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北师大版八年级数学下册
6.2
平行四边形的判定（3)
复习引入
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形有哪些性质？
3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
4.在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样
长 你能说明理由吗？
夹在两根平行铁轨之间的平行枕木一样长.
因为两根铁轨平行，每两根枕木平行，两根铁轨与两根枕木构
成了平行四边形，根据平行四边形对边相等，所以平行枕木一
样长.
自主探究
图1
例3
已知，如图1，直线a∥b，
A，B是直线a上任意
两点，AC⊥b，BD⊥b，垂直分别C，
点D.
求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°
∴AC∥BD.
∵AB∥CD.
∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴AC=BD.
自主探究
思考1：什么是点到直线的距离？
思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是
平行线之间的距离？
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之
间的距离.
平行线之间的距离
想一想
马路隔离栏
公园篱笆
防盗网
围墙栏杆
楼梯扶手
观察图片
想一想
结合图片与所学知识猜想：
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
夹在平行线间的平行线段一定相等.
注：两平行线间的距离处处相等.
小试牛刀
如图所示，直线l1∥l2，点A、C在直线l1上，点B、D
在直线l2上，若△ABD，△CBD的面积分别为S1、S2，
则有（
）
A.
S1﹥S2
B.
S1﹤S2
C.
S1=S2
D.无法确定
l1
l2
C
做一做
图2
如图2，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,
并说明画法和其中的道理.
做一做
1.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
做一做
做一做
3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例题解析
例4
如图3，在平行四边形ABCD中，点M，N
分别在AD
和BC上，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE.
求证：四边形MENF是平行四边形.
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB（平行四边形的定义）.
∴∠MDF=∠NBE.
又∵DM=BN
，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=EN
∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥EN.
∴四边形MENF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
再试牛刀
如图4，平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过
D作BE的平行线交BC于点F
，求∠CDF的度数.
图4
思路1：在平行四边形ABCD中，
∠ABC=70°，
∴∠ADC=∠ABC=70°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=35°
∵BE//DF，ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF=35°(平行四边形的对角相等).
∵∠CDF+∠EDF=∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°.
再试牛刀
如图4，平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过
D作BE的平行线交BC于点F
，求∠CDF的度数.
图4
思路2：在平行四边形ABCD中，
∵ CD∥AB，∠ABC=70° ，
∴∠C＝110°。
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠EBF=35°。
∵BE//DF，
∴∠EBF=∠DFC＝35°。
在△DFC中，
∴∠CDF＝180°－110°－35°＝35°。
总结收获
结合本节课学习说一说你有哪些感想！
（1）对自己说：
（2）对同学说：
（3）对老师说：
达标测试
1.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，点M到
直线b的距离是2cm，那么直线a、直线b之间的距离
是（
）
A.2cm
B.6cm
C.
2
cm或6cm
D.4cm
2.两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原
理是
.
3.如图5，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交
点，OE⊥AC于点E，若OE=3cm，那么AB
，CD
间的距
离是
cm.
图5
C
平行线之间的距离处处相等
6
达标测试
4．如图6，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角
线AC上的两点，∠1＝∠2．
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．
图6
作业布置
必做题：习题6.5
第1，2，3题
选做题：习题6.5
第4，
5题课题：6.2.3平行四边形的判定
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．认识平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等，并了解其简单应用；
2．利用平行四边形的判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”，
发展演绎推理能力；
3．
在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．
教学重点与难点：
重点：行四边形的性质和判定的应用及平行线之间的距离．
难点：平行四边形的性质和判定的综合运用．
课前准备：
教师准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，复习引入
问题1：什么是平行四边形？
问题2：平行四边形有哪些性质？
问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
问题4：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗？
处理方式：前3个问题，学生思考后回答；问题4引导学生结合所学平行四边形的知识
讨论，教师参与其中，并提醒学生注意问题中的关键词语，学生代表展示讨论结果，教师由此引入新课并板书课题.预设学生回答.
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分.
3.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.夹在两根平行铁轨之间的平行枕木一样长.因为两根铁轨平行，每两根枕木平行，两根铁轨与两根枕木构成了平行四边形，根据平行四边形对边相等，所以平行枕木一样长.
设计意图：先复习平行四边形的有关知识，然后结合所学知识和生活实际对问题4展开讨论，让学生感受数学知识在生活中的应用，进一步体会数学来源于生活又服务于生活.
二、自主探究，合作交流
活动一：平行线之间的距离
例3
已知，如图1，直线a∥b，
A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂直分别C，点D.
求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°。
∴AC∥BD.
∵AB∥CD.
∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴AC=BD.
思考1：什么是点到直线的距离？
思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是平行线之间的距离？
处理方式：例题实际是把铁轨实例抽象为数学知识，因此教师引导学生先分析题意，根据已知条件和求证内容，结合所学知识尝试独立完成，教师点评矫正.
先复习点到直线的距离，然后引导学生小组分析、讨论、交流，总结出平行线的距离，不仅利于学生理解，也便于学生用语言表述.学生代表展示结论，师生共同总结.
总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的.
设计意图：平行线之间的距离是本结课的重点，学生接受起来有一定困难.通过例题的探索结合思考题的交流与讨论，逐步总结平行线之间的距离这一定义，循序渐进，符号学生的认知规律，利于学生对知识的理解.
活动二：想一想
观察一组图片，结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
处理方式：教师出示图片，学生观察图片，小组讨论后回答问题，教师巡视并参与讨论，适时提示学生从平行四边形的定义和性质考虑.师生共同总结.预设学生回答.
1.类比之前证明的“枕木问题”得出夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
2.由夹在两条平行线间的平行线段，可知是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.根据平行四边形性质（平行四边形的对边相等），可以得出夹在平行线之间的平行线段一定相等.
总结：夹在平行线间的平行线段一定相等.
注：两平行线间的距离处处相等.
小试牛刀:
1.如图所示，直线l1∥l2，点A、C在直线l1上，点B、D
在直线l2上，若△ABD，△CBD的面积分别为S1、S2，则
有（
）
A.
S1﹥S2
B.
S1﹤S2
C.
S1=S2
D.无法确定
设计意图：一组图片与生活息息相关，一目了然，用平行线间的距离作铺垫，结合生活中的实际，利用类比及小组合作的方式让学生在讨论中得出夹在平行线间的平行线段一定相等，有水到渠成的感觉，不仅深化学生对平行四边形有关知识的理解，也提高了学生的应用及归纳能力.
活动三：做一做
如图2，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明
画得方法和其中的道理.
处理方式：本题着重考察学生对平时四边形的定义及判定定理
的理解与运用，灵活性较强.教师引导学生分组合作、探究交流画
出平行四边形并展示.学生的方法可能是多种多样的，但应让学生
说出自己的方法及依据.预设学生可能方法.
1.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
设计意图：通过网格画图，不仅考查了学生对平行四边形定义和判定掌握情况，也考查了学生动手实践能力.教师在此过程中，注意学生操作的规范性和运用知识的合理性.对学生的不同做法要及时评价并以肯定，以提高学生的学习积极性.
三、例题解析，应用提升
例4
如图，在平行四边形ABCD中，点M，N
分别在AD和
BC上，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE.
求证：四边形MENF是平行四边形.
处理方式：本题综合考查了平行四边形的定义、性质及判定.教师注意引导学生如何从已知条件入手，恰当选择合适的判定定理解题.学生先独立思考，小组内进交流，学生代表说出证明思路，教师点评矫正并展示证明过程.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB（平行四边形的定义）.
∴∠MDF=∠NBE.
又∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=EN
∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥EN.
∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
再试牛刀：
如图4：平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，
∠ABC的平分线交AD于点E，过
D作BE的
平行线交BC于点F
，求∠CDF的度数.
处理方式：出示题目，1生黑板板演，其余学生
独立完成，教师巡视指导，学生完成后，集中矫正.预设学生.
思路1：在平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，
∴∠ADC=∠ABC=70°(平行四边形对角相等).
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=35°
∵BE//DF，ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF=35°(平行四边形的对角相等).
∵∠CDF+∠EDF=∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°.
思路2：在平行四边形ABCD中，
∵ CD∥AB，∠ABC=70° ，
∴∠C＝110°。
∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠ABE＝∠EBF=35°
∵BE//DF
∴∠EBF=∠DFC＝35°
在△DFC中
∴∠CDF＝180°－110°－35°＝35°
设计意图：例题及练习的设置，进一步巩固平行四边形的有关知识.加深学生对平行四边形的性质定理和判定定理的理解,从而达到灵活的运用.对于学生的不同证明方法，教师在点评的同时予以鼓励.
四、总结收获，提炼反思
学习需要不断的反思与总结，结合本节课学习说一说你有哪些感想.
（1）对自己说：
.
（2）对同学说：
.
（3）对老师说：
.
处理方式：学生用自己的语言来总结知识点，小组内进行交流,互相补充，教师适时点拨、及时点评．
设计意图：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人，学生可以选择自己喜欢的方式展示自己的收获.
五、达标测试，巩固提高
1.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，点M到直线b的距离是2cm，那么直线a、直线b之间的距离是（
）
A.
2cm
B.
6cm
C.
2
cm或6cm
D.
4cm
2.两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是
.
3.如图5，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE=3cm，那么AB
，CD
间的距离是
cm.
4．如图6，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
处理方式：学生独立解题后，教师出示答案，对于在解题过程中出现的问题及时总结，分析原因，及时矫正.
设计意图：当堂达标的题目重在考查本课学习的知识，发现学生在学习过程中出现的问题，提高学生的综合能力.
六、作业布置，课外延伸
必做题：习题6.5
第1、2、3题
选做题：习题6.5
第4、5题
设计意图：学生可根据自己的学习情况选择适合自己的作业，这样做既减轻了学困生作业的过重负担，又增加了他们完成作业的积极性，为他们自主完成作业平添了信心和乐趣.
板书设计:
§6.2
平行四边形的判定(3)
例3平行线之间的距离：
夹在两条平行线间的平行线段一定相等：
例4
图1
l1
l2
图2
图3
图4
图6
图5
投
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