的基础上设置悬念，激发学生的求知欲，旨在为进一步证明“HL”定理做准备，同时也培养了学生类比、联想的思考方法．
二、诱思探究，获取新知
1．猜想
如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？
处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨.学生意见会不统一，有的认为相等，有的认为不一定相等．
2．探究
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
处理方式：教师用多媒体出示画图过程，同时让两名学生在黑板上演示画图，其余学生在导学案上画图．完成后让学生在小组内交流．
画图过程展示：
（1）作∠MCN＝∠α=90°；
（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
思考：通过刚才的画图，你有什么发现？
3．总结
你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？
处理方式：学生思考回答，师板书．
板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．
4．证明
你能证明这个命题是真命题吗？试一试，在小组内交流．
处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后在小组内交流，教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时的评价，同时规范解题过程．
证明过程展示：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）．
同理，B′C′2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B'C'．
∴△ABC≌△A′B′C'
(SSS)．
通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一命题称为定理，简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
设计意图：让学生经历“斜边、直角边”判定定理的推导过程，利用命题的推理证明，加深对定理的理解，同时也加深对证明必要性的认识，体会数学的严谨性，并借此进一步规范学生的书写和表达．
三、例题解析，应用提升
例
如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚的表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．
解析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题。依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠C和∠F的大小关系．
解：根据题意，可知
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
∴∠B＝∠DEF。
∵∠DEF+∠F＝90°，
∴∠B+∠F＝90°．
设计意图：这是一个具体的实际问题，让学生利用“HL”定理来解决，目的是为了让学生体会数学结论在实际中的应用，用数学的眼光看待实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．
巩固练习：
1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．
2．已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF。求证：△ABC是等腰三角形．
处理方式：学生做题，师点评矫正．
设计意图：第1题是一道答案不惟一的探究性开放问题，需要学生灵活运用所学的知识，通过互相交流，获得各种不同的答案．这样利用探究性问题为学生提供了自主探索的时间和空间，有利于培养学生的探究能力和创新精神．第2题的目的在于强化学生对
“HL”判定定理的理解与应用，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．
四、小结感悟，知识沉淀
这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．（多媒体出示小结引导）
我掌握的定理：
；
我探索的发现：
；
我学会的方法：
；
我还懂得了：
．
处理方式：学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、分层评价，当堂达标
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
2．在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
3．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
处理方式：学生完成后，教出示答案，学生自行矫正.
设计意图：分层设置作业，注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．
六、布置作业，课后促学
必做题：习题1.6
第2题．
选做题：习题1.6
第3、5题．
设计意图：必做题“首尾呼应”，完成本节课的引例，使本节课的重点知识落实在纸上．选做题，培养学生学习数学的兴趣．
板书设计：
1.2
直角三角形(2)
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．反例：
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）．证明：
例练习：
投影区
B
A
C
(1)
B/
A/
C/
(2)
B/
A/
C/
(3)
A
B
C
A′
B′
C′
C
D
A
B
第1题
第2题(共17张PPT)
第一章
三角形的证明
1.2
直角三角形(2)
回顾与思考
1.
判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
回顾与思考
2.通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已
知条件中至少有一条边对应相等．如果已知在两个三角
形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这
两个三角形全等？
这两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等．
回顾与思考
3.如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这
两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？
回顾与思考
不一定全等．
B
A
C
(1)
B/
A/
C/
(2)
B/
A/
C/
(3)
回顾与思考
回顾与思考
如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形
全等吗？
1.2.2
直角三角形
回顾与思考
猜想:
如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分
别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？
探究:
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
诱思探究，获取新知
已知：如图，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
（1）作∠MCN＝∠α=90°；
（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC.
诱思探究，获取新知
思考：通过刚才的画图，你有什么发现？
斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．
你能证明这个命题是真命题吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
诱思探究，获取新知
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）．
同理，B′C′2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B'C'．
∴△ABC≌△A′B′C'
(SSS)
证明：
诱思探究，获取新知
定理
斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
诱思探究，获取新知
简述为“斜边、直角边”或“HL”
∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
A
B
C
A′
B′
C′
AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
例题解析，应用提升
例
如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠C和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
∴∠B＝∠DEF。
∵∠DEF+∠F＝90°，
∴∠B+∠F＝90°。
例题解析，应用提升
巩固练习
1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．
2．已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF。求证：△ABC是等腰三角形。
C
D
A
B
第1题
第2题
小结感悟，知识沉淀
这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都
有所收获
我掌握的定理：
；
我探索的发现：
；
我学会的方法：
；
我还懂得了：
．
分层评价，当堂达标
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的
两个直角三角形全等．
2．在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别是高，并且
AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
3．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，
垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
分层评价，当堂达标
作业布置，课后促学
必做题：习题1.6
第2题．
选做题：习题1.6
第3、5题．
