(共18张PPT)
2.4.1
一元一次不等式
北师大版数学八年级下册
还记得解一元一次方程的步骤吗
知识回顾
你能说出一元一次方程的定义吗 你能举个例子吗？
在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指
数是1，这样的方程叫做一元一次方程．如5+3x=240．
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）把系数化为1.
一元一次方程的解法
解方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
知识回顾
试一试
请同学们用不等式表示下列关系
（1）x与6的和大于9；
（2）y的2倍是正数；
（3）x的2倍与2.5的差不小于15；
（4）x+1是负数.
x+6>9
2y>0
2x-2.5≥15
x+1<0
问题1
请观察你所列的不等式，想一想这些不等式有哪些相同点？并相互交流.
x+6>9；
2y>0；
2x-2.5≥15；
x+1<0.
①含有一个未知数；
你能用自己的话归纳一元一次不等式的定义吗
②未知数的最高次数是1.
含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.
判断下列式子是否是一元一次不等式，并说明理由.
问题2
×
×
×
√
例1
解不等式3-x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
解：
两边都加上-6，得：
3+(-6)
＜3x+6+(-6).
合并同类项，得：
-3＜3x.
两边都除以3，得：
-1＜x.
即：
x
>-1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
解方程的移项变形对于解不等式同样适用
两边都加上x，得：
3-x+x＜2x+6+x.
合并同类项，得：
3＜3x+6.
2
3
1
4
5
6
0
-1
-2
一元一次不等式的解法
解不等式：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的步骤
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）把系数化为1.
（运用不等式性质1）
（运用不等式性质2,3）
（运用不等式性质2,3）
相同点
步骤相同，二者都是经过变形，把左边变成未知数，右边变为一个常数.
不同点
在进行第1步去分母和第5步将未知数项的系数化为1的变形时，要根据同乘（或同除）的数的正负，决定是否要改变不等号的方向.
注意：
（1）解方程的移项法则对解不等式同样适用.
（2）解不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式形式灵活安排求解步骤.熟练后，步骤及检验还可以合并简化.
解一元一次不等式与解一元一次方程的异同点
当然，如果不能确定同乘（或同除）的数的符号时，就要进行讨论.这正是解不等式时最容易发生错误的地方.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例2
解不等式
≥
，并把它的解集表示在数轴上.
去括号，得
3x-6≥14-2x.
移项、合并同类项，得
5x≥2.
两边都除以5，得
x≥4.
解：
去分母，得
3(x-2)
≥2(7-x).
0
1
-1
-2
2
3
4
5
6
解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
试一试
下面是某同学解不等式
的过程：
解：去分母，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得
去括号，得
他的过程有错误吗？如果有错误，请你改过来.
想一想
（1）求不等式
的最大整数解.
（2）求不等式
的非负整数解.
变式练习
最大整数解为:0
非负整数解为:0、1、2、3、4、5
归纳总结
通过本节课的学习，你学到了那些知识？
你学会了哪些数学方法？
你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，
应该注意些什么问题？
布置作业
必做题：习题2.4
第1题（5）、（6）。
选做题：习题2.4
第2题．
达标测试
1．(2014 衡阳)下列不等式中，属于一元一次不等式的是（
）
A．4＞1
B．3x－24＜4
C．
D．4x-3＜2y-7
2．(2014 芜湖)不等式10(x－4）＋x≥－84的非正整数解是____．
3.（2014 郴州）若
是关于x的一元一次不等
式，则该不等式的解集为
．
4.（2014 恩施州）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）3(x+2)－8≥1－2(x－1)；
(2)
＞
．
；
A组：
达标测试
；
B组：
5．(2014 十堰)关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，
则a的取值范围是（
）
A、a＜－4
B、a＞5
C、a＞－5
D、a＜－5
6.（2014 广州）若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，
a的取值范围是
．
7.（2014 深圳）若2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整数解是方程
x－mx＝5的解，求代数式
的值．课时课题：2.4.1一元一次不等式（1）
课
型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法.
2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
3.通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.
教学重点与难点：
重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，运用数轴来确定不等式的解集．
难点：一元一次不等式的解法，
教法与学法指导：
教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．
学法：在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，复习引入
师:同学们,前面我们学过了一元一次方程,你能说出一元一次方程的定义吗 你能举个例子吗？
学生互相交流合作，积极思考讨论.
生：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.如5+3x=240．
师:还记得解一元一次方程的步骤吗
生：解一元一次方程的步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）把系数化为1.
师:解方程：
生：解：去括号，得
。
移项，得
。
合并同类项，得
。
系数化为1，
得
。
师：大家回答的很好，今天我们一起来学习一下第一章第4节一元一次不等式（1）（板书课题：2.4一元一次不等式(1））
设计意图：通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件。同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系以及对它们相互联系的认识，为后绪新课的学习做好铺垫.
设计意图：引导学生先回顾一元一次方程、一次函数、不等式的概念及形成过程，有助于一元一次不等式概念的建立，有利于加深对一元一次方程、一次函数、一元一次不等式这三个概念的理解，以及对它们相互联系的认识，为后绪新课的学习做好铺垫.
二、探究学习，获取新知
1.诱思发现，初识一元一次不等式
师：观察下列各式，你能分辨出它们是属于一元一次方程呢，还是不等式呢？
多媒体出示：
（1）6+3x＞30；(2)
)x+7＜5
x；（3）x＞5；（4）＞.
生：都属于不等式.
师：这些不等式有什么共同的特点呢？请在小组内讨论、交流．
生：（学生在小组内交流自己的发现，交流后展示自己的发现）
生1：只含有一个未知数．
生2：未知数的最高次数是一次.
生3：不等式的两边都是整式.
2．抽象概括，形成概念
师：你能给具有上述特点的不等式取个名字吗？（教师在总结学生发言的基础上再次引出新问题）
生：叫一元一次不等式．
师：你能完整地给一元一次不等式下个定义吗？
生：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式.
3．分析应用，理解概念
师：判断下面的不等式是不是一元一次不等式.
（多媒体出示）
（1）3－x＜2x+6；（2）≥；（3）＞1.
生：（1）、（2）中的不等式是一元一次不等式，（3）不是.
师：（3）为什么不是呢？
生：因为x在分母中，不是整式.
师：判断一元一次不等式必须同时具备几个条件？
生：判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式.
变式练习：
1．是一元一次不等式，则m的值是什么？
2．想一想：在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例，并与同伴交流.
（学生先独立思考，再进行交流.）
参考答案：
1．根据一元一次不等式不等式的定义未知数的最高次数是1，得
，即．
2．教材
37页
做一做
第2题
6+3x＞30等．
设计意图：引导学生自主通过对上述不等式的观察、比较，发现其相同的特点，然生类比一元一次方程的概念，得出一元一次不等式的概念.让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究，培养其化归、转换的意识.通过练习让学生加深对一元一次不等式概念的理解，学会依据定义识别一元一次不等式.
三、例题解析，拓展延伸
师：根据不等式的基本性质，你能把一元一次不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式吗？
例1
解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
（多媒体出示）
处理方式：教师先引导学生分析题意，强调关键点、易错点，鼓励学生自主尝试求解，并交流解答过程．让两名学生到黑板板演对比，其余学生在练习本上完成，完成后可利用多媒体展示学生的做题情况及时的做出评价，最后多媒体出示教材解答过程，同时引导学生观察对比得出利用不等式的基本性质1变形的过程，相当于解一元一次方程的移项．
分析：要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
解：两边都加-2x，得
3－x－2x＜2x+6-2x．
合并同类项，得
3-3x＜6
．
两边都加上－3，得
3-3x－3＜6－3．
合并同类项，得
－3
x＜3
．
两边都除以-3，得x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示：
师：观察上面的步骤，我们利用不等式的基本性质1不等式两边都加上-2x，就相当于把右边的2x改变符号后移到了左边，这种变形叫什么呢？
生：叫移项.
师：由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理不等式两边都加上－3，可以看作把左边的3改变符号后从左边移到了右边.移项的关键是什么？
生：移项的关键是项的符号要改变．
根据不等式基本性质3不等式两边都除以-3的目的是什么？
生：是为了把未知数x的系数化成1.
师：请同学们依照例1完成下面的练习．
巩固练习：（多媒体出示）
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＜200；
（2）x-4≥2（x+4）．
（让两名学上在黑板上板书，其余学生在练习本上完成，完成后教师利用实物投影展示学生出现的问题及时评价强调）
师：大家还记得解一元一次方程的步骤吗？
生：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化成1.
师：能仿照解一元一次方程的步骤解下面的一元一次不等式吗？
例2
解不等式 ≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
（多媒体出示）
处理方式：教师先引导学生分析题意，本例与例1相比要复杂一些,需要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1（即化为“x＞a”或“x＜a”的形式）．强调关键点、易错点，鼓励学生自主尝试求解，并交流解答过程．让两名学生到黑板板演对比，其余学生在练习本上完成，完成后可利用多媒体展示学生的做题情况及时的做出评价，最后多媒体出示教材解答过程，同时引导学生说出各步骤的解题依据及注意事项．
分析：要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式左右两边的分母去掉，然后再去括号、移项、合并同类项，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质把未知数系数化成1求得.
解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）．
去括号，得3x－6≥14－2x
．
移项，合并同类项，得5x≥20
．
两边都除以5，得x≥4．
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示：
师：你能说出以上解答过程中每一步的依据及注意事项吗？与同伴交流．
学生自主交流，教师适时点拨．学生总结后，展示交流．
生1：去分母的依据是“不等式的基本性质2”，去分母应注意“两边同乘的是分母的最小公倍数”．
生2：还应注意“当分子是多项式时，去掉分母应加括号”及“不含分母的项不要漏乘”．
生3：去括号时应注意“当括号前为负号时去掉括号后里面各项应改变符号”．
生4：还应注意“括号前如果有数字系数，去括号后应与每一项分别相乘，不要漏乘”．
生5：移项的依据是“不等式的基本性质1”；移项时应注意“要改变项的符号”及“通常情况未知数在不等式的左边，常数项在不等式的右边”．
生6：合并同类项的实质是“合并未知数的系数”．
生7：未知数的系数化为1的依据是“不等式的基本性质2或3”；注意事项是“当两边同乘（或同除）一个负数，不等号的方向要发生改变”．
师：能否类比解一元一次方程归纳解一元一次不等式的基本步骤？
生：自主交流，互相合作，归纳展示.
解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1
变式训练：
师：下面是小明同学解不等式的过程，他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里．（多媒体出示）
1．解不等式．
解：去分母，得x+5-1<3x+2．
移项、合并同类项，得-2x<-2．
两边都除以—2，得x<1．
学生展示：
生1：去分母时出现错误，“-1”漏乘了分母2．
生2：未知数系数化为1出现错误，“两边都除以—2”不等号方向应发生改变．
师：这两位同学分析得很好．看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（多媒体出示）
2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1） ；
（2） ．
（让两名学上在黑板上板书，其余学生在练习本上完成，完成后教师利用实物投影展示学生出现的问题及时评价强调）
学生解题过程展示：
（1）解：去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）．
去括号，得3x－3＜8x－10．
移项、合并同类项，得5x＞7．
两边都除以5，得x＞ ．
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）解：去分母，得x+7－2＞3x+2．
移项、合并同类项，得2x＜3．
两边都除以2，得x＜ ．
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
设计意图：通过学生对例题、变式练习的演算，及时发现问题解决问题；同时利用错例强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解.
四、总结反思，知识沉淀
师：同学们，本节课你有哪些收获和想法，来与同伴分享一下吧．
（多媒体出示小结引导）
(1)通过本节课的学习，你学到了那些知识？（什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解法.）
(2)你学会了哪些数学方法？（类比的数学方法.）
(3)你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？（如果乘数或除数是负数，不等号的方向要改变.）
（学生在全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．）
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈矫正
A层
：
1．(2014 衡阳)下列不等式中，属于一元一次不等式的是（
）
A．4＞1
B．3x－24＜4
C．
D．4x－3＜2y－7
2．(2014 芜湖)不等式10(x－4）＋x≥－84的非正整数解是_____________．
3．（2014 郴州）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
．
4．（2014 恩施州）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）（1）3(x+2)－8≥1－2(x－1)；
(2)＞；
B层：
5．(2014 十堰)关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是(
)
A．a＜－4
B．a＞5
C．a＞－5
D．a＜－5
6.（2014 广州）若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，
a的取值范围是
．
（2014 深圳）若2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整数解是方程x－mx＝5的解，
求代数式的值．
设计意图：分层设置达标检测，注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．
六、布置作业，课后促学
必做题：习题2.4
第1题
（5）（6）．
选做题：习题2.4
第2题．
设计意图：必做题强化一元一次不等式的解题步骤，使本节课的重点知识落实在纸上．选做题，培养学生学习数学的兴趣．
板书设计：
2.4 一元一次不等式（1）
一元一次不等式的定义：
练习：
例1
解：变式练习：
例2解：变式练习：
投影区
学
生
活
动
区
