课题：2.5.1一元一次不等式和一次函数
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.能利用函数图象解一元一次不等式,初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系.
2.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识和利用数学知识解决实际问题的能力.
3.体验数、形是有效地描述现实世界的重要手段，体会数学与生活的密切联系，增强学数
学的兴趣和积极性.
教学重点与难点:
重点：了解一元一次不等式与一次函数的关系,解决生活中的实际问题.
难点：根据题意找出题中的等量或不等关系，列出函数关系式，并能把函数关系与一元一次不等式联系起来.
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾，引入新课
（课件展示）
1.一次函数的一般形式是什么？
2.一次函数的图象是__________，__________确定一次函数图象.
3.做函数图象的一般步骤是什么？
4.一次函数的性质？
处理方式：引导学生思考回答.对学生回答的不准确、不到位的地方，教师随时点拨，并出示课件帮助学生知识再现.预设学生回答.
1.一次函数的一般形式：（），当b=0时，y是x的正比例函数.
2.一次函数的图象是一条直线，所以可以用“两点法”做出一次函数图象.
3.做函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线.
4.当k>0时，y随x增大而增大，图象呈上升趋势.当k<0，y随x增大而减小，图象呈下降趋势.
（课件展示）
如右图一次函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题:
(1)x取哪些值时,y=0
(2)x取哪些值时,y>0
(3)x取哪些值时,y<0
(4)x取哪些值时,y>3
处理方式：引导学生回答，教师点评总结：由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的关系，这节课我们就来探索一元一次不等式与一次函数的关系．
设计意图：回顾一次函数的相关知识，帮助学生知识再现，为本节课知识的顺利学习做好铺垫；4个小题的“过渡”提示学生利用等量代换把一次函数问题转化为方程、不等式，领会转化思想，初步体会一次函数与方程、不等式之间的联系；学习目标似“罗盘”，给学生明确了学习方向.
二、合作交流，领悟新知
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
如右图一次函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题:
(1)
x取哪些值时,y=0
(2)x取哪些值时,y>0
(3)x取哪些值时,y<0
(4)x取哪些值时,y>3
处理方式：引导学生观察图象，分组探究结论，选代表分析，教师展示过程.
（1）当y=0时，2x－5=0,即x=,∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0；
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0；
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
设计意图：通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系.
（课件展示）
思考：能否将上述
“关于函数值的问题”,改为“关于x的不等式的问题”？
处理方式：教师点拨引导学生回答，教师展示过程.
(1)
x取哪些值时,
2x－5=0
(2)x取哪些值时,
2x－5>0
(3)x取哪些值时,
2x－5<0
(4)x取哪些值时,
2x－5>3
总结：“关于一次函数的值的问题”可变换成“关于一次不等式的问题”；反过来，“关于一次不等式的问题”可变换成“关于一次函数的值的问题”.因此这类题目有两种解法即：图像法和解不等式法.
设计意图：通过观察一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，让学生从整体上感受利用一次函数可以帮助解决一元一次不等式和方程的问题.学生初看题目会比较迷糊，通过仔细观察、小组交流和教师重点点拨使问题一点一点迎刃而解.教师的点拨旨在强调重点，请学生讲解，为学生提供表现和竞争的平台，激发学生的学习兴趣，初步体会数形结合、函数与不等式结合的思想.
牛刀小试:
1、若y1=-x+3，y2=3x-4，试确定当x取何值时:
（1）y1＜y2？
（2）y1=y2？
（3）y1>y2？
处理方式：学生看图，口答.对于不明白的地方，同位交流.
设计意图：通过“牛刀小试”趁热打铁，巩固学生们刚探索出来的新知，加深数形结合的意识.
三、例题讲解，学以致用
例1
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
（1）3x+6>0，(即y>0)；
（2）3x+6≤0，(即y≤0)；
（3）-x+3≥0，(即y≥0)；
（4）-x+3<0，(即y<0).
处理方式：教师点拨引导学生回答，教师展示过程.
（1）x>-2；
（2）x≤-2；
（3）x≤3；
（4）x>3．
练习：利用的图像，直接写出：
(1)方程的解；
(2)不等式的解集；
(3)
不等式的解集；
(4)
不等式的解集.
处理方式：引导学生思考回答，小组交流.预设学生回答.
设计意图:一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在合作学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.
做一做：
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9
m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3
m，哥哥每秒跑4
m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20
m？谁先跑过100
m？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流.
处理方式：引导学生积极思考,在小组内交流后有两位同学到各自黑板区合作完成.师注意观察各组在完成题目时遇到的困难和出现的错误.对于学生不同的做法如列出关系式后，用不等式或方程的方法解出，应给予肯定和鼓励.
解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得
y1=4x，y2=3x+9。
从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题结果：
（1）当0＜x＜9即前9秒时，弟弟跑在哥哥前面；
（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
设计意图：利用不同方法解决生活中的实际问题，感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，以及分类讨论的思想，体会数学与生活的密切联系.
通过学生讨论，请小组代表交流，达到学生合作，师生互动的效果，突破难点，培养学生合作学习的能力.
随堂练习：
已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？
处理方式：小组内交流起来，师找两名同学到黑板完成，加以评价.
设计意图：这是继“做一做”后解决这一类题型的方法巩固，进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.
四、课堂小结，反思提高
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式.
设计意图：让学生通过自我反思性活动增强对相关知识和方法的理解水平.感受到数学的作用.
五、达标检测，反馈矫正
1.一次函数与轴的交点坐标为，则一元一次不等式的解集为（
）
A、
B、
C、
D、
2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每支钢笔5元，每本笔记本2元，那么小明最多能买__________支钢笔．
3.作出函数的图象，观察图象，回答下列问题：
（1）x取什么值时，y大于-2？
（2）x取什么值时，y小于-2？
（3）x取什么值时，y大于0．
4.已知，当x取何值时，
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
六、布置作业，课后促学
必做题：习题2.6
第
1、2题.
选做题：习题2.6
第3、4题.
设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，即巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况，为后续教学做准备．
板书设计:
§2.5
一元一次不等式和一次函数（1）
复习回顾：
例题（做一做）：
练习：(共15张PPT)
回顾与思考
1.一次函数的一般形式是什么？
2.一次函数的图象是
，
确定一次函数图象.
3.做函数图象的一般步骤是什么？
4.一次函数的性质？
我们知道:一次函数的图象是一条直线.
如右图一次函数
y
=
2x
-
5
的图象，
(2.5
,
0)
观察图象回答下列问题:
回顾与思考
(1)
x
取哪些值时,
y=0
(2)
x
取哪些值时,
y>0
x
>
2.5
时
,
y
>
0
;
x
=
2.5
时
,
y
=
0
;
(3)
x
取哪些值时,
y<0
x
<
2.5
时
,
y
<
0
;
(4)
x
取哪些值时,
y>3
x
>
4
时
,
y
>
3
;
思考
能否将上述
“关于函数值的问题
”,
改为
“关于x
的不等式的问题”
？
0
x
1
2
3
-1
4
1
-1
-2
3
-4
-3
2
-5
-6
y
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
作出一次函数
y
=
2x
-
5
的图象如右，
观察图象回答下列问题:
(1)
x
取哪些值时,
y
=0
(2)
x
取哪些值时,
y
>0
(3)
x
取哪些值时,
y
<0
(4)
x
取哪些值时,
y
>3
(2.5
,
0)
y
0
x
1
2
3
-1
4
1
-1
-2
3
-4
-3
2
-5
-6
因为
y
=
2x
–
5，
所以，将(1)～(4)
中的
y
换成
2x-5,
2x-5
2x-5
2x-5
2x-5
则
原题“关于一次函数的值的问题”
就变成了“关于一次不等式的问题”
反过来
想一想
能否把
“关于一次不等式的问题”
变换成
“关于一次函数的值的问题”？
由上述易知：
函数、(方程)
不等式
“关于一次函数的值的问题”可变换成
“关于一次不等式的问题”
；
反过来，
“关于一次不等式的问题”可变换成
“关于一次函数的值的问题”.
因此，
我们既可以运用函数图象解不等式
，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题
，
二者相互渗透
，互相作用.
不等式与
函数
、方程
是紧密联系着
的一个整体.
如果
y=-2x-5
,
那么当
x
取何值时
,
y>0
你解答此道题,
可有几种方法
想一想
方法一:
将函数问题转化为不等式问题.
即
解不等式
-2x-
5
>
0
;
方法二:
图象法.
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
由图易知，
当
x
<
-2.5时，
y>0
.
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
1.若y1=-x+3,
y2=3x-4,试确定当x取何值时
（1）y1＜y2？
（2）y1=y2？
（3）y1>y2？
当x＞
时，y1＜y2.
当x= 时，y1=y2.
当x＜ 时，y1>y2.
你解答此道题,
可有几种方法
图象法：
方法点睛
过两函数交点作平行于y轴的直线比较直线两旁两函数图像位置高低，位置高y值大，位置低y值小.
x取值以直线与x轴交点为分界点.
-2
x
y=3x+6
y
例
1
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
3x+6>0;
(3)
–x+3
≥0;
x
y
3
y=-x+3
(2)3x+6
≤0;
x>-2
(4)
–x+3<0.
x≤3
x≤-2
x>3
(即y>0)
(即y≤0)
(即y<0)
(即y≥0)
利用y=
的图像，
直接写出：
y
2
5
x
y=
x+5
x=2
x<2
x>2
x<0
(即y=0)
(即y>0)
(即y<0)
(即y>5)
；
；
；
.
练习：
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑
9
米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑
3
米，哥哥每秒跑
4
米。
列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)
何时弟弟跑在哥哥前面？
用多种方法解行程问题
y1=
，y2=
.
(2)
何时哥哥跑在弟弟前面？
(3)
谁先跑过
20米？谁先跑过
100米？
你是怎样求的？与同伴交流.
设x
为哥哥起跑开始的时间,
则
哥哥与弟弟每人所跑的距离
y
(m)
与时间
x
(s)
之间的关系式分别是：
9+3x
4x
答案:
(1)
从哥哥起跑开始
,
弟弟跑在哥哥前面;
(2)
从哥哥起跑开始
,
哥哥跑弟弟在前面;
(3)
先跑过
20米,
先跑过
100米
.
9s
前
9s
后
弟弟
哥哥
2.图像法.
1.直接解不等式；
随堂练习
1.已知
y1=
-x+3，y2=3x-4
，当
x
为何值时，y1>y2
你是怎样做的
与同伴交流.
一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围,
这个取值范围,
既可从一次函数的图象上直观看出(近似值),
也可通过解(方程)不等式而得到(精确值).
“一次函数问题”可转换成
“一次不等式的问题”
；
反过来，“一次不等式的问题”可转换成
“一次函数的问题”.
我们既可以运用函数图象解不等式
，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题
，
二者相互渗透
，互相作用.
不等式与
函数
、方程
是紧密联系着
的一个整体.
对于行程问题,
应首先建立起“路程关于时间的函数关系式”，再通过解不等式得到问题的解；
或先通过解方程求出追及(相遇)的时刻,
再解答相应的问题.
这节课我们学到了哪些知识？
必做题：习题2.6
第1、2题.
选做题：习题2.6
第3、4题.
独立
作业
