自我小测
1．下列语句正确的是( )
①0与{0}表示同一集合；
②第一、三象限的点集可表示为{(x，y)|xy>0}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4
A.①④
B．②③
C．②
D．都不对2．方程组的解集是( )
A．(5,4)
B．(5，－4)
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
3．集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3}
B．{1,3}
C．{－1,3}
D．{1，－3}
5．定义集合运算：A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的所有元素之和为( )
A．0
B．2
C．3
D．6
6．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
7．用描述法表示集合为______．
8．规定?与 是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b有：a b＝ab，a?b＝b(a2＋b2＋1)．若－29．用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组的解；
(3)函数y＝图象上的所有点．
10．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，求集合B.
11．(信息题)定义集合A，B的一种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A
B中的所有元素之和为多少？
参考答案
1.
解析：只有②正确，①中0与{0}不表示同一集合，③中方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,2}，④中集合的元素不能一一列举出来，不能用列举法表示．
答案：C2.
解析：由x2－y2＝9，得(x＋y)(x－y)＝9，将x＋y＝1代入，得x－y＝9.
由解得
故方程组的解集为{(5，－4)}．
答案：D3.
解析：若2为底边长时，30°角可以是顶角或底角两种情形；若2为腰长时，30°角也可以是顶角或底角两种情形．故集合中有4个元素．
答案：D
4.
解析：当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.
故M＝{－1,3}．
答案：C5.
解析：因为z＝xy，x∈A，y∈B，所以z的取值有1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A
B＝{0,2,4}，所以集合A
B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
答案：D
6.
解析：由题意知A＝，
∵1 A，∴1≤－，即a≤－2.
答案：a≤－2
7.
答案：
8.
解析：由－2x＝2(a b)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1，(
)
将a＝－1，b＝0代入(
)式，得x＝2；
将a＝0，b＝1代入(
)式，得x＝2；
将a＝－1，b＝1代入(
)式，得x＝1，
故A＝{1,2}．
答案：{1,2}
9.
解：(1)由于|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为－2，－1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合，用列举法可表示为{－2，－1，0,1,2}，用描述法可表示为{x||x|≤2，x∈Z}．
(2)解方程组得
所以用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
(3)函数y＝图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y＝，所以用描述法可表示为.
10.
解：由A＝{2}，得方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实根，且x＝2.
从而有
解得
从而B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
解方程(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1，得x＝3±.
故B＝{3－，3＋}．
11.
解：∵x1∈A，x2∈B，A
B＝{x|x＝x1＋x2}，则x1＋x2的和如下表所示：
x1＋x2
x1
x2 1,2,3
1,2,3,4
2,3,4,5
∴A
B＝{2,3,4,5}，故所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.自我小测
1．集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是( )．
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
2．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0有唯一实数解}，则A用列举法可表示为( )．
A．A＝{1}
B．A＝{0}
C．A＝{0,1}
D．A＝{0}或{1}
3．方程组的解集是( )．
A．{2,1}
B．(2,1)C．{(2,1)}
D．{－1,2}
4．若集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若点P(2,3)∈A，且
，则( )．
A．m>－1，n<5
B．m<－1，n<5C．m>－1，n>5
D．m<－1，n>5
5．定义集合运算：．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合的所有元素之和为( )．
A．0 B．2
C．3 D．66．下列表示同一个集合的是( )．
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)，(2,3)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{3,4}，N＝{(3,4)}
D．M＝{y|y＝x2＋1}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1}
7．设A＝{x－2,2x2＋5x,12}，已知－3∈A，则x＝________.
8．含有三个实数的某集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2
007＋b2
008＝________.
9．已知集合，，试问集合A与B共有几个相同的元素，并写出由这些相同元素组成的集合．
10.已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.思考：把条件中的“只有一个元素”改为“有两个元素”，k的值是什么？
参考答案1.
答案：B解析：由x∈N＋，且x<5知，x＝1,2,3,4.
2.
答案：C
解析：当a＝0时，方程2x＋1＝0有唯一解；当a≠0，且Δ＝22－4a＝0，即a＝1时，方程x2＋2x＋1＝0有唯一解x＝－1.
3.
答案：C解析：方程组的解的代表形式为(x，y)．
4.
答案：A
解析：由P∈A，且得
∴
5.
答案：D解析：∵，
∴所有元素之和为6.
6.
答案：B
7.
答案：
解析：∵－3∈A，
∴x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，解得.
x＝－1时，x－2＝2x2＋5x＝－3，与元素互异性矛盾，
∴.
8.
答案：－1解析：由题意得①或②
由①得而不符合集合元素的互异性，由②也有舍去，
∴
∴a2
007＋b2
008＝－1.
9.
解：因为x∈N，，当x＝1时，；当x＝7时，；当x＝9时，.
所以A＝{1,7,9}，B＝{1,3,9}．
所以集合A与B共有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1,9}．
10.
解：当集合A只有一个元素时，①当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2，此时集合A＝{2}．
②当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，需Δ＝0，即(－8)2－4×16×k＝0，解得k＝1，此时，方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，集合A＝{2}；当k＝1时，集合A＝{4}．
当集合A有两个元素时，即一元二次方程kx2－8x＋16＝0有2个不同的根，所以即
解得
所以k的取值范围是{k|k<1，且k≠0}.自我小测
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
2．已知集合A为大于的数构成的集合，则下列说法正确的是( )
A．2∈A，且3∈A
B．2∈A，且3 A
C．2 A，且3∈A
D．2 A，且3 A
3．若a，b，c为集合S中的三个元素，并且它们也是△ABC的边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
5．已知集合A是无限集且集合A中的元素为12,22,32，42，…若m∈A，n∈A，则m?n∈A.其中“?”表示的运算可以是( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
6．对于由元素2,4,6构成的集合，若a∈A，则6－a∈A.其中a的值是__________．
7．设a，b是非零实数，那么＋可能取的值构成的集合中的元素有________．
8．若由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数构成集合A，试判断＋2是否为集合A中的元素？请说明理由．
9．判断下列语句是否正确？并说明理由．
(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合；
(2)由1，，，，0.5构成的集合有5个元素；
(3)将小于100的自然数，按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合．10．已知方程ax2－2x＋1＝0的实数解构成集合A，若集合A中仅有一个元素，求实数a的值．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：C
3.
答案：D4.
解析：由题意，知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.
经检验，当m＝0或m＝2时，不满足集合A中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上可知，m＝3.答案：B
5.
解析：因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方，故选C.答案：C6.
解析：当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0 A.因此a的值为2或4.答案：2或4
7.
解析：按a与b的正负分类讨论求解，有四种情况：
当a>0，b<0时，原式＝0；当a>0，b>0时，原式＝2；当a<0，b>0时，原式＝0；当a<0，b<0时，原式＝－2.
答案：－2,0,2
8.
解：不是．因为＋2＝3×＋×2，虽然该数中b＝2∈Z，但a＝ Z，所以＋2 A.
9.
解：(1)错误．因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性．
(2)错误．因为＝，＝0.5，根据集合中元素的互异性知，由1，，，，0.5构成的集合只有3个元素：1，，0.5.
(3)错误．根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一个集合．10.
分析：A中仅有一个元素，则关于x的方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数解，这样转化为讨论关于x的方程ax2－2x＋1＝0的实数解的个数问题．要对实数a是否为0分类讨论．解：当a＝0时，方程化为－2x＋1＝0，
解得x＝，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－2x＋1＝0是一元二次方程，
由于集合A中仅有一个元素，
则一元二次方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数根，
所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上所得，a＝1或a＝0.自我小测
1．下列所给对象不能构成集合的是( )．
A．平面内的所有点
B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所有点
C．清华大学附中高三年级全体学生
D．所有高大的树
2．下列语句中正确的个数是( )．①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含有6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是有限集；⑤某时刻地球上所有人的集合是无限集．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )．
A．1
B．－2
C．6
D．2
4．给出以下关系式：①∈R，②2.5∈Q，③，④.其中正确的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．以实数x，－x，，|x|，－|x|，，，为元素所构成的集合中最多含有( )．
A．2个元素
B．7个元素
C．4个元素
D．5个元素
6．已知x，y，z是非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则M中有________个元素．
7．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．
8．用符号∈和 填空．
(1)设集合A是正整数的集合，则0________A，________A，(－1)0________A；
(2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B,1＋________B；
(3)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；(4)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)的集合，则－1________D，(－1,1)________D.9．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a，b，c∈R)，当a，b，c满足什么条件时，以实数解构成的集合分别为空集、含一个元素、含两个元素？
10.数集M满足条件：若a∈M，则(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．
参考答案
1.
答案：D
解析：“高大”一词标准不明确，不满足集合元素的确定性．2.
答案：A
3.
答案：C
解析：将各个值代入检验，A中元素满足互异性．
4.
答案：C解析：①②④正确．
5.
答案：A
解析：∵，，
，|，
∴题目中的实数都可转化为x，－x，|x|，－|x|.
当x＝0时，构成的集合中有1个元素；x≠0时，有2个元素．
6.
答案：3
解析：分x，y，z中有一个为正，有两个为正，三个均为正，三个均为负，这四种情况讨论．7.
答案：2或4
解析：当a＝2时，6－a＝4，符合题意；当a＝4时，6－a＝2，符合题意；当a＝6时，6－a＝0，不符题意．
8.
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)0和都不是正整数，(－1)0＝1是正整数，依次应填，，；
(2)∵，，
∴.
∴依次应填，∈；
(3)由于n是正整数，∴n2＋1≠3.
而n＝2时，n2＋1＝5，
∴依次应填，∈；
(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，所以.
又(－1)2＝1，所以依次应填 ，∈.9.
解：∵Δ＝b2－4ac，
∴(1)当Δ<0，即b2－4ac<0时，方程无实数解，此时以实数解构成的集合为空集．
(2)当Δ＝0，即b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数解，此时解构成的集合含有一个元素．
(3)当Δ>0，即b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数解，此时解构成的集合含有两个元素．10.
解：∵a＝3∈M，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴M中的元素有：3，－2，，.