课题：6.4探索多边形的内角和与外角和(1)
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.经历探索多边形内角和公式的过程，发展学生的合情推理能力，培养由特殊到一般的探究能力.
2.掌握多边形的内角和定理，发展学生的演绎推理能力，并会运用解决问题，培养灵活运用知识的能力.
3.通过观察、分析、把多边形问题转化为三角形问题，体会转化思想在几何知识中的应用.
4.学生通过类比、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学研究的乐趣.
教学重点和难点：
重点：多边形内角和定理.
难点：多边形内角和公式的应用.
课前准备：多媒体课件.
教学过程：
一、复习提问，引入新课
问题1：如图1-1三角形三个内角的和等于多少度？
问题2：如图1-2、1-3正方形、长方形的内角和等于多少度？
问题3：如图1-4对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？
处理方式：出示问题，引导学生积极回顾，思考回答.问题3让学生画出图形，结合已有知识和学习经验，小组合作解决问题.在此过程中，教师巡视指导，学生可能通过测量、剪拼等方法来探究，教师在肯定的基础上说明这两种方法的局限性，并适时提示能否把四边形转化为三角形来解决问题.学生展示一般四边形的内角和等于360°的说理过程，教师总结展示并引入新课.预设学生回答.
1.三角形内角和等于180°.
2.正方形、长方形的内角和等于360°.
3.一般的四边形它的内角和也等于360°.理由：
思路1：用量角器测量.
思路2：把四个角剪下来，可以拼成一个周角.
思路3：如图2连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
设计意图:利用三角形、正方形、长方形这些熟悉的图形和已有的三角形和四边形知识入手，由特殊到一般，展开对一般四边形内角和的探索，通过对问题3的探究，利用转化的方法把四边形的内角和与三角形内角和有机的联系起来，不仅巩固了三角形的知识，也为接下来探究n边形的内角和起到了铺垫的作用.
二、合作探究，获取新知
活动一：五边形内角和
问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形（如图3），你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？
问题2：实验中学八年级学生小明和小亮利用下面的图形（图4）求出了五边形的五个内角的和，说说他们是怎么做的？还可以怎么做？
处理方式：先观察图形，引导学生思考回答，问题1通过画图类比四边形内角和解题过程可轻松回答，对于问题2，让学生充分的展开讨论，理解解题思路，探索不方法求出五边形的内角和，对于学生的不同求证方法，教师要在肯定的基础上予以点评.小组展示解题思路，教师总结归纳.预设学生回答.
1.五边形内角和等于540°.
2.思路1：如图4-1小明连接对角线把五边形分割成三个三角形，所以五边形的内角和是180°×3=540°.
思路2：如图4-2小亮在五边形内部取一点，连接这点和各个顶点，把五边形分割成五个三角形，五个三角形的内角和是180°×5=900°，然后再减去一个周角的度数，900°-360°=540°.
思路3：如图4-3在五边形的任意一边上取一点，则有180°×4=720°，然后再减去一个平角的度数，720°-180°=540°.
思路4：如图4-4在五边形外取一点，则有180°×4=720°，然后再减去外部一个三角形内角和度数，720°-180°=540°.
设计意图：通过类比对四边形内角和的探究，学生可以得出五边形内角和.主要目的是引导学生把五边形的内角和问题归化为三角形的内角和问题，对于问题2的探究注重学生之间的交流与探索，这对于接下来对n边形内角和的探究有很好的铺垫作用，同时也激发了学生的学习乐趣.
活动二：想一想
（1）按照图4-1的方法，六边形能分成多少个三角形？…n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？（n是大于或等于3的自然数）小组讨论后完成表格.
多边形边数
分割后图形
分成三角形的个数
内角和
规律
3
4
5
6
…
…
…
…
…
（2）按照图4-2的方法再试一试.
处理方式：学生先思考，再按照4-1的方法画图，同位之间交流,然后补充完整表格.此环节是本节课的重点，规律总结是难点，教师充分利用学生已有知识放手学生讨论，学生展示答案后，教师总结多边形内角和定理.对于学生不同的分割方法获得多边形内角和公式，教师应给予鼓励.预设学生回答.
1.六边形可分成4个三角形，七边形可分为5个三角形…n边形可分为（n-2）个三角形，六边形内角和为720°，七边形内角和为900°…n边形内角和为（n-2）个三角形（n-2）·180°(n
≥
3).
多边形边数
分割后图形
分成三角形的个数
内角和
规律
3
1
180°
180°
4
2
360°
360°
5
3
540°
540°
6
4
720°
720°
…
…
…
…
…
(n-2)
（n-2）·180°
（n-2）·180°
2.利用小亮的方法得出结论是：n×180°-360°=（n-2）180°.
多边形边数
图形分割方法
分割成的三角形个数
多边形的内角和
计算规律
3
3
180°
3×180°-360°
4
4
360°
4×180°-360°
5
5
540°
5×180°-360°
6
6
720°
6×180°-360°
…
…
…
…
…
n
…
n
(n-2)×180°
n×180°-360°=(n-2)×180°
定理：
n边形的内角和等于（n-2）·180°.
设计意图：通过对四边形和五边形内角和的探索，学生可以类比完成探究学习，归纳出多边形的内角和定理.对于学生在探究的过程中出现的问题，教师及时的点拨引导.通过学习培养学生勇于探索的精神，提高学生学习数学的兴趣.
巩固训练1：
1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它将六边形方程n个三角形，则m、n的值分别
为（
）
A.
4，4
B.
3，3
C
.
3，4
D.
4，4
2.过多边形的一个顶点的所以对角线把这个多边形分成了8个三角形，则这个多边形的边数是（
）
A.
8
B.
9
C
.
10
D.
11
3．下列角度能成为多边形的内角和的是（
）
A.
270°
B.
560°
C.
1800°
D.
1900°
三、例题解析，应用新知
如图5所示，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？
处理方式:给学生一分钟时间过程题目，口述解题过程，教师点评板书.
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4-2）×180°=360°
∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）
=360°-180°
=180°
∴∠B与∠D互补.
设计意图：本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题，关键是利用公式，首先判定是几边形，然后利用公式求解，巩固学生对多边形内角和公式的利用.
巩固训练2：
1.八边形的七个内角都为150°，则第八个内角=
.
2.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
四、引申思考，升华知识
思考1：想一想
正三角形（等边三角形）的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算的？
正四边形（正方形）的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算的？
正五边形、正六边形、正八边形呢···正n边形呢？
处理方式：学生思考、讨论，学生代表展示发现的结论，师生共同总结，教师板书正n边形的每个内角是：.预设学生回答.
正三角形内角为：；正四边形内角为：；
正五边形内角为：；正六边形内角为：；
正八边形内角为：；正n边形内角为：.
设计意图：利用多边形内角和公式求解正多边形的内角，从学生熟悉的正三角形入手，逐步过渡求正n边形的每个内角的度数，学生很容易解决，进一步增强了学生对多边形的认识，体会由特殊到一般的思想方法.
思考2：议一议
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
处理方式：出示问题，引导学生先思考，再画图，小组讨论可能会出现的情况.学生的思考可能不太全面，教师要适时提示学生由于剪的位置不同，得到的多边形的形状也不同，其内角和也不同，对于这样的问题要进行分类讨论.预设学生可能回答.
（1）如图6-1所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到的五边形内角和为（5-2）×180°=180°.
（2）如图6-2所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，得到的四边形内角和为（4-2）×180°=360°.
（3）如图6-3所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，得到的三角形内角和为180°.
设计意图：题目设置不仅进一步巩固了多边形内角和的知识，同时也考查了学生的动手操作能力.分类讨论告诉学生在具体的情景中，需要全面考虑，进一步体会合作学习的重要性，培养了学生合作学习的意识.
五、课堂小结，归纳知识
通过本节课的学习你有哪些收获，总结后与同学们共享.
处理方式：学生回顾思考，同位间相互交流，学生代表展示，师生共同总结.
1.多边形内角和定理.
2.利用多边形内角和定理解决简单的问题.
3.正多边形的的内角为.
……
设计意图：鼓励学生大胆发言，学会总结知识，对本节课知识的归纳，对探究活动中得失，对经验方法的思考，不仅促进学生对知识的掌握，也有利于学生以后的学习.
六、达标测试，巩固知识
A组：
1.若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是（
）
A.9
B.8
C.7
D.6
2.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A.9
B.8
C.7
D.6
3.正十二边形每个内角的度数为
.
4.如图7所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝、不重叠的图形一部分，
这种多边形是几边形？为什么？
B组：
5.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（
）
A．5
B．5或6
C．5或7
D．5或6或7
6.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比为1﹕2，求这两个多边形的边数.
处理方式：出示题目，学生独立完成，教师出示答案，学生自行纠错，对部分题目(如5、6两题)教师适当的点拨讲解.
参考答案：1.
D.
2.
B
3.
150°.
4.解：设这个多边形的边数为n，每个内角的度数为x°，则3x=360，x=120；
所以（n-2）180=120n，解得n=6.
5.解：设内角和为720°的多边形的边数为n，则（n-2）180°=720°，
解得n=6.所以原多边形的边数为5或6或7.
6.解：设两个多边形边数分别为3n、4n，根据题意得：
180（3n-2）﹕180（4n-2）=1﹕2
解得n=1，所以两个多边形的边数为3和4.
设计意图：设置不同层次的题目，满足不同学生的需求，不仅提高认识知识的效率，也强化了学习重点，同时也对学生存在的问题及时有效地进行了反馈，也为下节课的学习做好准备.
七、作业布置，延伸知识
必做题：课本
习题6.7
第1、2、3题.
选做题：课本
习题6.7
第4题.
板书设计：
§6.4
探索多边形的内角和与外角和（1）
一、多边形内角和定理：二、例题解析：
三、正多边形的内角：
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
图1-1
图2
图3
图4-1
图4-2
图4-3
图4-4
例1说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
图5
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
图6-1
图6-2
图6-3
图7
投
影
区
学生活动区(共24张PPT)
北师大版八年级数学下册
6.4
多边形的内角和与外角和(1)
1.如图1-1三角形三个内角的和等于多少度？
2.如图1-2、1-3正方形、长方形的内角和等于多少度？
图1-1
图1-2
图1-3
复习引入
3.如图1-4对于一般的四边形它的内角和是否也等
于360°？你是怎么得到的？
图1-4
思路2：把四个角剪下来，
可以拼成一个周角.
复习引入
思路1：用量角器测量.
3.如图1-4对于一般的四边形它的内角和是否也等
于360°？你是怎么得到的？
思路3：如图连接一条对角线，把四边形分割成
两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
复习引入
健身广场中心的边缘是一个五边形，你能类比求四边
形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？
五边形内角和等于540°.
合作探究
实验中学八年级学生小明和小亮利用下面的图形
求出了五边形的五个内角的和，说说他们是怎么
做的？还可以怎么做？
小明
小亮
合作探究
思路1：如图4-1小明连接对角线把五边形分割成三个
三角形，所以五边形的内角和是180°×3=540°.
思路2：如图4-2小亮在五边形内部取一点，连接这点和
各个顶点，把五边形分割成五个三角形，五个三角形的
内角和是180°×5=900°，然后再减去一个周角的度
数，900°-360°=540°.
图4-1
图4-2
合作探究
思路3：如图4-3在五边形的任意一边上取一点，
则有180°×4=720°，再减去一个平角的度数，
所以：720°-180°=540°.
思路4：如图4-4在五边形外取一点，则有
180°×4=720°，再减去外部一个三角形内角
和度数，所以720°-180°=540°.
图4-3
图4-4
合作探究
多边形边数
分割后图形
分成三角形的个数
内角和
规律
3
4
5
6
…
…
…
…
…
n
按照图4-1的方法，六边形能分成多少个三角形？
…n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？
（n是大于或等于3的自然数）小组讨论后完成表格.
想一想
多边形边数
分割后图形
分成三角形的个数
内角和
规律
3
1
180°
180°
4
2
360°
360°
5
3
540°
540°
6
4
720°
720°
…
…
…
…
…
n
(n-2)
（n-2）·180°
（n-2）·180°
六边形可分成4个三角形，七边形可分为5个三角形…n边形可分
为（n-2）个三角形，六边形内角和为720°，七边形内角和为
900°…n边形内角和为（n-2）个三角形（n-2）·180°(n
≥
3).
想一想
多边形
边数
图形分
割方法
分割成的三角形个数
多边形的内角和
计算规律
3
3
180°
3×180°-360°
4
4
360°
4×180°-360°
5
5
540°
5×180°-360°
6
6
720°
6×180°-360°
…
…
…
…
…
n
…
n
(n-2)×180°
n×180°-360°
=(n-2)×180°
利用小亮的方法得出结论是：
n×180°-360°=（n-2）180°.
想一想
n边形的内角和等于（n-2）·180°.
多边形内角和定理：
1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它
将六边形方程n个三角形，则m、n的值分别为（
）
A.
4，4
B.
3，3
C.
3，4
D.
4，4
2.过多边形的一个顶点的所以对角线把这个多边形分成
了8个三角形，则这个多边形的边数是（
）
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
3．下列角度能成为多边形的内角和的是（
）
A.
270°
B.
560°
C.
1800°
D.
1900°
巩固训练
如图所示，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，
∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4-2）×180°=360°
∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）
=360°-180°
=180°
∴∠B与∠D互补.
说明：如果四边形一组对角互补，
那么另一组对角也互补.
例题解析
1.八边形的七个内角都为150°，则第八个内角=
.
2.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形
分成5个三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是
多少？
巩固训练
1.正三角形（等边三角形）的内角和等于多少度？
每个内角等于多少度？你是怎么计算的？
2.正四边形（正方形）的内角和等于多少度？
每个内角等于多少度？你是怎么计算的？
3.正五边形、正六边形、正八边形呢···正n边形呢？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
引申思考
正n边形内角为：
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？
这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
（1）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到
的五边形内角和为（5-2）×180°=180°.
议一议
（2）如图6-2所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，
得到的四边形内角和为（4-2）×180°=360°.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？
这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
议一议
（3）如图6-3所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，
得到的三角形内角和为180°.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？
这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
议一议
通过本节课的学习你有哪些收获，总结后与同学们共享.
1.多边形内角和定理.
2.利用多边形内角和定理解决简单的问题.
3.正多边形的的内角为
.
……
……
课堂小结
达标测试
A组：
1.若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边
形的边数是（
）
A.9
B.8
C.7
D.6
2.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的
边数为（
）
图7
A.9
B.8
C.7
D.6
3.正十二边形每个内角的度数为
.
4.如图7所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝、
不重叠的图形一部分，这种多边形是几边形？为什么？
解：设这个多边形的边数为n，每个内角的度数为x°，
则3x=360，x=120；
所以（n-2）180=120n，解得n=6.
150°
B
D
B组：
5.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（
）
A．5
B．5或6
C．5或7
D．5或6或7
6.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比为1﹕2，
求这两个多边形的边数.
5.解：设内角和为720°的多边形的边数为n，则（n-2）180°=720°，
解得n=6.所以原多边形的边数为5或6或7.
6.解：设两个多边形边数分别为3n、4n，根据题意得：
180（3n-2）﹕180（4n-2）=1﹕2
解得n=1，所以两个多边形的边数为3和4.
达标测试
作业
必做题：课本
习题6.7
第1、2、3题.
选做题：课本
习题6.7
第4题.
谢
谢
