2017年高考数学（深化复习命题热点提分）（文理打包45套）

专题03
不等式与线性规划
1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是(　　)
A.＜　　　　　　
B.＞0
C.<
D.＜0
解析：∵c0，∴<，>0，<0，
但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．
答案：C
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
解析：依题意，－与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，则即又a<0，不等式x2－bx－a<0可化为x2－x－1>0，即－x2＋x－1>0，解得2答案：A
3．若正数x，y满足x＋y＝1，且＋≥4对任意的x，y∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4]
B．[4，＋∞)
C．(0,1]
D．[1，＋∞)
答案：D
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为(　　)
5．设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6
B．4
C．2
D．2
解析：2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当2a＝2b，a＋b＝3，即a＝b＝时，等号成立．故选B.
答案：B
6．已知实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z＝的取值范围为[kMA,1)，即.
答案：D
7．设a，b为实数，则“a<或b<”是“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：D
8．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(　　)
A．－3
B．2
C．3
D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，>0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2
－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
9．若x，y满足约束条件，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,2]
B．(－4,2)
C．[－4,1]
D．(－4,1)
解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4答案：B
10．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.
B.
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
11．设x，y满足约束条件，则的取值范围是(　　)
A．[1,5]
B．[2,6]
C．[2,10]
D．[3,11]
解析：设z＝＝＝1＋2·，设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z′∈[kDA，kDB]，易得z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．
答案：D
12．已知函数f(x)＝，若x1>0，x2>0，且f(x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)的最小值为(　　)
A．
B．
C．2
D．4
解析：由题意得f(x)＝＝1－，由f(x1)＋f(x2)＝1得2－－＝1，化简得4－3＝4＋4≥2×2，解得2x1＋x2≥3，所以f(x1＋x2)＝1－≥1－＝.故选B.
答案：B
13．已知a，b都是正实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值是________．
解析：＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，“＝”成立，故＋的最小值是8.
答案：8
14．对于实数x，当且仅当n≤x时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集是________．
解析：由4[x]2－36[x]＋45<0得<[x]<，又当且仅当n≤x时，[x]＝n，所以所求解集是[2,8)．
答案：[2,8)
15．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
答案：(－∞，4)
16．设不等式组所表示的平面区域为D，则可行域D的面积为________．
解析：如图，画出可行域．易得A，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域D的面积为×2×＝.
答案：
1.若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是(　　)
A.3
B.4
C.7
D.12
答案　A
2.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析　∵x＞0，y＞0，
∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号).
又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，
而≤＝2，
∴当且仅当x＝2y时，＝2.
∴λ的最小值为2.
答案　B
3.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为(　　)
A.[e，4)
B.[e，＋∞)
C.[1，3)
D.[2，＋∞)
解析　如图：点(1，e)满足ax－y≥0，即a≥e.
答案　B
4.若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________.
解析　如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－.
答案　－
5.已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析　由已知，得xy＝9－(x＋3y)，
即3xy＝27－3(x＋3y)≤，
令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，
解得t≥6或t
≤－18(舍)，即x＋3y≥6.
答案　6
6.已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.
7.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
解　(1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标
存在k＞0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
?
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?
a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标.
8.已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.
(1)证明：a＞0；
(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围.
(1)证明　求函数f(x)的导数
f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.
由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，
在x＝x2处取得极小值，
知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，
所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).
当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，
由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.
(2)解　在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于
即化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：
2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).
z在这三点的值依次为，6，8.
所以z的取值范围为.
9．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1＜0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解析：当a2－4＝0时，
a＝±2，
当a＝－2时，解集为R；
当a＝2时，解集为，不符合题意；
当a2－4≠0时，要使解集为R，必须
解得－2＜a＜.
综上所述，实数a的取值范围是.
10．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|.
(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2－|x－1|≤0.
当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x2＋x－1≤0，解得－1≤x≤.因此原不等式的解集为.
11．若当a∈[1，3]时，不等式ax2＋(a－2)x－2＞0恒成立，求实数x的取值范围．
解析：设f(a)＝a(x2＋x)－2x－2，则当a∈[1，3]时f(a)＞0恒成立．
得x＞2或x＜－1.
∴实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
12．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解析：
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤.故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.
所以f(x)≤1的解集为M＝.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得－≤x≤，N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，故x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x(1－x)＝－≤.
13．若对一切x＞2均有不等式x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
14．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4
200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．
(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值．专题21
分类与整合思想、化归与转化思想
1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A.1
B.－
C.1或－
D.－1或
【答案】　C
【解析】　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.
2.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】　B
3.已知函数f(x)＝ln
x－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是(　　)
A.
B.(1，＋∞)
C.
D.
【答案】　A
【解析】　依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，
f(x)＝ln
x－x＋－1，
所以f′(x)＝－－＝.
由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－.
函数g(x2)＝－x＋2bx2－4，x2∈[1，2].
当b＜1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；
当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；
当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组得b＜1，
解第二个不等式组得1≤b≤，
第三个不等式组无解.
综上所述，b的取值范围是.故选A.
4．定义函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝lg
x，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg
x在[10，100]上的均值为(　　)
A.
B.
C.
D．10
【答案】A　
5．已知g(x)＝ax＋a，f(x)＝对 x1∈[－2，2]， x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[－1，1]
C．(0，1]
D．(－∞，1]
【答案】B　
【解析】对 x1∈[－2，2]， x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．
当a>0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[－a，3a]，由[－a，3a] [－3，3]，得－a≥－3且3a≤3，得a≤1，此时06．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值时的点}，则T中的点最多能确定的三角形的个数为(　　)
A．15
B．25
C．28
D．32
【答案】B　
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin
2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.
B.
C.
D.或
【答案】B　
【解析】在△ABC中，C＝，∴B＝－A，
B－A＝－2A，
∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin
2A，∴sin
C＋sin(－2A)＝2sin
2A，
∴sin(2A－)＝sin
C＝，∴sin(2A－)＝，
又A∈(0，)，∴A＝或A＝.
当A＝时，B＝，tan
C＝＝＝，解得a＝，
∴S△ABC＝ac＝××＝.
当A＝时，B＝，同理可得S△ABC＝.故选B.
8．已知a∈R，则函数f(x)＝acos
ax的图像不可能是(　　)
【答案】D　
9．已知α为钝角，且cos(＋α)＝－，则sin
2α＝________．
【答案】－　
【解析】cos(＋α)＝－，即sin
α＝，又α为钝角，∴cos
α＝－，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝－.
10．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm2.
【答案】14π　
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A

BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r＝，故外接球的表面积为14π.
11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
【答案】　
12．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，CA＝1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP为半径的球的表面积为________．
【答案】　
【解析】如图所示，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．
设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x＋y＝a(0则P(m，a－m)，0故S△DEP＋S△GFP＋S△HIP＝(a－m)2＋m2＋(1－a)2＝m2－am＋a2－a＋＝(m－)2＋a2－a＋≥a2－a＋＝(a－)2＋，所以当a＝，m＝时，三个三角形面积之和最小，此时P(，)，CP＝，所以以CP为半径的球的表面积为π.
13．若实数x，y满足4x2＋2x＋y2＋y＝0，则2x＋y的取值范围是________．
【答案】[－2，0]　
14．如图所示，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，PA＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝，PB＝，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM＝3MC.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角M

BQ

C的大小．
【解析】(1)证明：连接PQ.因为四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以QB＝CD＝.
因为△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，所以PQ⊥AD，PQ＝.
在△PQB中，QB＝PQ＝，PB＝，
所以PQ2＋BQ2＝PB2，所以PQ⊥BQ.
因为AD∩BQ＝Q，AD，BQ 平面ABCD；
所以PQ⊥平面ABCD.
因为PQ 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
则＝(0，，0)，＝(－，，)．
设平面MBQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即
令x1＝1，得z1＝，所以m＝(1，0，)，
所以|cos〈m，n〉|＝||＝，
所以二面角M

BQ

C的大小为30°.
15．如图所示，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：＋＝1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为.
(1)求抛物线C1的方程．
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
要使＝，只需＝，
即121＋48m2＝49×121，解得m＝±11，
所以存在直线l：x±11y－4＝0符合条件．
16．已知函数f(x)＝x－1－aln
x(a>0)．
(1)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合；
(2)证明：(1＋)n，e为自然对数的底数)
17.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
【解析】　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an＋1－an}为常数列，
所以{an}是以a1为首项的等差数列，
设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，
所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.
18.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性.
【解析】　(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，
所以f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，
故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；
由得x＞－1－a，
故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，
在(－1－a，＋∞)上单调递增.
19.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.专题16
圆锥曲线中的热点问题
1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C．(0,1)
D.
【答案】：A
【解析】：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n＝m－n，n＝－1，∴e＝＝＝∈.
2．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而k＝，k＝，所以k·k＝＝－.又k∈[－2，－1]，所以k∈.
3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为(　　)
A．2p
B.p
C．2p2
D.p2
【答案】：C
4．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(
)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(
)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得05．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(2,1＋)
D．(1,1＋)
【答案】：B
【解析】：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则0 e2－e－2<0 －11，则16．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)
B．(0,2)
C．[2，3)
D．(0,4]
【答案】：B
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．
【答案】：(1,3]
【解析】：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义有c>a，故离心率e＝∈(1,3]．
8．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
【答案】：－1
【解析】：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和O
即为点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
9．设抛物线y2＝6x的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线为MN，垂足为N，则的最大值为________．
【答案】：1
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：，
解得：a＝，c＝，∴b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，
Δ＝12k2－12，
∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，
|AB|＝·＝，
∴，
解得：k4≥13，即k≥或k≤－.
11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．
根据题意可得方程①只有一实根，
∴Δ＝(2km)2－4(m2－1)＝0，
整理得：m2＝4k2＋1.②
∵直线l与两坐标轴的交点分别为，(0，m)且k<0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝·，③
将②代入③可得：S＝－2k＋≥2
，
∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.
12．如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
联立，
化为(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝.
同理可得：x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
kAB＝＝＝.
∴直线AB的斜率为定值.
13．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，
B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
∵2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4(1＋k2)＝4×＝5，
解得k＝±，
k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.
14.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
15.已知抛物线y2＝2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
②过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
即－4t＝－20 t＝5，所以直线AB过定点P(5,0)；
②由①得|AB|＝|y2－y1|
＝·，
同理得|CD|＝
|y2－y1|
＝
·，
则四边形ACBD面积
S＝|AB|·|CD|
＝
···
＝8.
令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝8是关于μ的增函数，故Smin＝96，当且仅当m＝±1时取到最小值96.专题12
空间几何体的三视图﹑表面积及体积
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为(　　)
解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形．
答案：C
2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)
解析　由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
答案　C
3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为(　　)
解析　由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.
答案　C
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
解析　左视图是从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.
答案　C
5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是________．
答案　8
6.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是(　　)
A．24
　　　
B．12
C．8
　　　
D．4
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是(　　)
A.
B.
C．1
D.
解析　有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半个圆锥，故侧视图的面积是，故选B.
答案　B
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
解析　据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴
(半)球的直径长为AC＝，
∴该几何体的体积为
V＝V半球＋VP ABC
＝×π＋××BA·
BC·PB＝＋.
答案　C
9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为(　　)
A．92＋24π
B．82＋24π
C．92＋14π
D．82＋14π
解析　该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，
表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.
答案　C
10.四棱锥P ABCD的三视图如图所示，四棱锥P ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)
A．12π
B．24π
C．36π
D．48π
解析　将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a.
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体的面对角线长也是2，可得AG＝＝a，所以正方体的棱长a＝2，在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AO＝，即四棱锥P ABCD的外接球半径R＝，从而得外接球表面积为4πR2＝12π，故选A.
答案　A
11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为
cm和
cm，其余四根的长度均为1
cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.
解析　由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝，AC＝，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连接SO、OB，则SO⊥AC，所以SO＝＝，OB＝AC＝，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝××＝.
答案　
12．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
解析　由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4，∴S OABC＝6×4＝24.
答案　24
13．如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
解析　由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
答案　②③
14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台的母线长．
解　由圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，设圆台上、下底面圆的半径分别为r、4r，圆台的母线长为l，根据相似三角形的性质得＝，解得l＝9
cm.
所以圆台的母线长为9
cm.
15．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解　(1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝a，
∴该平面图形的面积S＝a·a＝a2.
(3)V＝×6×a2×a＝a3.
16.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为：
V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为
h1＝＝5.
左、右侧面的底边上的高为h2＝＝4.
故几何体的侧面面积为：
S＝2×(×8×5＋×6×4)
＝40＋24.
17.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
(2)设正三棱锥P ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，
OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP ABC＝VO PAB＋VO PBC＋VO PAC＋VO ABC
＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r
＝(3＋2)r.
又VP ABC＝×××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.专题08
三角函数的图像与性质
1．将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(　　)
A．x＝－　　　　　　
B．x＝
C．x＝
D．x＝
【答案】：D
【解析】：将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，由x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝.
故应选D.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A.
B.
C.
D．1
【答案】：B
4．将函数y＝cos
x＋sin
x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
【答案】：B
【解析】：由图可以判断|A|<1，T>2π，则|ω|<1，f(0)>0，f(π)>0，f(2π)<0，只有选项B满足上述条件．
6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得函数，再向左平移个单位，纵坐标不变，得函数，把四个选择支的值代入函数，只有D代入后有是函数的最小值，因此是函数的对称轴．故选D．
7．已知tan（﹣α）=，则tan（+α）=（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【答案】B
8．函数的图像是（
）
【答案】D
【解析】当恒成立，排除选项B，C；当恒成立，排除选项A，C，当恒成立，综上所述，本题的正确选项为D.
9．定义矩阵，若，则（
）
A.图象关于中心对称
B.图象关于直线对称
C.在区间上单调递增
D.周期为的奇函数
【答案】C
【解析】由题中所给定义可知
，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.
10．已知函数①，②，则下列结论正确的是（
）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
【答案】C
【解析】①，对称中心为，对称轴为，增区间为，最小正周期为；②对称中心为，对称轴为，增区间为，最小正周期为．故选C.
11．函数y＝3sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
【答案】：
12．已知ω>0，在函数y＝2sin
ωx与2cos
ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
【答案】：
【解析】：令ωx＝X，则函数y＝2sin
X与y＝2cos
X图象交点坐标分别为，，k∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为2，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝，所以T＝4＝，所以ω＝.
13．已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
【答案】：3
【解析】：将f(x)的图象向右平移个单位后得到图象的函数解析式为2sin－1＝2sin－1，所以＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，k∈Z，所以ω的最小值为3.
14．已知函数f(x)＝2cos
x(sin
x－cos
x)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
15．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：
x
x1
x2
x3
ωx＋φ
0
π
2π
Asin(ωx＋φ)
0
2
0
－2
0
(1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图象，求函数y＝f(x)·g(x)在区间的最小值．
16．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．
（1）求这条曲线的函数【解析】式；
（2）写出函数的单调区间．
【答案】（1）y=sin（x+）；（2）[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
【解析】解：（1）由题意可得A=， =﹣，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（，），可得sin（×+φ）=，即sin（×+φ）=1
①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），可得得sin（×+φ）=0，即sin（+φ）=0
②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin（x+）．
（2）对于函数y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，
可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
可得函数的减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
17．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（2）
再根据
18．如图是函数的部分图象，直线是其两条对称轴.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】(1)
,函数的单调增区间为;(2).
（3）由题意得：
，即，
∵，
∴，
∴，
，
∴.专题04
算法、推理证明
文
1．请仔细观察1,1,2,3,5，(　　)，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(　　)
A．8　　　　　　　　　　　
B．9
C．10
D．11
【答案】A.
【解析】：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.
2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【答案】B
【解析】：选B.对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误，故选B.
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的i的值为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为(　　)
A．2
B．5
C．11
D．23
【答案】D
【解析】：选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
【答案】D
6．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝.类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S ABC的体积为V，则R等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，解得R＝.
7．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为(　　)
A．k≥16
B．k＜8
C．k＜16
D．k≥8
【答案】A
8．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的值的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】：选C.由题意，知y＝当x≤2时，由x2－1＝3，得x2＝4，解得x＝±2.当x＞2时，由log2x＝3，得x＝8.所以可输入的实数x的值的个数为3.
9．如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20
【答案】A
【解析】：选A.＋＋＋…＋是10个数的和，通过对程序框图的分析，可知选A.
10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2
018∈[3]；
②－2∈[2]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中正确结论的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
11．如图(1)是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180
cm(含160
cm，不含180
cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写(　　)
A．i＜6
B．i＜7
C．i＜8
D．i＜9
【答案】C
【解析】：选C.统计身高在160～180
cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．
12．对于函数f(x)，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan
x
D．f(x)＝cos(x＋1)
【答案】D
13．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．
【答案】：1＋＋…＋＜
【解析】：不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋＋…＋，不等式的右边为.
14．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．
【答案】：4
15．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.
【答案】：
【解析】：由程序框图知，S可看成一个数列{an}的前2
015项和，其中an＝(n∈N
，n≤2
015)，
∴S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故输出的是.
16．观察下列等式：1＝1,1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，……，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N
,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
【答案】：n2
【解析】：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，……，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.专题22
函数与方程思想、数形结合思想
1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)
A.或－
B.－或3
C.－3或
D.－3或3
【答案】　C
【解析】　圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径 ＝ |＋m|＝2 m＝或m＝－3.
2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg
x解的个数是(　　)
A.5
B.7
C.9
D.10
【答案】　C
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞)
【答案】　B
【解析】　f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，
即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.
4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A.
B.2
C.
D.2
【答案】　A
【解析】　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.
5.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(1，)
D.(，2)
【答案】　B
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的面包个数为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C　
【解析】易得中间的那份为20个面包，设最小一份的面包个数为a1，公差为d，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.
7．已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C　
【解析】当x∈(－∞，－a)时，函数f(x)单调递减；当x∈(－a，＋∞)时，函数f(x)单调递增．所以x＝－a为f(x)的最小值点，所以，当a≥0时，M(a)＝f(1)＝＝1＋a；当a<0时，
M(a)＝f(－1)＝＝－(－1＋a)＝1－a.所以M(x)＝
在同一坐标系中画出y＝M(x)和y＝的图像，如图，由图可知两个函数图像有3个交点，所以函数g(x)有3个零点．
8．已知函数f为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，则数列的前15项和为(　　)
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C　
【解析】∵f为奇函数，∴函数y＝f(x)的图像关于点对称，则函数y＝g(x)的图像关于点对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.
设S＝g＋g＋…＋g，
倒序后得S＝g＋g＋…＋g，
两式相加得2S＝g＋g＋g＋g＋…＋g＋g＝15×2，
∴S＝15.故选C.
9．已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．
【答案】(x－1)2＋y2＝20　
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin
C＝2
sin
B，则A＝________．
【答案】30°　
【解析】根据正弦定理得c＝2
b，代入a2－b2＝bc，得a＝b，则cos
A＝＝＝，所以A＝30°.
11．设实数x，y满足则使不等式x2＋≤λ有解的实数λ的最小值为________．
【答案】　
【解析】令x2＋＝t(t>0)，当椭圆x2＋＝t与线段x＋y＝1(0≤x≤1，0≤y≤1)相切时，t最小．联立消去y得3x2－2x＋1－2t＝0，由Δ＝0，得t＝.
当t＝时，易得切点坐标为，满足题意，
故λ≥，所以实数λ的最小值为.
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，asin
A－bsin
B＝(a－c)sin
C，M是BC的中点且AM＝2
，则BC＋AB的最大值是________．
【答案】4
　
13．函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________________．
【答案】　
【解析】方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)＝与函数y＝mx－的图像有四个不同的交点，
作函数f(x)＝的图像，如图所示．
由题意，C，B(1，0)，故kBC
＝.
当x＞1时，f(x)＝ln
x，f′(x)＝，
设切点A的坐标为(x1，ln
x1)，则＝，
解得x1＝，故kAC
＝.
结合图像可得，实数m的取值范围是.
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且a1＝2，
b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝2bn－λ·3，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且·＝0，△GF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝k(x－1)(k<0)与椭圆C相交于A，B两点，点P(3，0)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
【解析】(1)由题知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
16．已知函数f(x)＝2x－n2＋n＋2(n∈Z)满足f(8)－f(5)>0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)试判断是否存在k>0，使h(x)＝1－f(x)＋(2k－1)x在区间[－1，2]上的值域为－4，？若存在，求出k；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由f(8)>f(5)，
易知f(x)在第一象限为增函数，
∴－n2＋n＋2>0，得－1又n∈Z，∴n＝0或n＝1，
∴f(x)＝2x2.
(2)假设存在k>0满足条件，由已知，得h(x)＝－kx2＋(2k－1)x＋1，－1≤x≤2的值域为.
而h(2)＝－4k＋2(2k－1)＋1＝－1，
∴两个最值点只能在端点(－1，h(－1))和顶点，处取得，
而－h(－1)＝－(2－3k)＝≥0，
∴h(x)max＝＝且h(x)min＝h(－1)＝2－3k＝－4，
解得k＝2.
17.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
18.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围.
【解析】　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，
所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1.即y2＋2x2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)
＝4(k2－2m2＋2)＞0，(
)
x1＋x2＝，x1x2＝.
19.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln
x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.
(1)求b的值；
(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.
【解析】　函数g(x)＝bx2－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
(1)f′(x)＝3ax2－3a f′(1)＝0，
g′(x)＝2bx－ g′(1)＝2b－1，
依题意得2b－1＝0，所以b＝.
(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，
即g(x)在(0，1)上单调递减，
x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；
当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；
当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，
所以F(x)的图象如图(1)所示，专题15
直线与圆
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　　　　　　
B．相交
C．外切
D．相离
解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
答案：B
2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞)
B．[，＋∞)
C．[，2)
D．[，2)
答案：C
3．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．
答案：C
4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)
A.
B.
C．1
D．3
解析：由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
答案：A
5．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D.
答案：D
6．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为(　　)
A．5π
B．9π
C．16π
D．25π
7．过点(－2，0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为(　　)
A．2
B．3
C．2
D．6
解析　l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0，0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.
答案　C
8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)
A.
＋y2＝
B.＋y2＝
C．x2＋＝
D．x2＋＝
解析　由已知圆C圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，
则rsin＝1，rcos＝|a|，
解得r＝，
即r2＝，|a|＝，
即a＝±，故圆C的方程为
x2＋＝.
答案　C
9．已知直线l过点O(0，0)和点P(cos
α，sin
α－4)，其中α≠kπ＋，k∈Z，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．[－，]
B．(－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案　C
10．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4
B．20
C．0
D．24
解析　由两直线垂直得－×＝－1，
∴a＝10，将垂足坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，
得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.
答案　A
11．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则
代入x＋y＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案　A
12．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)
A．－6
B．－3
C．－3
D．3
解析　两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，
即a2＋b2＝9.
由a2＋b2≥，
当且仅当“a＝b”时等号成立，
所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，
即|a＋b|≤3.
所以－3≤a＋b≤3.
故a＋b的最小值为－3.
答案　C
13．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
答案　
14．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为______________________．
解析　两条直线2x－3y＋3＝0，
x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，
所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.
答案　x－3y＝0
15．已知两直线l1：x＋ysin
θ－1＝0和l2：2xsin
θ＋y＋1＝0，当l1⊥l2时，θ＝________.
解析　l1⊥l2的充要条件是2sin
θ＋sin
θ＝0，
即sin
θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，
∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.
答案　kπ(k∈Z)
16．一条直线l过点P(1，4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．
17．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析　设所求圆的半径是r，依题意得，
抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，
则圆C的圆心坐标是(0，1)，
圆心到直线4x－3y－2＝0的距离
d＝＝1，则r2＝d2＋＝10，
故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案　x2＋(y－1)2＝10
18．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
解析　作出可行域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为、－，得tan
α＝，tan
β＝－，tan
θ＝tan(α－β)＝＝1，得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．
答案　
19．已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．
(1)证明　由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，
半径为r1＝eq
\r(a＋a＋1)，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.
又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，
∴|C1C2|2＋r＝r.
∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，
∴an＋1－an＝.
∴数列{an}是等差数列．
(2)解　∵a1＝－3，∴an＝n－.
则r1＝eq
\r(a＋a＋1)
＝
＝.
∵n∈N
，∴当n＝2时，r1可取得最小值，
此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.
20．如图，椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A、B两点时，求证：·为定值．
(1)解　因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，∴a＝.
则椭圆方程为＋x2＝1.
直线l垂直于x轴时与题意不符．
设l的方程为y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．由，消去y得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
|CD|＝·＝，
由＝，解得k＝±.
∴l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
(2)证明　直线l垂直于x轴时与题意不符．
设l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，∴P点的坐标为.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，
直线AC的方程为y＝(x＋1)，
直线BD的方程为y＝(x－1)，
将两直线方程联立，消去y得＝.
因为－1＜x1，x2＜1，
所以与异号．
＝eq
\f(y（x1＋1）2,y（x2－1）2)＝eq
\f(2－2x,2－2x)·
＝
＝＝.
又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝
＝－·，
∴与y1y2异号，与同号．
∴＝，解得x＝－k.
因此Q点坐标为(－k，yQ)．
因此Q点坐标为(－k，yQ)．
·＝·(－k，yQ)＝1.
故·为定值．
21．已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，求a为何值时，A∩B＝ .
解　集合A、B分别为平面xOy上的点集，
直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，
l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.
由
解得a＝±1.
①当a＝1时，显然有B＝ ，所以A∩B＝ ；
22．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．
解　(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0.
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为
x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有AC＝2eq
\r(4－d)，BD＝2eq
\r(4－d)，
所以AC＋BD＝2eq
\r(4－d)＋2eq
\r(4－d).
则(AC＋BD)2＝4(4－d＋4－d＋2eq
\r(4－d)eq
\r(4－d))
＝4[5＋2eq
\r(16－4（d＋d）＋dd)]
＝4(5＋2eq
\r(4＋dd))．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，
所以eq
\r(4＋dd)≤，
所以(AC＋BD)2≤4×＝40.
所以AC＋BD≤2，
即AC＋BD的最大值为2.
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解析：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，
故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，Δ＝56－16a－4a2>0.
由根与系数的关系可知x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
24.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解析：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝，所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.
25．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线x－y＋4＝0截得的弦长为2.
(1)求圆O的方程；
(2)若斜率为2的直线l与圆O相交于A，B两点，且点D(－1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
解析：(1)设x2＋y2＝r2，圆心(0,0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝2，又因为截得的弦长为2，所以r＝＝，圆O的方程为x2＋y2＝7.
(2)设斜率为2的直线l的方程为y＝2x＋b，
与圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得5x2＋4bx＋b2－7＝0，
则
已知点D(－1,0)在以AB为直径的圆的内部，所以·<0，即·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝5x1x2＋(2b＋1)(x1＋x2)＋b2＋1＝－－6<0，解得－30.
所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(－3,5)．专题17
统计与统计案例
1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为(　　)
A．15,5,25　　　　　　　
B．15,15,15
C．10,5,30
D．15,10,20
【答案】：D
【解析】：先确定抽样比为＝，则依次抽取的人数分别为×300＝15，×200＝10和×400＝20.故选D.
2.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是
(　　)
A．125
B．5
C．45
D．3
【答案】：C
3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是(　　)
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
【答案】：A
【解析】：依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A.
4．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天
(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为(　　)
A．67
B．68
C．68.3
D．71
【答案】B
【解析】：设表中模糊看不清的数据为m.因为x＝＝30，又样本中心(，)在回归直线＝0.67x＋54.9上，所以＝＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故选B.
5．采用系统抽样方法从1
000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，1
000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为(　　)
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】：A
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的直方图如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则(　　)
A．me＝m0＝x
B．me＝m0C．meD．m0【答案】D　
【解析】
由图知m0＝5.将30名学生的得分从大到小排列，第15个数是5，第16个数是6，所以me＝5.5.
又x＝>5.9，所以m07．给出下列四个命题：
①质检员每隔10分钟从匀速传递的产品生产流水线上抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝－p；
④在回归直线方程＝0.1x＋10中，当x每增加1个单位时，平均增加0.1个单位．
其中真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C　
8．已知总体中各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是(　　)
A．10，11
B．10.5，10.5
C．10，10
D．10，12
【答案】B　
【解析】
根据中位数的定义可知＝10.5，故总体的平均数为＝10.要使方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小，即(a－10)2＋(11－a)2最小，即2a2－42a＋221最小，当a＝－＝10.5时，2a2－42a＋221最小，此时b＝21－10.5＝10.5.
9．某种产品的广告支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为6.5.若要使销售额不低于100万元，则至少需要投入广告费为(x为整数)(　　)
A．10万元
B．11万元
C．12万元
D．13万元
【答案】D　
【解析】
因为x＝5，y＝50，所以50＝6.5×5＋，解得＝17.5，所以回归直线方程为＝6.5x＋17.5.由6.5x＋17.5≥100，解得x≥，因为x为整数，所以至少需要投入广告费为13万元．
10．从气象意义上来说春季进入夏季的标志为：连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.4.
则肯定进入夏季的地区为(　　)
A．甲、乙、丙
B．甲、丙
C．乙、丙
D．甲
【答案】B　
11．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋，根据中间两组数据(4，3)和(5，4)求得的直线方程为y＝bx＋a，则________b，________a．(填“>”或“<”)
【答案】<　>　
【解析】
方法一：画出散点图，粗略估计回归直线的位置，再画出过点(4，3)，(5，4)的直线，如图所示．由图易知a.
方法二：由公式可得＝0.7，＝0.35.由题意可得b＝1，a＝－1，所以a.
12．某地有居民100
000户，其中普通家庭99
000户，高收入家庭1000户．从普通家庭中用简单随机抽样的方法抽取990户，从高收入家庭中用简单随机抽样的方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，请估计该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例是________．
【答案】5.7%　
【解析】
该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有99
000×＋1000×＝5700(户)，
所以所占比例约为＝5.7%.
13．一个容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8且前4项和S4＝28，则此样本数据的平均数和中位数分别是________．
【答案】23，23　
14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间(满分150分)，为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第八组[130，140]．该图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．
(1)求第七组的频率，并将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分(同一组数据使用中间值作代表)；
(3)估计该校在这次考试中数学成绩在[100，140]的人数．
15．从某大学随机选取7名女大学生，其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的有关数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
身高x
163
164
165
166
167
168
169
体重y
52
52
53
55
54
56
56
(1)求出回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预测一名身高为172
cm的女大学生的体重．
【解析】：(1)易知x＝＝166，
y＝＝54.
设回归方程为＝x＋，代入公式，经计算得＝0.75，
＝y－x＝54－0.75×166＝－70.5，
所以回归方程为＝0.75x－70.5.
16．在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
几何证明选讲
极坐标与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.
几何类
代数类
合计
男同学
16
6
22
女同学
8
12
20
合计
24
18
42
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；
②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】：(1)由题意知K2的观测值k＝＝≈4.582>3.841，
所以有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．
(2)由题可知在选做“不等式选讲”的18名同学中，要选取3名同学．
从而X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
17.某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组对2014年全年的空气污染指数API进行监测，下表是在这一年内随机抽取的100天的统计结果.
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
>300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气污染指数API（记为t）的关系为P＝在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P在区间（200，600]内的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
下面临界值表供参考：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
k0
2.072
2.706
3.841
P（K2≥k0）
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝
（2）2×2列联表为：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
则K2的观测值k＝≈4.575>3.841，
所以有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2
010，z＝y－5，得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
19．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效
无效
合计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
合计
32
(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】：(1)列联表如下：
有效
无效
合计
使用方案A组
96
24
120
使用方案B组
72
8
80
合计
168
32
200
使用方案A组有效的频率为＝0.8；使用方案B组有效的频率为＝0.9.方案B组更有效．
(2)K2＝≈3.571<3.841，
所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．专题23
函数与方程思想、数形结合思想
1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)
A.或－
B.－或3
C.－3或
D.－3或3
解析　圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径 ＝ |＋m|＝2 m＝或m＝－3.
答案　C
2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg
x解的个数是(　　)
A.5
B.7
C.9
D.10
解析　由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.
又f(x)＝lg
x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，
则交点个数即为解的个数.
由图象可知共9个交点.
答案　C
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞)
4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A.
B.2
C.
D.2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.
答案　A
5.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(1，)
D.(，2)
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的面包个数为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C　
【解析】易得中间的那份为20个面包，设最小一份的面包个数为a1，公差为d，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.
7．已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C　
\【解析】当x∈(－∞，－a)时，函数f(x)单调递减；当x∈(－a，＋∞)时，函数f(x)单调递增．所以x＝－a为f(x)的最小值点，所以，当a≥0时，M(a)＝f(1)＝＝1＋a；当a<0时，
M(a)＝f(－1)＝＝－(－1＋a)＝1－a.所以M(x)＝
在同一坐标系中画出y＝M(x)和y＝的图像，如图，由图可知两个函数图像有3个交点，所以函数g(x)有3个零点．
8．已知函数f为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，则数列的前15项和为(　　)
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C　
9．已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．
【答案】(x－1)2＋y2＝20　
【解析】设圆心C的坐标为(a，0)，则|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，
所以半径r＝＝＝2
，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin
C＝2
sin
B，则A＝________．
【答案】30°　
【解析】根据正弦定理得c＝2
b，代入a2－b2＝bc，得a＝b，则cos
A＝＝＝，所以A＝30°.
11．设实数x，y满足则使不等式x2＋≤λ有解的实数λ的最小值为________．
【答案】　
【解析】令x2＋＝t(t>0)，当椭圆x2＋＝t与线段x＋y＝1(0≤x≤1，0≤y≤1)相切时，t最小．联立消去y得3x2－2x＋1－2t＝0，由Δ＝0，得t＝.
当t＝时，易得切点坐标为，满足题意，
故λ≥，所以实数λ的最小值为.
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，asin
A－bsin
B＝(a－c)sin
C，M是BC的中点且AM＝2
，则BC＋AB的最大值是________．
【答案】4
　
13．函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________________．
【答案】　
【解析】方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)＝与函数y＝mx－的图像有四个不同的交点，
作函数f(x)＝的图像，如图所示．
由题意，C，B(1，0)，故kBC
＝.
当x＞1时，f(x)＝ln
x，f′(x)＝，
设切点A的坐标为(x1，ln
x1)，则＝，
解得x1＝，故kAC
＝.
结合图像可得，实数m的取值范围是.
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且a1＝2，
b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝2bn－λ·3，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且·＝0，△GF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝k(x－1)(k<0)与椭圆C相交于A，B两点，点P(3，0)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
【解析】(1)由题知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)联立
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝＝＝
k×＝k×＝
k×＝＝≤，当且仅当k＝－时，等号成立，即取得最大值，
此时l：y＝－(x－1)．
16．已知函数f(x)＝2x－n2＋n＋2(n∈Z)满足f(8)－f(5)>0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)试判断是否存在k>0，使h(x)＝1－f(x)＋(2k－1)x在区间[－1，2]上的值域为－4，？若存在，求出k；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由f(8)>f(5)，
易知f(x)在第一象限为增函数，
∴－n2＋n＋2>0，得－1又n∈Z，∴n＝0或n＝1，
∴f(x)＝2x2.
(2)假设存在k>0满足条件，由已知，得h(x)＝－kx2＋(2k－1)x＋1，－1≤x≤2的值域为.
而h(2)＝－4k＋2(2k－1)＋1＝－1，
∴两个最值点只能在端点(－1，h(－1))和顶点，处取得，
而－h(－1)＝－(2－3k)＝≥0，
∴h(x)max＝＝且h(x)min＝h(－1)＝2－3k＝－4，
解得k＝2.
17.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
18.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围.
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，
所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1.即y2＋2x2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)
＝4(k2－2m2＋2)＞0，(
)
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝3
，所以－x1＝3x2.
所以eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2，,x1x2＝－3x.))所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·＋4·＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，
由(
)式，得k2＞2m2－2，又k≠0，所以k2＝＞0.
解得－1＜m＜－或＜m＜1.
综上，所求m的取值范围为∪.
19.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln
x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.
(1)求b的值；
(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.
解　函数g(x)＝bx2－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
(1)f′(x)＝3ax2－3a f′(1)＝0，
g′(x)＝2bx－ g′(1)＝2b－1，
依题意得2b－1＝0，所以b＝.
(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，
即g(x)在(0，1)上单调递减，
x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；
当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；
当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，
所以F(x)的图象如图(1)所示，
从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.
当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，
x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，
即f(x)在(－1，0)上单调递减，
所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.
又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，
从图(2)看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，得数列、等差数列﹑等比数列
1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)
A．(2n－1)2　　　　　　　
B.
C．4n－1
D.
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
解析：∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案：C
3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2
B．8
C．10
D．14
解析：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.
答案：B
4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　　)
A．29
B．210
C．211
D．212
解析：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.
答案：C
5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(　　)
A．4
B．6
C．8
D．10
解析：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C.
答案：C
6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(3n－1)
B.
C．n(n＋1)
D.
7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析　设数列{an}的公差为d，
∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，
∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，
∴5a5＝10，∴a5＝2.
答案　A
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(　　)
A.－2或1
B.－1或2
C.－2
D.1
解析　法一　若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，
显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.
若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，
不满足条件，故B错，因此选C.
法二　经检验q＝1不适合，
则由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得
q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
答案　C
9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N
，则S10的值为(　　)
A.－110
B.－90
C.90
D.110
10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A.n(n＋1)
B.n(n－1)
C.
D.
解析　由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).
答案　A
11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析
由等差数列的前n项和及等差中项，
可得＝
＝＝
＝＝
＝＝7＋
(n∈N
)，
故n＝1,2,3,5,11时，为整数.
即正整数n的个数是5.
答案
D
12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
解析　根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.
答案　8
13.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.
答案　3
14.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1
(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
解析　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.
答案　.－9
15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
答案
22
解析　根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1 ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.
16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________.
答案
an＝
17.若f(n)为n2＋1(n∈N
)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N
，则f2016(4)＝________.
答案
5
解析　因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，
则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，
f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，
f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，
所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列.
可得f2016(4)＝5.
18.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.
答案
an＝
解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①
∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②
由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1
(n≥2).
又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.
∴an＝
19.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.
答案
an＝
解析　由Hn＝可得
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，②
①－②得nan＝－＝，
所以an＝.
20.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N
).
(1)
证明：1≤≤2(n∈N
)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N
).
证明　(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.
由0＜an≤得
＝＝∈(1,2]，
即1≤≤2成立.
(2)由题意得a＝an－an＋1，
所以Sn＝a1－an＋1，①
由－＝和1≤≤2得
1≤－≤2，
所以n≤－≤2n，
因此≤an＋1≤(n∈N
).②
由①②得≤≤(n∈N
).
21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和.
22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.
(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.
解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去).
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，
解得b1＝.
所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，
即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.
23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．
解析：(1)设数列{an}的公差为d.
因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，
所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，
所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．
所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．
所以bn－1＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝2n＋1.专题07
导数及其应用
文
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是(　　)
【答案】：D
【解析】：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.
2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A.e2
B．4e2
C．2e2
D．e2
【答案】：D
【解析】：∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】：D
4．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)
A．2b－
B．b－
C．0
D．b2－b3
【答案】：A
【解析】：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b5．函数f(x)＝2x－ln
x的单调递增区间是________．
【答案】：
6．已知f(x)＝axln
x＋1(a∈R)，
x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，则a＝________.
【答案】：2
【解析】：∵f′(x)＝aln
x＋a，∴f′(1)＝a＝2.
7．已知函数f(x)＝(λx＋1)ln
x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
8．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．
【解析】：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0,
判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＝a2－8<0，即00都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．
②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．
③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
f(x1)
?
f(x2)
?
此时f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是减少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．
9．已知函数f(x)＝x2－2aln
x＋(a－2)x，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
10．已知函数f(x)＝xln
x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．
(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．
【解析】：(1)若a＝0，f(x)＝xln
x－x＋1，f′(x)＝ln
x.
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(2)由题意知f(x)＝xln
x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．
①若a＝0，则f(x)＝xln
x－x＋1，f′(x)＝ln
x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．
11．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln
(16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．
(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．
(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？
【解析】：(1)由p＝q得
2(x＋4t－14)＝24＋8ln
(16≤x≤24，t≥0)．
t＝－x＋ln
(16≤x≤24)．
∵t′＝－－<0，∴t是x的减函数．
∴tmin＝－×24＋ln
＝＋ln
＝＋ln
；
tmax＝－×16＋ln
＝＋ln
，
∴值域为.
(2)由(1)知t＝－x＋ln
(16≤x≤24)．
而x＝20时，t＝－×20＋ln
＝1.5(元/千克)，
∵t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．
12．已知函数f(x)＝.(a>0)
(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；
(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．
13．设函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R)(e＝2.718
28…是自然对数的底数)．
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；
(3)证明：当x∈(0，＋∞)时，(1＋x)14．已知函数f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线；
(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，求实数m的取值范围．
【解析】：(1)因为f(x)＝(－x2＋x－1)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex.
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为
k＝f′(1)＝－2e.
又f(1)＝－e，
所以所求切线方程为y＋e＝－2e(x－1)，即2ex＋y－e＝0.
(2)因为f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex，
当x<－1或x>0时，f′(x)<0；
当－10，
所以f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.专题14
空间向量与立体几何
1．有以下命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．
其中正确的命题是(　　)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴解得
答案　D
3．已知点B是点A(3，7，－4)在xOz平面上的射影，则2等于(　　)
A．(9，0，16)
B．25
C．5
D．13
解析　A在xOz平面上的射影为B(3，0，－4)，则＝(3，0，－4)，
2＝25.
答案　B
4．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在上，且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝b·c＝c·a＝0.
由条件知＝＋＋
＝－(a＋b＋c)＋a＋c
＝a－b＋c，
∴2＝a2＋b2＋c2＝，
∴||＝.
答案　A
5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sin
θ＝.∴θ＝30°.
答案　A
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
7．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．
∴点D1到平面A1BD的距离
d＝＝＝.
答案　D
8．二面角α l β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)
A.
B.
C．2
D.
9.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A．0　　　
B.　　　
C.　　　
D.
解析　设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
∴cos〈，〉＝0.
答案　A
10．若两点的坐标是A(3cos
α，3sin
α，1)，B(2cos
β，2sin
β，1)，则|AB|的取值范围是(　　)
A．[0，5]
B．[1，5]
C．(0，5)
D．[1，25]
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以，为边的平行四边形的面积为________．
解析　由题意可得：
＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.∴sin〈，〉＝.
∴以，为边的平行四边形的面积
S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
答案　7
12．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．
解析　设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.
∴BD⊥CE，BD⊥A1E.
∴∠A1EC为二面角A1 BD C的平面角．
∴∠A1EC＝60°，又A1E＝CE，
∴△A1EC是等边三角形．
∴A1E＝CE＝A1C＝a.
即折叠后点A与C之间的距离为a.
答案　a
13.如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)求二面角S ND A的余弦值；
(3)求点A到平面SND的距离．
解　以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
(1)证明　由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)．
所以：＝(－1，0，－1)，＝(0，－4，0)，·＝0，∴MN⊥AB.
(3)∵＝(0，－2，0)，
∴点A到平面SND的距离
d＝＝.
14．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t(0(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值；
(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
解法一　(1)根据题意，长方体体积为V＝t(2－t)×1＝t(2－t)≤＝1，
当且仅当t＝2－t，即t＝1时体积V有最大值为1，
所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，
作BM⊥A1C于M，连接DM，BD，
因为四边形ABCD为正方形，所以△A1BC与△A1DC全等，故DM⊥A1C，所以∠BMD即为所求二面角的平面角．
因为BC⊥平面AA1B1B，所以△A1BC为直角三角形，
又A1B＝，A1C＝，所以BM＝＝＝，同理可得，DM＝，
在△BMD中，根据余弦定理有：
cos∠BMD＝＝－，
因为∠BMD∈(0°，180°)，所以∠BMD＝120°，
即此时二面角B－A1C－D的值是120°.
(2)若线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD
又A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC.所以BD⊥AC，
底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在．由(1)知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M，
此时，A1P＝＝＝.
法二　根据题意可知，AA1，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
(2)根据题意有B(t，0，0)，C(t，2－t，0)，D(0，2－t，0)，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨＝λ(λ＞0)，可得P(λt，λ(2－t)，1－λ)
＝(λt－t，λ(2－t)，1－λ)，
＝(－t，2－t，0)，
即：
解得：t＝1，λ＝.
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P∶PC＝2∶1处．
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.
(1)求证：平面AEF⊥平面BCD；
(2)cos
θ为何值时，AB⊥CD
(2)解　如图所示，过A作AP⊥平面BCD于P，
则P在FE的延长线上．
设BP与CD相交于Q，令AB＝1，
则△ABD是边长为1的等边三角形．
若AB⊥CD，又AP⊥CD，则CD⊥平面ABP，PQ 平面ABP，
则BQ⊥CD.
在Rt△CBQ中，由于∠C＝30°，故∠CBQ＝60°.
又∠CBD＝30°，故∠EBP＝30°.
在Rt△EBP中，PE＝BE·tan
30°＝×＝.
又AE＝，故cos∠AEP＝＝.
折起后有cos
θ＝cos(π－∠AEP)＝－.
故当cos
θ＝－时，AB⊥CD.
16.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＋AB＋AC＝3，AB＝AC＝t(t>0)，P是侧棱AA1上的动点．
(1)当AA1＝AB＝AC时，求证：A1C⊥平面ABC1；
(2)试求三棱锥P BCC1的体积V取得最大值时的t值；
(3)若二面角A BC1 C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．
(1)证明　连接A1C.
∵AA1⊥平面ABC，AB、AC 平面ABC，
∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.
又AB⊥AC，
∴以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，C1(0，1，1)，
B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．
设平面ABC1的法向量n＝(x，y，z)，
则解得
令z＝1，则n＝(0，－1，1)．
∵＝－n，∴A1C⊥平面ABC1.
(2)解　∵AA1∥平面BB1C1C，
∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离．
∴
＝t2(3－2t)＝t2－t3(0令V′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
列表得
t
(0，1)
1
V′
＋
0
－
V
递增
极大值
递减
∴当t＝1时，Vmax＝.
设平面BCC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
∵0令y2＝1，则n2＝(1，1，0)．
设二面角A BC1 C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则有|cos
θ|＝＝＝.
化简得5t2－16t＋12＝0，解得t＝2(舍去)或t＝.
∴当t＝时，二面角A BC1 C的平面角的余弦值为.
17.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，
＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
18.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)设＝λ(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．
(2)解　由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，
C1(0，0，)，B1(－1，0，)．
所以＝(－1，0，),
所以＝(－λ，0，λ)，∴E(1－λ，0，λ)，则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．
设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则得
令z＝，则x＝，y＝，
，∴n＝，
∵AB⊥平面BB1C1C，＝(0，1，0)是平面的一个法向量，
∴|cos〈n，〉|＝
＝＝.
两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝(舍去)．∴λ＝1.
19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；
(2)求二面角H－BD－C的大小．
(1)证明　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点．
所以GH∥EF，又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，
因为ABCD为菱形，
所以O为AC中点，
在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，BF＝3，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，E(－1，0，3)，F(1，0，3)，C(0，，0)，H，
所以＝，＝(2，0，0)．
设平面BDH的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得n＝(0，－，1)．
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为＝(0，0，3)，
则cos〈n，〉＝
＝
＝.
所以二面角H－BD－C的大小为60°.
20．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求二面角G－EF－D的大小；
(3)求三棱锥D－PAB的体积．
(2)解　如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz.
则G(2，1，0)，E(1，0，1)，
F(0，0，1)，∴＝(－1，0，0)，＝(1，1，－1)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
∴
取n＝(0，1，1)．
取平面PCD的一个法向量＝(0，1，0)，
∴cos〈，n〉＝＝＝.
结合图知二面角G EF D的大小为45°.
(3)解　三棱锥D PAB的体积
VD－PAB＝VP－DAB＝S△ABD·PD
＝××2×2×2＝.
21.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
证明　(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．
由题意，得G(0，4，0)
因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，
所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4)．
由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，
则＝(x0－4，y0，－3)．
因为FM⊥平面BOE，
所以∥n.
因此x0＝4，y0＝－，
即点M的坐标是(4，－，0)．
在平面直角坐标系xOy中，
△AOB的内部区域可表示为不等式组
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M,
使FM⊥平面BOE.
由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.
22.如图，在三棱锥P ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF＝FA.
(1)求证：BE⊥平面PAC；
(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．
(2)如图，以B为原点建立空间直角坐标系．则C(2,0,0)，A(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)，＝(1,0,1)，
∴＝＋＝＋＝.
设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)．
由，得
令x＝1，则y＝1，z＝－1，∴m＝(1,1，－1)．
又＝(－2，－2,0)，∴cos〈，m〉＝＝－，
设直线AB与平面BEF所成的角为α，
∴sin
α＝，∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.
23．如图，在长方体ABCD
A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，
∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，
解得z0＝.又DP 平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.专题20
不等式选讲
1．设f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.
(1)求f(x)<0的解集；
(2)当x<－1时，f(x)>f(a)，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝其图像如图所示．
令f(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴f(x)<0的解集为{x|0(2)如图，当x<－1时，f(x)>3，要使f(x)>f(a)，只需f(a)≤3.
当f(a)＝3时，有－3a＝3或a－2＝3，即a＝－1或a＝5，∴－1≤a≤5.
2．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．
3．已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m，且正实数a，b，c满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≤3
.
解：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝
当x≤0时，－2x＋3≤5，得－1≤x≤0；
当0当x≥3时，2x－3≤5，得3≤x≤4.
综上，不等式f(x)≤5的解集为[－1，4]．
(2)证明：由绝对值三角不等式，得f(x)＝|x|＋|x－3|≥|x－(x－3)|＝3，故m＝3，即a＋b＋c＝3.
根据柯西不等式，有(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]
＝3[2(a＋b＋c)＋3]＝27.
所以＋＋≤3
，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝1时取等号．
4．(1)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，若f(x)为常函数，求函数f(x)的定义域；
(2)若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝x＋y＋z的最大值．
5．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
解：(1)原不等式等价于
或
或
解得故不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，
∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
6．已知a，b为正实数．
(1)若a＋b＝2，求＋的最小值；
(2)求证：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
解：(1)＋＝(＋)(1＋a＋1＋b)
＝(5＋＋)≥(5＋2
)＝，
等号成立的条件为＝，而a＋b＝2且a，b为正实数，所以a＝，b＝.
故所求最小值为.
(2)证明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时，三式等号成立，
三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1)，
所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
7、若不等式|a－1|≥＋＋对满足x＋y＋z＝1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
解：根据柯西不等式有
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3·[3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，
∴＋＋≤3
，当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时，等号成立．
又∵|a－1|≥＋＋恒成立，∴|a－1|≥3
，
∴a－1≥3
或a－1≤－3
，即a≥3
＋1或a≤1－3
，
∴a的取值范围是(－∞，1－3
]∪[1＋3
，＋∞)．
8、设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.
9、已知a>0，b>0，c>0，＋＋＋3abc的最小值为m.
(1)求m的值；
(2)解关于x的不等式|x＋1|－2x解：(1)∵a，b，c∈R＋，∴＋＋≥3＝，
∴＋＋＋3abc≥＋3abc，①
而＋3abc≥2
＝6，②
∴＋＋＋3abc≥6，③
当且仅当a＝b＝c时，①式等号成立；当且仅当＝3abc时，②式等号成立；
则当且仅当a＝b＝c＝1时，③式等号成立，即＋＋＋3abc取得最小值m＝6.
(2)由(1)知m＝6，则|x＋1|－2x<6，即|x＋1|<6＋2x，
∴－6－2x∴解得
∴原不等式的解集为(－，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)11．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解　(1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若 s∈(0，＋∞)， t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，
∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
12．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
解　(1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
13.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.
(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.
(2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|,
所以f(x)的最大值为|a+3|.
对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a,
解得a≥3;
所以a的取值范围是[3,+∞).
14.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1,
当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立,
当-3解之得-≤x<-1;
当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成立;
综上不等式的解集为.
(2)若x∈[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3),
则f(x)≤4即|x-a|≤x+7,
所以-x-7≤x-a≤x+7,
即为-7≤a≤2x+7恒成立,
又因为x∈[-2,3],
所以-7≤a≤3,
所以a的取值范围为[-7,3].
15.已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.
(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.
(2)对 b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,
两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,
解得x<,
即实数x的取值范围是.
(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,
因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,
所以2|a|≥1 |a|≥ a≥或a≤-,
所以a的取值范围为∪.
16.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.
(1)解不等式f(x)≥2.
(2)当x∈R,017.已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2.
(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).
【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,
因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.
当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,
即≤x≤1.
当1即1当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2,
即2综上,原不等式的解集为.
(2)由题f(ax)-af(x)
=|ax-1|-a|x-1|.
当a>0时,f(ax)-af(x)
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f(a).
18.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.
(1)求不等式f(x)≥-2的解集.
(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.
(2)f(x)=
函数f(x)的图象如图所示:
令y=x-a,-a表示直线的纵截距,
当直线过(1,3)点时,-a=2;
所以当-a≥2,即a≤-2时成立;
当-a<2,即a>-2时,
令-x+4=x-a,得x=2+,
所以a≥2+,即a≥4时成立,
综上a≤-2或a≥4.专题06
函数与方程﹑函数模型及其应用
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是(　　)
A．(，1)
B．(1，e－1)
C．(e－1,2)
D．(2，e)
【答案】B　
【解析】因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内．
2．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(　　)
A．1B．2C．3D．4
【答案】C　
3．函数f(x)＝的所有零点的和等于(　　)
A．－2B．－1C．0D．1
【答案】C　
【解析】令()x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.
4．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a等于(　　)
A.或－
B．－
C.
D．以上都不对
【答案】C　
【解析】令|x|＝t，原函数的零点有且只有一个，即方程t2＋2at＋4a2－3＝0只有一个0根或一个0根、一个负根，∴4a2－3＝0，解得a＝或－，经检验，a＝满足题意。
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝若关于x的方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(，)
B．(，)
C．(16－6，)
D．(，8－2)
【答案】D
6．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.如果函数g(x)＝f(x)－(x＋m)有两个零点，则实数m的值为(　　)
A．2k(k∈Z)
B．2k或2k＋(k∈Z)
C．0
D．2k或2k－(k∈Z)
【答案】D　
【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝x＋m.因为函数f(x)＝x2在[0,1]上的两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线为y＝x.当直线y＝x＋m与f(x)＝x2(x∈[0,1])的图象相切时，与f(x)在x∈(1,2]上的图象相交，也就是两个交点，此时g(x)有两个零点，可求得此时的切线方程为y＝x－.根据周期为2，得m＝2k或2k－(k∈Z)．
7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．
【答案】10　
8．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
【答案】
4
【解析】由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
9．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
(0,1]
【解析】当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是010．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．
【答案】m>1
【解析】函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．
∵＝m|x| ＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，故m>1.
11．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．
【答案】4
12．已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
【答案】4
【解析】令h(x)＝f(x)＋g(x)，
则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，
故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】画出f(x)＝的图象，如图．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
结合图象得：014．已知函数f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零点分别为x1，x2，则x1＋x2的值为________．
【答案】2
【解析】令f(x)＝0，g(x)＝0，得5x＝－x＋2，log5x＝－x＋2.作出函数y＝5x，y＝log5x，y＝－x＋2的图象，如图所示，因为函数f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零点分别为x1，x2，所以x1是函数y＝5x的图象与直线y＝－x＋2交点A的横坐标，x2是函数y＝log5x的图象与直线y＝－x＋2交点B的横坐标．
因为y＝5x与y＝log5x的图象关于y＝x对称，直线y＝－x＋2也关于y＝x对称，且直线y＝－x＋2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y＝x对称．又线段AB的中点是y＝x与y＝－x＋2的交点，即(1,1)，所以x1＋x2＝2.
15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
【答案】
20
【解析】如图，
过A作AH⊥BC交于点H，交DE于点F，易知＝＝＝ AF＝x FH＝40－x，则S＝x(40－x)≤()2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号，所以满足题意的边长x为20m.
16．已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．
综上所述，m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．
17．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
【解析】解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，
所以0又140<2a<420，即70①当0②当a－70>，即140故当70当140概率
文
1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为(　　)
A.　　　
B.　　
　　C.　　
　　D.
【答案】：C
【解析】：所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P＝＝.
2．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
3．在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即4．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A.
B．1－
C.
D．1－
【答案】：B
【解析】：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.
5.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：依题意，平均数＝＝22，故优秀工人只有2人，从中任取2人共有15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有9种，故至少有1名优秀工人的概率P＝＝，故选C.
6．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
7．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为(　　)
A．0.4　　　　　　　　　　
B．1.2
C．0.43
D．0.6
【答案】：B
【解析】：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.
9．一个电路有两个电子元件串联而成，只有这两个元件同时正常工作，这个电路才能正常工作，已知元件甲能正常工作的概率是0.9，元件乙能正常工作的概率是0.95，则这个电路能正常工作的概率是(　　)
A．0.09
B．0.095
C．0.855
D．0.85
【答案】：C
10．从装有6个黑球、4个白球(除颜色外均相同)的袋中随机抽取3个球，所得的白球个数记作随机变量X.则P(X＝2)＋P(X＝3)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：由题知，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
11.如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，故P(N|M)＝＝.
12．包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________．
【答案】：
【解析】：4个人的全排列种数为A，甲与乙、丙都相邻的排法有AA种，则所求概率为＝.
13．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC面积大于的概率为________．
【答案】：
14．在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的
长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为________．
【答案】：
【解析】：设AC＝x，则BC＝12－x(020，∴x2－12x＋20<0，解得215．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
【答案】：
【解析】：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.
16．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示：
x
0
1
2
P(ξ＝x)
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若随机变量ξ的均值为，则ξ的方差为________．
【答案】：
17．设在4次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率为，那么事件A在一次试验中发生的概率为________．
【答案】：
【解析】：设事件A在一次试验中发生的概率为p，则有1－C(1－p)4＝，所以(1－p)4＝，解得p＝.
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
【解析】：(1)甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．
所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝，P2＝，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝，
X的所有可能取值为0,1,2.依题意，X～B，
P(X＝k)＝Ck2－k，k＝0,1,2，
则X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值E(X)＝2×＝.
19．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：
AQI
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
20
15
(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
非供暖季
总计
100
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝，试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】：(1)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝≈4.575.
因为4.575>3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，则
P(X＝0)＝P(0≤x≤100)＝＝，P(X＝400)＝P(100000)＝P(x>300)＝＝，
所以E(X)＝0×＋400×＋2
000×＝560.
故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E(X)＝16
800(元)．
20．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．
21．对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
月收入(百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
月收入低于55百元人数
月收入不低于55百元人数
合计
赞成
a＝
b＝
不赞成
c＝
d＝
合计
(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．
参考值表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】：(1)由题意得2×2列联表：
月收入低于55百元人数
月收入不低于55百元人数
合计
赞成
a＝29
b＝3
32
不赞成
c＝11
d＝7
18
合计
40
10
50
根据列联表中的数据得：
K2＝≈6.27>3.841，
所以有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异．专题12
空间几何体的三视图﹑表面积及体积
文
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为(　　)
【答案】：C
【解析】：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形．
2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)
【答案】　C
3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为(　　)
【答案】　C
【解析】　由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
【答案】　C
5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是________．
【答案】　8
【解析】：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则AE＝BF＝ADcos
45°＝1，∴CD＝EF＝3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，∠A′＝90°，A′B′＝5，C′D′＝3，A′D′＝2，∴S四边形A′B′C′D′＝×(5＋3)×2＝8.
6.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是(　　)
A．24
　　　
B．12
C．8
　　　
D．4
【答案】　B
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是(　　)
A.
B.
C．1
D.
【答案】　B
【解析】　有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半个圆锥，故侧视图的面积是，故选B.
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
【答案】　C
【解析】　据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝，
∴该几何体的体积为
V＝V半球＋VP ABC
＝×π＋××BA·
BC·PB＝＋.
9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为(　　)
A．92＋24π
B．82＋24π
C．92＋14π
D．82＋14π
【答案】　C
10.四棱锥P ABCD的三视图如图所示，四棱锥P ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)
A．12π
B．24π
C．36π
D．48π
【答案】　A
11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为
cm和
cm，其余四根的长度均为1
cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.
【答案】　
【解析】　由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝，AC＝，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连接SO、OB，则SO⊥AC，所以SO＝＝，OB＝AC＝，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝××＝.
12．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
【答案】　24
【解析】　由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4，∴S OABC＝6×4＝24.
13．如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【答案】　②③
【解析】　由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台的母线长．
15．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
16.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
【解析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为：
V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为
h1＝＝5.
左、右侧面的底边上的高为h2＝＝4.
故几何体的侧面面积为：
S＝2×(×8×5＋×6×4)
＝40＋24.
17.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
(2)设正三棱锥P ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP ABC＝VO PAB＋VO PBC＋VO PAC＋VO ABC
＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r
＝(3＋2)r.
又VP ABC＝×××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.专题02
平面向量与复数
文
1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝
(　　)
A.＋　　　　
B.＋
C.＋
D.＋
【答案】：B
【解析】：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.
2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)
A．－
B.
C．－2
D．2
【答案】：C
【解析】：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.
3.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则·(－)＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
【答案】：A
4．设向量a＝(cos
α，－1)，b＝(2，sin
α)，若a⊥b，则tan＝(　　)
A．－
B.
C．－1
D．0
【答案】：B
【解析】：由已知可得，a·b＝2cos
α－sin
α＝0，∴tan
α＝2，tan＝＝，故选B.
5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)·(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D．1
【答案】：D
6．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z2
016＝(　　)
A．21
008
B．21
008i
C．－21
008
D．－21
008i
【答案】：A
【解析】：由＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2
016＝(z2)1
008＝(－2i)1
008＝21
008×i1
008＝21
008×(i4)252＝21
008.故选A.
7．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是
、，则复数的值是（
）
A．﹣1+2i
B．﹣2﹣2i
C．1+2i
D．1﹣2i
【答案】A
8．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
9．复数满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A.
【解析】由题意得，，∴，故选A．
10.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)
A.4
B.6
C.1
D.2
【答案】　B
【解析】　由条件可得B(3，1)，A(2，0)，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
11.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　A
【解析】　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
12.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.
【答案】　2
13.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
【答案】　3
【解析】　法一　如图，建立平面直角坐标系.
由题意知：A(3，0)，B(0，3)，
设M(x，y)，由＝2，
得解得
即M点坐标为(2，1)，
所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.
法二　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).
【答案】　垂心
15.已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.
【解析】　(1)a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x，
|a＋b|＝
＝＝2，
因为x∈，所以cos
x≥0，
所以|a＋b|＝2cos
x.
(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos
2x－4λcos
x，
即f(x)＝2(cos
x－λ)2－1－2λ2.
因为x∈，所以0≤cos
x≤1.
①当λ＜0时，当且仅当cos
x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos
x＝λ时，
f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；
③当λ＞1时，当且仅当cos
x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.
16．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
17．已知平面上三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设，且，求k的值；
②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．
【答案】（1）（2）①②
【解析】
解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，
因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有，
所以．
因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．
所以椭圆C的方程为．
（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．
由解得，
①∵，∴（k=0舍去）．
②∵，
（当且仅当时取等号），
∴S△AOD的最大值为．
19．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；
(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos
∠BAC的值．
20．已知向量a＝(1，sin
ωx)，b＝(cos2
ωx－1，cos
ωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在上的单调区间．
20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量m＝(cos
B，cos
C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的取值范围．专题21
坐标系与参数方程
1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝，曲线C的参数方程为
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)∵ρsin(θ－)＝，∴ρ(sin
θ－cos
θ)＝，
∴y－x＝，即x－y＋1＝0.故直线l的直角坐标方程是x－y＋1＝0.
(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cos
α，2sin
α)，∴曲线C上的点到直线l的距离
d＝＝≤，故最大距离是.
方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为，∴最大距离为＋2＝.
2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．
(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．
解：(1)圆C的参数方程为(α为参数)，
所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，
所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos
θ＋8ρsin
θ＋21＝0.
(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝，
故△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cos
α－2sin
α＋9|＝|2
sin(－α)＋9|，
所以△ABM面积的最大值为9＋2
.
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；
(2)求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将直线l：(t为参数)消去参数t，化为普通方程x－y－2
＝0，
将代入x－y－2
＝0，得ρcos
θ－ρsin
θ－2
＝0.
4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ－4sin
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3
，求直线l的斜率．
解：(1)∵ρ＝2cos
θ－4sin
θ，∴ρ2＝2ρcos
θ－4ρsin
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
∵直线l过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为<，∴直线l与曲线C相交．
(2)方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心(1，－2)，|AB|＝2
≠3
，
则直线l的斜率必存在，设其方程为y＋1＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，
圆心(1，－2)到直线l的距离d＝＝＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1.
方法二：将代入(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
得(tcos
α)2＋(1＋tsin
α)2＝5，
整理得t2＋2sin
α·t－4＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2sin
α，t1t2＝－4，
则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝3
，
∵α为直线l的倾斜角，∴sin
α＝(舍去负值)，则α＝或，∴直线l的斜率为±1.
5．已知点P的直角坐标是(x，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．
(1)用x，y，θ0表示m，n；
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
解：(1)由题意知和
即
所以
(2)由题意知
所以(x－y)(x＋y)＝1，
整理得－＝1.
6．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；
(2)过点M的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若＝2，求直线l的参数方程．
解：(1)点M的极坐标为(1，π)．
由ρ＝，得ρ(1－cos
2θ)＝8cos
θ，即ρ·2sin2θ＝8cos
θ，即ρ2sin2θ＝4ρcos
θ，即y2＝4x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
解：(1)由ρ2＝，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以＋y2＝1；ρ＝，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝4，所以x＋y＝4.所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)设Q(cos
θ，sin
θ)，则点Q到直线l的距离
d＝＝≥＝.
当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号，所以Q点到直线l距离的最小值为.
8、在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
解：(1)∵ρ＝4cos
θ，∴ρ2＝4ρcos
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin
α＋cos
α)t＋4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2则有
∴sin
α·cos
α>0，
又α∈[0，π)，所以α∈(0，)，所以t1<0，t2<0，而|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sin
α＋cos
α)＝4
sin(α＋)．
∵α∈(0，)，∴α＋∈(，π)，∴∴|PM|＋|PN|的取值范围为(4，4
]．
9、已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－)的公共点，求x＋y的取值范围．
解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)，
所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sin
θ－cos
θ)．
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以x2＋y2＝2
y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2
y＝0.
(2)方法一：设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2
y＝0 (x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，
将代入z＝x＋y得z＝－t.
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2，2]．
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．
(1)将C1的方程化为普通方程；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．
解　(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上，
设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，
∵直线OB倾斜角为，OA＝2，
∴OC＝1，从而OB＝2，
∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，B.
11．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．
解　(1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，C2：＋＝1.
曲线C1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．
曲线C2为中心是坐标原点、焦点在x轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．
12．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos
θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
13．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解析：(1)由已知可得A(2cos
，2sin
)，
B(2cos(＋)，2sin(＋))，
C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，
D(2cos(＋)，2sin(＋))，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos
φ，3sin
φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2
φ＋36sin2
φ＋16＝32＋20sin2
φ.
因为0≤sin2
φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
14．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|·|TN|的取值范围．
解析：(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，
所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
又y＝ρsin
θ，所以ρ2－2ρsin
θ＝0，
即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(2)解法一　由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为(t为参数)．
联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cos
θ＋y0sin
θ－sin
θ)t＋1－2y0＝0，
即由直线参数方程中t的几何意义可知，
|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
解法二　设点T(cos
α，sin
α)，则由题意可知当α∈(0，π)时，切线与曲线C2相交，
由对称性可知，当α∈时切线的倾斜角为α＋，则切线MN的参数方程为
(t为参数)，
与C2的直角坐标方程联立，得t2－2tcos
α＋1－2sin
α＝0，
则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sin
α|，
因为α∈，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
15．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
16．已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．
(1)用x，y，θ0表示m，n；
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
解析：(1)由题意知且
所以
所以
(2)由(1)可知又mn＝1，
所以＝1.
整理得－＝1.
∴－＝1即为所求方程．专题16
椭圆、双曲线、抛物线
1．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)
A．2　　　　　　　　
B．2
C．6
D．8
解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.
答案：D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.
答案：C
3．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B．4
C．3
D．5
解析：由题易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，∴所求距离为d＝＝.
答案：A
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B．2－
C.－2
D.－
答案：D
5．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状(　　)
A．越接近于圆
B．越扁
C．先接近于圆后越扁
D．先越扁后接近于圆
解析　由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.
答案　A
6．
F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝，
由椭圆的定义得2a＝3，因此e＝＝＝.
答案　A
7．已知a>b>0
，椭圆
C1
的方程为＋＝1，双曲线
C2
的方程为－＝1，C1
与
C2
的离心率之积为，
则C1
、
C2
的离心率分别为(　　)
A.，3
B.，
C.，2
D.，2
解析　由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B.
答案　B
8．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
9．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
解析　由题意得F(2，0)，l：x＝－2，
线段MF的垂直平分线方程为y－＝－，则x＋3y－7＝0，
设圆的圆心坐标为(a，b)，
则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，
由题意得|a－(－2)|＝，
即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．
答案　B
10．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．10
解析　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，圆心到y＝－1的距离d＝5，(|MA|＋|MF|)min＝5－r＝5－1＝4.
答案　B
11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)
A．(0，±2)
B．(0，2)
C．(0，±4)
D．(0，4)
解析　在△AOF中，点B为边AF的中点，
故点B的横坐标为，
因此＝＋，解得p＝，
故抛物线方程为y2＝2x，
可得点B坐标为(，±1)，
故点A的坐标为(0，±2)．
答案　A
12．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
13．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
解析　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2，0)．
由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．
又点A(8，8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.
∴直线l的方程为y＝(x－2)．①
将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.
答案　
14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由焦点弦性质，y1y2＝－p2(
)，
由题意知＋2＝0，
得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)，
∴y1＋2y2＝0，代入(
)式得－eq
\f(y,2)＝－p2，∴y＝2p2，
∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，
又||＝2||，∴2||＝3，
∴||＋2||＝6.
答案　6
15．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
解析　由题意得F(1，0)，直线AB的方程y＝x－1.
由得x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴|AB|＝·＝8.
设Peq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,4)，y0))，则点P到直线AB的距离为eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)＋y0＋1)),\r(2))，
∴△PAB的面积S＝·d·|AB|
＝×8×eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)＋y0＋1)),\r(2))＝≥2，(y0≥0)
即△PAB的面积的最小值是2.
答案　2
16．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．
解析　由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.
答案　－12
17．双曲线－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．
解析　由题意可得，k＝＝tan＝，
∴b＝a，则a2＝，∴e＝＝2.
∴＝＝＋
≥2＝.
当且仅当＝，即b＝时取等号．
答案　
18．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0解析　由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
答案　
19．已知F1(－1，0)，F2(1，0)为椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||＋||＝4，则椭圆的离心率e＝________.
解析　由题意2a＝4，∴a＝2，
又c＝1，∴e＝.
答案　
20．设点F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
解析　据题意，|PF1|＝|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，
解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
又|F1F2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠F1PF2
＝＝.
所以sin∠F1PF2＝＝，
所以S△PF1F2＝×6×8×＝3.
答案　3
21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．
解析：(1)由题意知＋＝，
解得p＝2或p＝0(舍去)．
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知，直线l不垂直于y轴，
可设直线l：x＝my＋6，
由可得y2－4my－24＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即·＝0.
可得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋5m(y1＋y2)＋25＝－24(1＋m2)＋20m2＋25＝0，
解得m＝±，
∴直线l的方程为x＝±y＋6，即2x±y－12＝0.
22.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，＝3.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)若点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为，求椭圆E的方程．
解析：(1)∵＝3，B(0，－b)，F(c,0)，
∴A.
代入椭圆方程可得＋＝1，得＝，即离心率e＝.
23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
解析：(1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程是＋＝1.
(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，整理得
(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝ x1＝，
则D，
所以BD中点的坐标为，
则直线BD的垂直平分线方程为y－＝－，
得P.
又·＝0，
即·＝0，
化简得＝0 64k4＋28k2－36＝0，
解得k＝±.
故P或.专题01
集合与常用逻辑用语
文
1．若x∈R，则“x>1”是“<1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】：A
【解析】：当x>1时，<1成立，而当x<0时，<1也成立，所以“x>1”是“<1”的充分不必要条件，故选A.
2．命题“正数a的平方等于0”的否命题为(　　)
A．正数a的平方不等于0
B．若a不是正数，则它的平方等于0
C．若a不是正数，则它的平方不等于0
D．非正数a的平方等于0
【答案】：C
3．若集合M＝{y|y＝2
017x}，S＝{x|y＝log2
017(x－1)}，则下列结论正确的是(　　)
A．M＝S
B．M∪S＝M
C．M∪S＝S
D．M∩S＝
【答案】：B
【解析】：因为M＝{y|y＝2
017x}＝{y|y>0}，S＝{x|y＝log2
017(x－1)}＝{x|x>1}，所以M∪S＝M，故选B.
4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．[2，＋∞)
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】：D
【解析】：因为A∪B＝A，所以B A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2，故选D.
5．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】：C
【解析】：原命题显然是真命题，所以逆否命题也是真命题．原命题的逆命题是“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，是假命题，因为当c＝0时，命题不成立，所以否命题也是假命题，所以这4个命题中，真命题的个数为2，故选C.
6．已知命题p：“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q： x∈，sin
x＝的否定为：“ x0∈，
sin
x0≠”，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧(綈q)
B．(綈p)∧q
C．(綈p)∨(綈q)
D．p∧q
【答案】：D
7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A
B＝，若A＝{x|x2－ax－1＝0，a∈R}，B＝{x||x2＋bx＋1|＝1，b∈R}，设S＝{b|A
B＝1}，则C(S)等于(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】：B
【解析】：因为二次方程x2－ax－1＝0满足Δ＝a2＋4>0，所以C(A)＝2，要使A
B＝1，则C(B)＝1或C(B)＝3，函数f(x)＝x2＋bx＋1的图象与直线y＝1或y＝－1相切，所以b2＝0或b2－8＝0，可得b＝0或b＝±2，故C(S)＝3.
8．以下有关命题的说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p： x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p： x∈R，均有x2＋x＋1>0
【答案】：D
【解析】：选项D中綈p应为： x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故选D.
9．已知命题p： x0∈R，x0－2>0，命题q： x∈R,2x>x2，则下列说法中正确的是(　　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
【答案】：C
【解析】：显然命题p是真命题，又因为当x＝4时，24＝42，所以命题q是假命题，所以命题p∧(綈q)是真命题．
10．若命题“p且q”是假命题，“綈p”也是假命题，则(　　)
A．命题“綈p或q”是假命题
B．命题“p或q”是假命题
C．命题“綈p且q”是真命题
D．命题“p且綈q”是假命题
【答案】：A
【解析】：由“綈p”是假命题，可得p为真命题．因为“p且q”是假命题，所以q为假命题，所以命题“綈p或q”是假命题，即选项A正确；“p或q”是真命题，即选项B错误；“綈p且q”是假命题，即选项C错误；“p且綈q”是真命题，即选项D错误，故选A.
11．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝(　　)
A．{x|2B．{x|3≤x≤4}
C．{x|2D．{x|2≤x≤4}
【答案】：B
【解析】：∵A＝{x|112．下列说法中正确的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B．若p： x0∈R，x－x0－1>0，则綈p： x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sin
α＝”的否命题是“若α≠，则sin
α≠”
【答案】：D
13．已知命题p： x∈R,2x>0；命题q：在曲线y＝cos
x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
【答案】：C
【解析】：易知，命题p是真命题，对于命题q，y′＝－sin
x∈[－1,1]，而 [－1,1]，故命题q为假命题，所以綈q为真命题，p∧(綈q)是真命题．故选C.
14．命题p： a∈，使得函数f(x)＝在上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　)
A．綈p
B．p∧q
C．(綈p)∨q
D．p∧(綈q)
【答案】：D
15．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．aB．b>a
C．ab>0
D．ab(a－b)<0
【答案】：A
【解析】：－＝＝，选项A可以推出>.故选A.
16．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1： (x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2： (x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3： (x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4： (x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p1，p4
D．p1，p3
【答案】：B
【解析】：不等式组表示的区域D如图中阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．故选B.
17．已知集合A＝{x|2x2＋3x－2<0}，集合B＝{x|x>a}，如果“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2
B．a<－2
C．a>－2
D．a≥－2
【答案】：A
【解析】：由2x2＋3x－2<0，解得－218．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|[x]2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________.
【答案】：{x|－1≤x<0}
【解析】：因为A＝{x|[x]2－2[x]＝3}，所以[x]＝－1或3，所以－1≤x<0或3≤x<4，由B＝得B＝{x|－319．已知 x∈R，不等式ax2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】：[0,4)
20．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义|A－B|＝若A＝{1,2}，B＝{x||x2＋2x－3|＝a}，且|A－B|＝1，则a＝________.
【答案】：4
【解析】：由于|x2＋2x－3|＝a的根可能是2个，3个，4个，而|A－B|＝1，故|x2＋2x－3|＝a只能有3个根，故a＝4.
1．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】　B
【解析】　方法一　代值法、排除法．
当a＝1时，A＝R，符合题意；
当a＝2时，因为B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．
所以A∪B＝R，符合题意．
综上，选B.
方法二　因为B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，
所以A (－∞，a－1)，又(x－1)(x－a)≥0.
所以当a＝1时，x∈R，符合题意；
当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，1≥a－1，解得1当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，a≥a－1，∴a<1.
综上，a≤2.
2．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1B．3C．5D．9
【答案】　C
【解析】　x－y的取值分别为－2，－1,0,1,2.
3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩( IM)＝ ，则M∪N等于(　　)
A．MB．NC．ID．
【答案】　A
4．在R上定义运算 ：x y＝，若关于x的不等式(x－a) (x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2≤a≤2
B．－1≤a≤1
C．－2≤a≤1
D．1≤a≤2
【答案】　C
5．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A B，则实数c的取值范围是(　　)
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
【答案】　B
【解析】　A＝{x|y＝lg(x－x2)}
＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，
B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，
因为A B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.
6．下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，－1C． x0∈R,2x0<0
D． x0∈R，tanx0＝2
【答案】　D
【解析】　 x∈R，x2≥0，故A错； x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；由y＝2x的图象可知 x∈R,2x>0，故C错，D正确．
7．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则(　　)
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
【答案】　D
【解析】　因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.
8．已知命题p： x∈R，x3A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧(綈q)
【答案】　B
9．下列5个命题中正确命题的个数是(　　)
①对于命题p： x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p： x∈R，均有x2＋x＋1>0；
②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；
③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为＝1.23x＋0.08；
④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为；
⑤曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是S＝ (x－x2)dx.
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】　A
【解析】　①错，应当是綈p： x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为；⑤正确，由定积分的几何意义可知．
10．已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
【答案】　
11．已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“ x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
【答案】　
【解析】　由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f(0)·f(1)<0，解不等式求出实数a的取值范围．
由f(0)·f(1)<0 (1－2a)(4|a|－2a＋1)<0
或 a>.
12．已知下列命题：
①命题“ x0∈R，x＋1>x0＋1”的否定是“ x∈R，x2＋1②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】　②
【解析】　命题“ x0∈R，x＋1>x0＋1”的否定是“ x∈R，x2＋1≤x＋1”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题，故②对；a>5 a>2，但a>2D /a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
13．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b＝λa”；②“函数y＝x2＋bx＋c为偶函数”的充要条件是“b＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．
【答案】　①②④
14．已知a，b均为实数，设集合A＝{x|a≤x≤a＋}，B＝{x|b－≤x≤b}，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是________．
【答案】　
【解析】　∵，∴0≤a≤，∵
∴≤b≤1，利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为－＝.
15．对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M，且x N}，M
N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M
N＝__________.
【答案】　{y|y>3或－3≤y<0}
【解析】　∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M
N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．
16．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠ ；命题q：A C.
(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
17．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【解析】：∵A∪B＝A，∴B A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，
①若B＝ ，则m＋1＞2m－1，
即m＜2，∴m＜2时，A∪B＝A.
②若B≠ ，如图所示，
则m＋1≤2m－1，即m≥2.
由B A得
解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
因此，实数m的取值范围是(－∞，3]．
18．设p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．专题05
函数﹑基本初等函数的图像与性质
文
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　　　
B．(1，＋∞)
C.
D.
【答案】：A
【解析】：由log3(2x－1)≥0得2x－1≥1，x≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.
2．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　)
A．－
B．－9
C.
D．9
【答案】：C
【解析】：因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
3．函数y＝lg|x|(　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
【答案】：B
4．函数f(x)＝2|log2x|－的图象为(　　)
【答案】：D
【解析】：由题设条件，当x≥1时，f(x)＝2log2x－＝；当0f(x)＝2－log2x－＝－＝x.故f(x)＝其图象如图所示．故选D.
5．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N
，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2
017＝(　　)
A．7
554
B．7
540
C．7
561
D．7
564
【答案】：C
6．已知函数y＝sin
ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是(　　)
【答案】：C
【解析】：由题图可知07．已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．bD．c【答案】：C
【解析】：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.
8．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1]
B.
C.
D．[1,2)
【答案】：D
9．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)A．(－∞，2)
B．(－2,2)
C．(－1,2)
D．(2，＋∞)
【答案】：C
【解析】：易知f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，由复合函数单调性知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2x－1)10．已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】：A
【解析】：画出y1＝f(x)，y2＝log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
11.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的【解析】式可能是(　　)
A．x2cos
x
B．sin
x2
C．xsin
x
D．x2－x4
【答案】：B
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)【答案】：D
【解析】：由f(x－4)＝－f(x)得f(x＋2－4)＝f(x－2)＝－f(x＋2)，由f(－x)＝－f(x)得f(－x－2)＝－f(x＋2)，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，所以直线x＝－2是函数f(x)图象的一条对称轴．同理得直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以函数f(x)的周期是8，所以f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，f(80)＝f(0)．由f(x)是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f(0)＝0，f(1)>0，－f(1)<0，则－f(1)13．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．
【答案】：－　[－3，＋∞)
【解析】：由题意得f(2)＝，f[f(2)]＝f＝－－2＝－.因为当x>1时，∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．
14．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.
【答案】：－1
【解析】：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.
15．已知函数f(x)＝＋sin
x，则f(－2
017)＋f(－2
016)＋f(0)＋f(2
016)＋f(2
017)＝________.
【答案】：5
16．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
② x∈R，f＝f；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)．
则f(2
017)＝________.
【答案】：－2
【解析】：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2
017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.
17.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【答案】　(0，1]
【解析】　当x＞0时，由f(x)＝ln
x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
18.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2
014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
【答案】　①②④
19.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的【解析】式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
【解析】　(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
20.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
21.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
【解析】　(1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，
则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象.
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).
22．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
23．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
【解析】：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f
(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＜0.
∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．
(3)由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得
f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
24．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，
由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对x∈R恒成立，
则f(x－t)≥f(t2－x2)．
∴t2－x2≤x－t x2＋x≥t2＋t对x∈R恒成立 ≤min对一切x∈R恒成立 ≤0 t＝－.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．专题19
坐标系与参数方程
1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝，曲线C的参数方程为
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【解析】：(1)∵ρsin(θ－)＝，∴ρ(sin
θ－cos
θ)＝，
∴y－x＝，即x－y＋1＝0.故直线l的直角坐标方程是x－y＋1＝0.
(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cos
α，2sin
α)，∴曲线C上的点到直线l的距离
d＝＝≤，故最大距离是.
方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为，∴最大距离为＋2＝.
2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．
(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；
(2)求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ－4sin
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3
，求直线l的斜率．
【解析】：(1)∵ρ＝2cos
θ－4sin
θ，∴ρ2＝2ρcos
θ－4ρsin
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
∵直线l过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为<，∴直线l与曲线C相交．
(2)方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心(1，－2)，|AB|＝2
≠3
，
则直线l的斜率必存在，设其方程为y＋1＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，
圆心(1，－2)到直线l的距离d＝＝＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1.
方法二：将代入(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
得(tcos
α)2＋(1＋tsin
α)2＝5，
整理得t2＋2sin
α·t－4＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2sin
α，t1t2＝－4，
则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝3
，
∵α为直线l的倾斜角，∴sin
α＝(舍去负值)，则α＝或，∴直线l的斜率为±1.
5．已知点P的直角坐标是(x，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．
(1)用x，y，θ0表示m，n；
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
6．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；
(2)过点M的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若＝2，求直线l的参数方程．
7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
【解析】：(1)由ρ2＝，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以＋y2＝1；ρ＝，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝4，所以x＋y＝4.所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)设Q(cos
θ，sin
θ)，则点Q到直线l的距离
d＝＝≥＝.
当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号，所以Q点到直线l距离的最小值为.
8、在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
9、已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－)的公共点，求x＋y的取值范围．
【解析】：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)，
所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sin
θ－cos
θ)．
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以x2＋y2＝2
y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2
y＝0.
(2)方法一：设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2
y＝0 (x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，
将代入z＝x＋y得z＝－t.
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2，2]．
方法二：直线l的参数方程化成普通方程为x＋y＝2.
由
解得P1(－1－，＋1)，P2(－1＋，－1)．
∵P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－)的公共点，
∴点P在线段P1P2上，
∴x＋y的最大值是×(－1＋)＋(－1)＝2，
最小值是×(－1－)＋(＋1)＝－2，
∴x＋y的取值范围是[－2，2]．
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．
(1)将C1的方程化为普通方程；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．
11．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．
12．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos
θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【解析】　(1)y2＝2ax，y＝x－2.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
即a2＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)．
13．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
14．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|·|TN|的取值范围．
【解析】：(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，
所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
又y＝ρsin
θ，所以ρ2－2ρsin
θ＝0，
即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(2)解法一　由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为(t为参数)．
联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cos
θ＋y0sin
θ－sin
θ)t＋1－2y0＝0，
即由直线参数方程中t的几何意义可知，
|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
解法二　设点T(cos
α，sin
α)，则由题意可知当α∈(0，π)时，切线与曲线C2相交，
由对称性可知，当α∈时切线的倾斜角为α＋，则切线MN的参数方程为
(t为参数)，
与C2的直角坐标方程联立，得t2－2tcos
α＋1－2sin
α＝0，
则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sin
α|，
因为α∈，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
15．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
16．已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．
(1)用x，y，θ0表示m，n；
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
【解析】：(1)由题意知且
所以
所以专题18
统计与统计案例
1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为(　　)
A．15,5,25　　　　　　　
B．15,15,15
C．10,5,30
D．15,10,20
解析：先确定抽样比为＝，则依次抽取的人数分别为×300＝15，×200＝10和×400＝20.故选D.
答案：D
2.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是
(　　)
A．125
B．5
C．45
D．3
解析：由茎叶图知平均值为＝125，∴s2＝[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.
答案：C
3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是(　　)
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析：依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A.
答案：A
4．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为(　　)
A．67
B．68
C．68.3
D．71
解析：设表中模糊看不清的数据为m.因为x＝＝30，又样本中心(，)在回归直线＝0.67x＋54.9上，所以＝＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故选B.
答案：B
5．采用系统抽样方法从1
000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，1
000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为(　　)
A．12
B．13
C．14
D．15
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的直方图如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则(　　)
A．me＝m0＝x
B．me＝m0C．meD．m0【答案】D　
【解析】
由图知m0＝5.将30名学生的得分从大到小排列，第15个数是5，第16个数是6，所以me＝5.5.
又x＝>5.9，所以m07．给出下列四个命题：
①质检员每隔10分钟从匀速传递的产品生产流水线上抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝－p；
④在回归直线方程＝0.1x＋10中，当x每增加1个单位时，平均增加0.1个单位．
其中真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C　
【解析】
①中的抽样方法是系统抽样，所以①不正确；根据方差的含义，②正确；③中P(ξ≥1)＝p，则P(ξ≤－1)＝p，所以P(－1<ξ<0)＝(1－2p)＝－p，故③正确；由于x的系数为0.1，因此x每增加一个单位，平均增加0.1个单位，故④正确．所以真命题的个数是3.
8．已知总体中各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是(　　)
A．10，11
B．10.5，10.5
C．10，10
D．10，12
【答案】B　
9．某种产品的广告支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为6.5.若要使销售额不低于100万元，则至少需要投入广告费为(x为整数)(　　)
A．10万元
B．11万元
C．12万元
D．13万元
【答案】D　【解析】
因为x＝5，y＝50，所以50＝6.5×5＋，解得＝17.5，所以回归直线方程为＝6.5x＋17.5.由6.5x＋17.5≥100，解得x≥，因为x为整数，所以至少需要投入广告费为13万元．
10．从气象意义上来说春季进入夏季的标志为：连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.4.
则肯定进入夏季的地区为(　　)
A．甲、乙、丙
B．甲、丙
C．乙、丙
D．甲
【答案】B　
11．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋，根据中间两组数据(4，3)和(5，4)求得的直线方程为y＝bx＋a，则________b，________a．(填“>”或“<”)
【答案】<　>　【解析】
方法一：画出散点图，粗略估计回归直线的位置，再画出过点(4，3)，(5，4)的直线，如图所示．由图易知a.
方法二：由公式可得＝0.7，＝0.35.由题意可得b＝1，a＝－1，所以a.
12．某地有居民100
000户，其中普通家庭99
000户，高收入家庭1000户．从普通家庭中用简单随机抽样的方法抽取990户，从高收入家庭中用简单随机抽样的方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，请估计该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例是________．
【答案】5.7%　
【解析】
该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有99
000×＋1000×＝5700(户)，
所以所占比例约为＝5.7%.
13．一个容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8且前4项和S4＝28，则此样本数据的平均数和中位数分别是________．
【答案】23，23　
【解析】
设公差为d，则a1＋2d＝8，4a1＋6d＝28，解得a1＝4，d＝2，所以此样本数据的中位数是＝a1＋d＝4＋19＝23，平均数是＝a1＋d＝23.
14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间(满分150分)，为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第八组[130，140]．该图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．
(1)求第七组的频率，并将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分(同一组数据使用中间值作代表)；
(3)估计该校在这次考试中数学成绩在[100，140]的人数．
解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率为
1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.
完整的频率分布直方图如下图所示．
(2)该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分数为
65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋115×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97.
(3)数学成绩在[100，140]内的频率是(0.02＋0.006＋0.008＋0.004)×10＝0.38，
所以该校这次考试中数学成绩在[100，140]内的人数约为2000×0.38＝760.
15．从某大学随机选取7名女大学生，其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的有关数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
身高x
163
164
165
166
167
168
169
体重y
52
52
53
55
54
56
56
(1)求出回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预测一名身高为172
cm的女大学生的体重．
(2)＝0.75>0说明身高x每增加1个单位，体重y就增加0.75个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．对于身高为172
cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重为0.75×172－70.5＝58.5(kg)．
16．在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
几何证明选讲
极坐标与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.
几何类
代数类
合计
男同学
16
6
22
女同学
8
12
20
合计
24
18
42
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；
②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
②由题意知X的可能取值为0，1，2.
依题意P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝；
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝；
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
从而X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
17.某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组对2014年全年的空气污染指数API进行监测，下表是在这一年内随机抽取的100天的统计结果.
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
>300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气污染指数API（记为t）的关系为P＝在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P在区间（200，600]内的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
下面临界值表供参考：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
k0
2.072
2.706
3.841
P（K2≥k0）
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝
18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2
010，z＝y－5，得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
解析：(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，
＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，
∴z＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2
010，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2
010)－1.4，即y＝1.2x－2
408.4.
(3)∵y＝1.2×2
020－2
408.4＝15.6，
∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
19．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效
无效
合计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
合计
32
(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：(1)列联表如下：
有效
无效
合计
使用方案A组
96
24
120
使用方案B组
72
8
80
合计
168
32
200
使用方案A组有效的频率为＝0.8；使用方案B组有效的频率为＝0.9.方案B组更有效．
(2)K2＝≈3.571<3.841，
所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．专题05
函数﹑基本初等函数的图像与性质
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　　　
B．(1，＋∞)
C.
D.
解析：由log3(2x－1)≥0得2x－1≥1，x≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　)
A．－
B．－9
C.
D．9
解析：因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
答案：C
3．函数y＝lg|x|(　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
解析：因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.
答案：B
4．函数f(x)＝2|log2x|－的图象为(　　)
解析：由题设条件，当x≥1时，f(x)＝2log2x－＝；当0f(x)＝2－log2x－＝－＝x.故f(x)＝其图象如图所示．故选D.
答案：D
5．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N
，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2
017＝(　　)
A．7
554
B．7
540
C．7
561
D．7
564
6．已知函数y＝sin
ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是(　　)
解析：由题图可知0答案：C
7．已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．bD．c解析：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.
答案：C
8．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1]
B.
C.
D．[1,2)
答案：D
9．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)A．(－∞，2)
B．(－2,2)
C．(－1,2)
D．(2，＋∞)
解析：易知f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，由复合函数单调性知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2x－1)答案：C
10．已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：画出y1＝f(x)，y2＝log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
答案：A
11.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A．x2cos
x
B．sin
x2
C．xsin
x
D．x2－x4
答案：B
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)解析：由f(x－4)＝－f
(x)得f(x＋2－4)＝f(x－2)＝－f(x＋2)，由f(－x)＝－f(x)得f(－x－2)＝－f(x＋2)，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，所以直线x＝－2是函数f(x)图象的一条对称轴．同理得直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以函数f(x)的周期是8，所以f(－25)＝f
(－1)＝－f(1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，f(80)＝f(0)．由f(x)是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f(0)＝0，f(1)>0，－f(1)<0，则－f(1)答案：D
13．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．
解析：由题意得f(2)＝，f[f(2)]＝f＝－－2＝－.因为当x>1时，∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．
答案：－　[－3，＋∞)
14．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.
解析：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.
答案：－1
15．已知函数f(x)＝＋sin
x，则f(－2
017)＋f(－2
016)＋f(0)＋f(2
016)＋f(2
017)＝________.
答案：5
16．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
② x∈R，f＝f；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)．
则f(2
017)＝________.
解析：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2
017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.
答案：－2
17.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析　当x＞0时，由f(x)＝ln
x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案　(0，1]
18.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2
014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
答案　①②④
19.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解　(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
20.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
解　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故?
②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故??
故或
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).
21.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
解　(1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，
则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
22．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)解法一　设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，
即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.
故a的取值范围是(－∞，16]．
解法二　f′(x)＝2x－，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．
23．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＜0.
∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．
(3)由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得
f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
24．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函数，
y＝－是增函数，∴f(x)是增函数．
∵f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．专题10
数列、等差数列﹑等比数列
1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)
A．(2n－1)2　　　　　　　
B.
C．4n－1
D.
【答案】：D
【解析】：设Sn为{an}的前n项和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，a＝4n－1，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以a＋a＋…＋a＝＝.
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
【答案】：C
【解析】：
3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2
B．8
C．10
D．14
【答案】：B
【解析】：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.
4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　　)
A．29
B．210
C．211
D．212
【答案】：C
【解析】：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.
5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(　　)
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】：C
【解析】：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C.
6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(3n－1)
B.
C．n(n＋1)
D.
【答案】：C
【解析】：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.
7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】　A
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(　　)
A.－2或1
B.－1或2
C.－2
D.1
【答案】　C
【解析】　法一　若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，
显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.
若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，
不满足条件，故B错，因此选C.
法二　经检验q＝1不适合，
则由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得
q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N
，则S10的值为(　　)
A.－110
B.－90
C.90
D.110
【答案】　D
10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A.n(n＋1)
B.n(n－1)
C.
D.
【答案】　A
【解析】　由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).
11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】
D
【解析】
由等差数列的前n项和及等差中项，
可得＝
＝＝
＝＝
＝＝7＋
(n∈N
)，
故n＝1,2,3,5,11时，为整数.
即正整数n的个数是5.
12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
【答案】　8
【解析】　根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.
13.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.
【答案】　3
14.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1
(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【答案】　.－9
【解析】　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.
15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
【答案】
22
【解析】　根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1 ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.
16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________.
【答案】
an＝
17.若f(n)为n2＋1(n∈N
)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N
，则f2016(4)＝________.
【答案】
5
【解析】　因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，
则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，
f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，
f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，
所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列.
可得f2016(4)＝5.
18.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.
【答案】
an＝
【解析】　∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①
∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②
由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1
(n≥2).
又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.
∴an＝
19.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.
【答案】
an＝
20.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N
).
(1)
证明：1≤≤2(n∈N
)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N
).
【解析】证明　(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.
由0＜an≤得
＝＝∈(1,2]，
即1≤≤2成立.
(2)由题意得a＝an－an＋1，
所以Sn＝a1－an＋1，①
由－＝和1≤≤2得
1≤－≤2，
所以n≤－≤2n，
因此≤an＋1≤(n∈N
).②
由①②得≤≤(n∈N
).
21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和.
22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.
【解析】(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.
23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．
【解析】：(1)设数列{an}的公差为d.
因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，
所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，
所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．
所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．
所以bn－1＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝2n＋1.专题19
概率、随机变量及其分布列
1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为(　　)
A.　　　
B.　　
　　C.　　
　　D.
解析：所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P＝＝.
答案：C
2．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C·C·C·A＝144，故所求概率P＝＝，故选A.
答案：A
3．在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即答案：D
4．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A.
B．1－
C.
D．1－
解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.
答案：B
5.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：依题意，平均数＝＝22，故优秀工人只有2人，从中任取2人共有15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有9种，故至少有1名优秀工人的概率P＝＝，故选C.
答案：C
6．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
7．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为(　　)
A．0.4　　　　　　　　　　
B．1.2
C．0.43
D．0.6
解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
答案：B
8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.
答案：B
9．一个电路有两个电子元件串联而成，只有这两个元件同时正常工作，这个电路才能正常工作，已知元件甲能正常工作的概率是0.9，元件乙能正常工作的概率是0.95，则这个电路能正常工作的概率是(　　)
A．0.09
B．0.095
C．0.855
D．0.85
10．从装有6个黑球、4个白球(除颜色外均相同)的袋中随机抽取3个球，所得的白球个数记作随机变量X.则P(X＝2)＋P(X＝3)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由题知，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：C
11.如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，故P(N|M)＝＝.
答案：D
12．包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________．
解析：4个人的全排列种数为A，甲与乙、丙都相邻的排法有AA种，则所求概率为＝.
答案：
13．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC面积大于的概率为________．
解析：如图，△ABC面积为S，DE∥BC，并且＝，当点P在△ADE内部时，△PBC的面积超过，所以其概率P＝＝2＝.
答案：
14．在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的
长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为________．
解析：设AC＝x，则BC＝12－x(020，∴x2－12x＋20<0，解得2答案：
15．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.
答案：
16．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示：
x
0
1
2
P(ξ＝x)
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若随机变量ξ的均值为，则ξ的方差为________．
17．设在4次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率为，那么事件A在一次试验中发生的概率为________．
解析：设事件A在一次试验中发生的概率为p，则有1－C(1－p)4＝，所以(1－p)4＝，解得p＝.
答案：
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
解析：(1)甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．
所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝，P2＝，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝，
X的所有可能取值为0,1,2.依题意，X～B，
P(X＝k)＝Ck2－k，k＝0,1,2，
则X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值E(X)＝2×＝.
19．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：
AQI
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
20
15
(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
非供暖季
总计
100
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝，试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解析：(1)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝≈4.575.
因为4.575>3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
20．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．
解析：(1)由题意可知，样本容量n＝＝50，y＝＝0.004，
x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.
抽取2株的所有情况有21种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－＝.
21．对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
月收入(百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
月收入低于55百元人数
月收入不低于55百元人数
合计
赞成
a＝
b＝
不赞成
c＝
d＝
合计
(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．
参考值表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828专题13
空间中的平行与垂直
文
1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
【答案】：D
【解析】：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【答案】：B
3．如图所示，O为正方体ABCD
A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)
A．A1D
B．AA1
C．A1D1
D．A1C1
【答案】：D
【解析】：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1 面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.
4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
上述命题中，所有真命题的序号是(　　)
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】：A
【解析】：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.
5.如图，在三棱锥P ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
【答案】：B
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
【答案】：C
【解析】：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若m α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m
【答案】　C
8．以下命题中真命题的个数是(　　)
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，则a∥α；
④若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】　A
【解析】　①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面
α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．
9．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．直线AB与平面BEF所成的角为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【答案】　D
10．
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
① a∥b；② a∥b；
③ α∥β；④ α∥β；
⑤ α∥a；⑥ a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④
【答案】　C
【解析】　①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．
11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是(　　)
A．p∧(綈q)是真命题
B．(綈p)∨q是真命题
C．(綈p)∧q是假命题
D．p∨q是假命题
【答案】　B
【解析】　对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B.
12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是(　　)
A．①②
B．①②③
C．①
D．②③
【答案】　B
13.
如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】　B
【解析】　∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，
∴b⊥面ABC，
∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
14．在正三棱锥P ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
【答案】　①②
【解析】　如图，∵P ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC.
又∵DE∥AC，DE 平面PDE，
AC 平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
15．给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
④在三棱锥S ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．
其中，正确的命题是________(只填序号)．
【答案】　②④
16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【答案】　①③
【解析】　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，
如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．
17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①P∈a，P∈α a α；②a∩b＝P，b β a β；③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β Ρ∈b.
【答案】　③④
18．如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
【答案】　a
【解析】　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，
∴PQ∥AC.又∵AP＝，
∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E、F分别是棱DD1
、C1D1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；
(2)证明：B1F∥平面A1BE.
【解析】20．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．
(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；
(2)求证：B1E⊥AD1；
(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
(3)解　当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.
理由如下：
在AB1上取中点M，连接PM，ME.
因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，
所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.
又DE∥A1B1，且DE＝A1B1，
所以PM∥DE，且PM＝DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME.
又DP 平面B1AE，ME 平面B1AE，
所以DP∥平面B1AE.
此时，AP＝A1A＝1.
21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.
(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
(2)求三棱锥E－ABC的体积．
(2)解　连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，
故S△BCE＝×4×＝2，
所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.
22．如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
(1)求证：AD⊥平面PBE；
(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
(3)若VP BCDE＝2VQ ABCD，试求的值．
23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)证明：直线MN∥平面BDH；
(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．专题14
直线与圆
文
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　　　　　　
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】：B
【解析】：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞)
B．[，＋∞)
C．[，2)
D．[，2)
【答案】：C
3．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】：C
【解析】：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．
4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)
A.
B.
C．1
D．3
【答案】：A
【解析】：由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
5．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
【答案】：D
【解析】：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D.
6．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为(　　)
A．5π
B．9π
C．16π
D．25π
【答案】　D
【解析】　抛物线的准线方程为x＝－4，而圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5，故圆面积为25π.
7．过点(－2，0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为(　　)
A．2
B．3
C．2
D．6
【答案】　C
【解析】　l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0，0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.
8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)
A.＋y2＝
B.＋y2＝
C．x2＋＝
D．x2＋＝
【答案】　C
9．已知直线l过点O(0，0)和点P(cos
α，sin
α－4)，其中α≠kπ＋，k∈Z，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．[－，]
B．(－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【答案】　C
【解析】　动点P的轨迹为圆C：x2＋(y＋4)2＝2，但应除去圆与y轴的两个交点．当直线l与圆C相切时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx，由圆心C(0，－4)到直线l的距离等于半径，得＝，解得k＝±.利用数形结合，得直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．
10．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4
B．20
C．0
D．24
【答案】　A
11．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】　A
【解析】　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则
代入x＋y＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
12．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)
A．－6
B．－3
C．－3
D．3
【答案】　C
【解析】　两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，
即a2＋b2＝9.
由a2＋b2≥，
当且仅当“a＝b”时等号成立，
所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，
即|a＋b|≤3.
所以－3≤a＋b≤3.
故a＋b的最小值为－3.
13．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
【答案】　
14．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为______________________．
【答案】　x－3y＝0
【解析】　两条直线2x－3y＋3＝0，
x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，
所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.
15．已知两直线l1：x＋ysin
θ－1＝0和l2：2xsin
θ＋y＋1＝0，当l1⊥l2时，θ＝________.
【答案】　kπ(k∈Z)
【解析】　l1⊥l2的充要条件是2sin
θ＋sin
θ＝0，
即sin
θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，
∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.
16．一条直线l过点P(1，4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．
【答案】　4x＋y－8＝0
17．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
【答案】　x2＋(y－1)2＝10
【解析】　设所求圆的半径是r，依题意得，
抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，
则圆C的圆心坐标是(0，1)，
圆心到直线4x－3y－2＝0的距离
d＝＝1，则r2＝d2＋＝10，
故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
18．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
【答案】　
【解析】　作出可行域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为、－，得tan
α＝，tan
β＝－，tan
θ＝tan(α－β)＝＝1，得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．
19．已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．
【解析】
20．如图，椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A、B两点时，求证：·为定值．
【解析】
(2)证明　直线l垂直于x轴时与题意不符．
设l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，∴P点的坐标为.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，
直线AC的方程为y＝(x＋1)，
21．已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，求a为何值时，A∩B＝ .
【解析】
　集合A、B分别为平面xOy上的点集，
直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，
l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.
由
解得a＝±1.
①当a＝1时，显然有B＝ ，所以A∩B＝ ；
②当a＝－1时，集合A为直线y＝3(x≠2)，集合B为直线y＝－，两直线平行，所以A∩B＝ ；
③由l1可知(2，3) A，当(2，3)∈B时，
即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0，
可得a＝或a＝－4，此时A∩B＝ .
综上所述，当a＝－4，－1，1，时，A∩B＝ .
22．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．
【解析】　
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有AC＝2eq
\r(4－d)，BD＝2eq
\r(4－d)，
所以AC＋BD＝2eq
\r(4－d)＋2eq
\r(4－d).
则(AC＋BD)2＝4(4－d＋4－d＋2eq
\r(4－d)eq
\r(4－d))
＝4[5＋2eq
\r(16－4（d＋d）＋dd)]
＝4(5＋2eq
\r(4＋dd))．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，
所以eq
\r(4＋dd)≤，
所以(AC＋BD)2≤4×＝40.
所以AC＋BD≤2，
即AC＋BD的最大值为2.
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
24.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
【解析】：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝，所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
25．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线x－y＋4＝0截得的弦长为2.
(1)求圆O的方程；
(2)若斜率为2的直线l与圆O相交于A，B两点，且点D(－1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线l在y轴上的截距的取值范围．专题09
三角恒等变换与解三角形
1．已知α∈，sin
α＝，则tan＝(　　)
A．－　　　　　　　　
B．
C．
D．－
解析：因为α∈，所以cos
α＝－，所以tan
α＝－，所以tan＝＝＝，故选C.
答案：C
2．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos
A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(　　)
A．2　　　
B.
C．3　　　　D.
解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos
A a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)× a＝2，故选A.
答案：A
3．已知α∈，tan＝，那么sin
2α＋cos
2α的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.3
B.
C.
D.3
解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.
∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得
ab＝6，∴S△ABC＝absin
C＝×6×＝，故选C.
答案　C
5.已知tan
β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin
α的值为(　　)
A.
B.
C.
D.或
答案　A
6.若△ABC的内角满足sin
A＋sin
B＝2sin
C，则cos
C的最小值是________.
解析　∵sin
A＋sin
B＝2sin
C.
由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，
cos
C＝＝
＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.
∴cos
C的最小值为.
答案　
7.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.
答案　400
8．已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值是________．
解析：因为S＝a2－(b－c)2，所以bcsin
A＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，所以bcsin
A＝2bc－2bccos
A，又sin2
A＋cos2
A＝1，所以sin
A＝4(1－cos
A)，所以sin
A＝，所以S＝bcsin
A＝bc≤2＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝2cos2
＋sin
x.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；
(2)若tan
＝，求f(α)的值．
解析：(1)f(x)＝1＋cos
x＋sin
x
＝2cos＋1，
所以当cos＝1，即x－＝2kπ，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，
此时相应的x的取值集合为
.
(2)f(α)＝2cos2
＋2sin
cos
＝
＝＝.
10．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos
∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)因为AD⊥AC，cos
∠BAC＝－，
所以sin
∠BAC＝.
又sin
∠BAC＝sin＝cos
∠BAD＝，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos
∠BAD，
即AD2－8AD＋15＝0，
解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，
所以AD＝3.
(2)在△ABD中，＝，
又由cos
∠BAD＝得sin
∠BAD＝，所以sin
∠ADB＝，则sin
∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin
∠ADB＝.
因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos
∠C＝.
在Rt△ADC中，cos
∠C＝，则tan
∠C＝＝＝，
所以AC＝3，
则△ABC的面积S＝AB·AC·sin
∠BAC＝×3×3×＝6.
11.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin
B＝bcos
C＝3.
(1)求b；
(2)若△ABC的面积为，求c.
解　(1)由正弦定理得：sin
Csin
B＝sin
Bcos
C.
又sin
B≠0，所以sin
C＝cos
C，∴C＝45°.
又bcos
C＝3，所以b＝3.
(2)因为S△ABC＝acsin
B＝，csin
B＝3，所以a＝7，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝25.所以c＝5.
12．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求f()＋g()的值；
(2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．
解　(1)因为g(x)＝2sin[(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)，
所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1.
(2)因为g(x)＝2sin(x＋)，
所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值．
因为x＝B时g(x)取得最大值，
又B∈(0，π)，所以B＝.
而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4，
所以b≥2.又b所以b的取值范围是[2,4)．
13．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．
解　(1)f(x)＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－)－，因为函数f(x)的周期为T＝＝，
所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－，
易得f(A)＝sin(3A－)－.
因为sinB，sinA，sinC成等比数列，
所以sin2A＝sinBsinC，
所以a2＝bc，
所以cosA＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，
因为0所以0所以－<3A－≤，
所以－所以－1所以函数f(A)的值域为(－1，]．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.
(1)求cosC的值；
(2)若a＝5，求△ABC的面积．
(2)由(1)可得sinC＝＝，
在△ABC中，由正弦定理＝＝，
得c＝＝8，
∴S＝acsinB＝×5×8×＝10.
15.已知向量m＝(cosx，－1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和△ABC的面积.
解　(1)f(x)＝(m＋n)·m
＝cos2x＋sinxcosx＋
＝＋sin2x＋
＝cos2x＋sin2x＋2
＝sin＋2.
因为ω＝2，所以最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋2，
当x∈时，≤2x＋≤.
由正弦函数图象可知，当2x＋＝时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，
所以2A＋＝，A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
得1＝b2＋3－2××b×cos，
所以b＝1或b＝2，经检验均符合题意.
从而当b＝1时，△ABC的面积
S＝××1×sin＝；
当b＝2时，△ABC的面积
S＝××2×sin＝.
16.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝，AB＝a，BC＝a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.
(1)若θ＝时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；
(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.
解　(1)由∠B＝，AB＝a，BC＝a，
所以∠BAC＝.
设MA＝MA′＝xa(0所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝＝，
所以x＝.
由于△AMN为等边三角形，
所以绿地的面积
S＝2××a×a×sin＝a2.
2sinθsin＝sin2θ＋sinθcosθ
＝＋sin2θ－cos2θ＝＋sin(2θ－)，
因为<θ<，所以<2θ－<，
所以当且仅当2θ－＝，即θ＝时，
AN的值最小，且AN＝a，此时绿地公共走道的长度MN＝a.专题04
算法、推理证明、排列、组合与二项式定理
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种　　　　　　　　　
B．63种
C．65种
D．66种
解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66种．
答案：D
2．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
解析：Tr＋1＝C()24－rr＝Cx，
故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
答案：C
3．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为(　　)
A．12
B．24
C．36
D．48
4．
5的展开式中x－1的系数为(　　)
A．10
B．20
C．40
D．80
解析：由通项公式得展开式中x－1的系数为C·2＝10.
答案：A
5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有(　　)
A．34种
B．48种
C．96种
D．144种
解析：由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A＝2种结果．困为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA＝48种结果，根据分步乘法计数原理可知共有2×48＝96种结果，故选C.
答案：C
6．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：由通项公式可得展开式中含x4的项为T8＋1＝Cx4＝x4，故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1，故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.
答案：B
7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是(　　)
A．216
B．420
C．720
D．1
080
解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1
080(种)．
答案：D
8．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　)
A．－5
B．5
C．90
D．180
解析：∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22＝180.
答案：D
9．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
答案：A
10．使n(n∈N
)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
11．执行如图所示的程序框图，若输入的x＝8，则输出的y值为(　　)
A.
B.
C.
D．3
【答案】A　
【解析】第一次循环，x＝8，y＝3，|y－x|>3；第二次循环，x＝3，y＝，|y－x|<3，结束循环．所以输出的y＝.
12．执行如图所示的程序框图，若输入a＝3，则输出i的值是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
　　　
【答案】C　
【解析】第一次循环，a＝9，i＝1；第二次循环，a＝21，i＝2；
第三次循环，a＝45，i＝3；第四次循环，a＝93，i＝4，结束循环，故输出i的值是4.
13．执行如图所示的程序框图，若输出结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　)
A．k>8
B．k≤8
C．k<8
D．k＝9
【答案】A　
【解析】第一次循环，S＝11，k＝9；第二次循环，S＝20，k＝8.因为输出的S＝20，所以程序应在k＝8时结束循环，故判断框内应填入的条件为“k>8？”．
14．某程序框图如图所示，若输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为(　　)
A．3
B．
4
C．5
D．6
【答案】B　
【解析】依题意，循环的结果依次为：S＝0＋1＋1＝2，n＝1；S＝2＋2＋1＝5，n＝2；S＝5＋4＋1＝10，n＝3；S＝10＋8＋1＝19，n＝4.因为输出的S的值不大于20，所以输入的整数i的最大值为4.
15．执行如图所示的程序框图，若m＝4，则输出的结果是(　　)
A．1
B.
C．2
D.
　
【答案】D　
16．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　)
A．1或－3
B．－1或3
C．1
D．－3
【答案】A　
【解析】令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
17．将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，志愿者A不能去甲工作站，志愿者B只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种．
解析：先安排甲工作站，方法数为C＝6，再安排乙工作站，方法数为C＝3，余下一人去丙工作站，方法数是1，故总的分配方法有6×3＝18(种)．
答案：18
18．在二项式n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项的值为________．
解析：由题知，4n＋2n＝72，即2n(2n＋1)＝8×9，解得n＝3.故二项展开式的通项公式为
Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx，当r＝1时为常数项，所以常数项为3C＝9.
答案：9
19．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和1、2、3、4、5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________．
20．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与
轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：
(1)打满3局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
解析：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.
(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝，
P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝，
P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝.
故ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
6
P
从而E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
21．某市居民用水原价为2.25元/立方米，从2010年1月1日起实行阶梯式计价：
级数
计算水费的用水量/立方米
单价/(元/立方米)
1
不超过20立方米
1.8
2
超过20立方米至30立方米
2.4
3
超过30立方米
p
其中p是用水总量的一次函数，已知用水总量为40立方米时p＝3.0元/立方米，用水总量为50立方米时p＝3.5元/立方米．
(1)写出水价调整后居民每月水费额与用水量的函数关系式．每月用水量在什么范围内，水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加？
(2)用一个流程图描述水价调整后计算水费的主要步骤．
用水量30立方米时，水价调整前水费为2.25×30＝67.5(元)，水价调整后水费为f(30)＝60(元)，水价调整前水费更高．设用水量为x(x＞30)立方米时，水价调整后水费更高，依题意得0.05x2－0.5x＋30＞2.25x，解得x＞40或x＜15(舍去)，即每月用水量超过40立方米时，水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加．
(2)流程图是：专题11
数列求和及数列的简单应用
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N
)，则a2
017＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．0
C．－1
D．2
解析：∵an＋1＝(an－1)2，又a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴数列{an}的奇数项为1，∴a2
017＝1，故选A.
答案：A
2．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N
)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是(　　)
A．S6
B．S5
C．S4
D．S3
解析：Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝log2(a1a2…an)＝log2＝log22＝－2n2＋12n＝－2(n－3)2＋18.∴当n＝3时，Sn最大，即S3最大．故选D.
答案：D
3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N
)，则a2
017的值为(　　)
A．4
033
B．4
029
C．4
249
D．4
209
解析：根据题意，不妨设f(x)＝x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2
017＝4
033.
答案：A
4．等差数列{an}中的a4，a2
016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1
010＝(　　)
A.
B．2
C．－2
D．－
解析：因为f′(x)＝3x2－12x＋4，而a4和a2
016为函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，所以a4和a2
016为f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2
016＝4，又a4，a1
010，a2
016成等差数列，所以2a1
010＝a4＋a2
016，即a1
010＝2，所以loga1
010＝－，故选D.
答案：D
5．已知数列{an}满足···…·＝(n∈N
)，则a10＝(　　)
A．e26
B．e29
C．e32
D．e35
答案：C
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由S15＝＝15a8>0，得a8>0.由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正．所以<0，<0，…，<0.又0a2>…>a8>0，所以0<<<…<.所以最大的项为，故选D.
答案：D
7．数列{an}满足：a1
＝1，且对任意的m，n∈N
都有：
am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　法一　因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项an＝，
∴＝＝2，
∴＋＋＋…＋＝
2
＝2＝.故选D.
法二　令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，
用叠加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，
所以＝＝2.
于是＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝，故选D.
答案　D
8．设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)
A．11个
B．12个
C．15个
D．25个
解析　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.
答案　A
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝(　　)
A．1
300
B．2
600
C．0
D．2
602
解析　原问题可转化为当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2.进而转化为当n为奇数时，为常数列{1}；当n为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S100＝S奇＋S偶＝50×1＋(50×2＋×2)＝2
600.
答案　B
10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N
)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N
)，an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－.则数列{an}的前n项和的取值范围是.
答案　C
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　设bn＝nSn＋(n＋2)an，有b1＝4，b2＝8，则bn＝4n，
即bn＝nSn＋(n＋2)an＝4n，
当n≥2时，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，
所以an＝an－1，
即2·＝，
所以是以为公比，1为首项的等比数列，
所以＝，an＝.故选A.
答案　A
12．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x))的前n项和等于，则n＝(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
答案　A
13.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N
，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
解析　(1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，
则S3＝S2＋a3＝a3＝－.
(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－，
又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，
故S1＋S2＋…＋S100＝.
答案　(1)－　(2)
14．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N
，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列的最大项的值为
．
解析　依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；又a1＝1，因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N
，即n＝2时取等号，因此数列的最大项的值是.
答案　
15．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)令bn＝nan，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)由已知，得
解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或.由题意得q>1，所以q＝2.则a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝n·2n－1，n＝1，2，…，
则Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，
所以2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n
＝2n－n×2n－1，
即Tn＝(n－1)2n＋1.
16．已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N
)，求{cn}的前n项和Tn.
解　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12，
S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，
则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12，
即3d2－2d－21＝0，
(3d＋7)(d－3)＝0.
∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，
∴d＝3，q＝2，an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知cn＝Sncos
3nπ
＝
①当n是偶数时，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝6＋12＋18＋…＋3n＝.
②当n是奇数时，
Tn＝Tn－1－Sn
＝－n2－n
＝－(n＋1)2.综上可得，
Tn＝
17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.
(1)求证：{lgan}是等差数列；
(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；
(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N
恒成立的整数m的取值集合．
(2)解　由(1)知，Tn＝
3
＝3
＝3－.
(3)解　∵Tn＝3－，
∴当n＝1时，Tn取最小值.
依题意有>(m2－5m)，解得－1故所求整数m的取值集合为
{0，1，2，3，4，5}．
18.已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和.
解　(1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，
当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，
当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，
两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴＝2，所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，
即an＝×2n－1＝2n－2.
(2)∵bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝(log222n＋1－2)×(log222n＋3－2)＝(2n－1)(2n＋1)，
∴＝×＝，
∴数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋
＝
＝＝.
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋.
解析：(1)当n＝1时，a1＝a1－1，∴a1＝2，
当n≥2时，∵Sn＝an－1，①
Sn－1＝an－1－1(n≥2)，②
①－②得：an＝－，即an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
(2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1，
∴＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝.
20．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a3＝5，S8＝64.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)由已知得，
解得.
∴数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)·2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，②
①－②得
－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1
＝－6－(2n－3)×2n＋1，
∴Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.
21．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有，即，
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去；
当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.
故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N
)．
(2)因为bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n，
所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n＋1－2－n－n2.
因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
因为n∈N
，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.专题22
分类与整合思想、化归与转化思想
1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A.1
B.－
C.1或－
D.－1或
解析　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.
答案　C
2.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案　B
3.已知函数f(x)＝ln
x－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是(　　)
A.
B.(1，＋∞)
C.
D.
解析　依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，
f(x)＝ln
x－x＋－1，
所以f′(x)＝－－＝.
由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－.
函数g(x2)＝－x＋2bx2－4，x2∈[1，2].
当b＜1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；
当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；
当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组得b＜1，
解第二个不等式组得1≤b≤，
第三个不等式组无解.
综上所述，b的取值范围是.故选A.
答案　A
4．定义函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝lg
x，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg
x在[10，100]上的均值为(　　)
A.
B.
C.
D．10
【答案】A　
【解析】由题意可知x1x2＝1000，所以x2＝∈[10，100]，所以函数f(x)＝lg
x在[10，100]上的均值为＝＝＝.
5．已知g(x)＝ax＋a，f(x)＝对 x1∈[－2，2]， x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[－1，1]
C．(0，1]
D．(－∞，1]
【答案】B　
【解析】对 x1∈[－2，2]， x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．
当a>0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[－a，3a]，由[－a，3a] [－3，3]，得－a≥－3且3a≤3，得a≤1，此时06．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值时的点}，则T中的点最多能确定的三角形的个数为(　　)
A．15
B．25
C．28
D．32
【答案】B　
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin
2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.
B.
C.
D.或
【答案】B　【解析】在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，
∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin
2A，∴sin
C＋sin(－2A)＝2sin
2A，
∴sin(2A－)＝sin
C＝，∴sin(2A－)＝，
又A∈(0，)，∴A＝或A＝.
当A＝时，B＝，tan
C＝＝＝，解得a＝，
∴S△ABC＝ac＝××＝.
当A＝时，B＝，同理可得S△ABC＝.故选B.
8．已知a∈R，则函数f(x)＝acos
ax的图像不可能是(　　)
【答案】D　
【解析】若a＝0，则f(x)＝0，故可以是选项A中的图像；若02π，对于C，D两个选项的图像，选项D中图像的最小正周期小于2π，故f(x)的图像不可能是选项D中的图像．
9．已知α为钝角，且cos(＋α)＝－，则sin
2α＝________．
【答案】－　
【解析】cos(＋α)＝－，即sin
α＝，又α为钝角，∴cos
α＝－，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝－.
10．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm2.
【答案】14π　
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A

BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r＝，故外接球的表面积为14π.
11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
【答案】　
12．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，CA＝1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP为半径的球的表面积为________．
【答案】　
【解析】如图所示，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．
设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x＋y＝a(0则P(m，a－m)，0故S△DEP＋S△GFP＋S△HIP＝(a－m)2＋m2＋(1－a)2＝m2－am＋a2－a＋＝(m－)2＋a2－a＋≥a2－a＋＝(a－)2＋，所以当a＝，m＝时，三个三角形面积之和最小，此时P(，)，CP＝，所以以CP为半径的球的表面积为π.
13．若实数x，y满足4x2＋2x＋y2＋y＝0，则2x＋y的取值范围是________．
【答案】[－2，0]　
14．如图所示，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，PA＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝，PB＝，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM＝3MC.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角M

BQ

C的大小．
【解析】(1)证明：连接PQ.因为四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以QB＝CD＝.
因为△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，所以PQ⊥AD，PQ＝.
在△PQB中，QB＝PQ＝，PB＝，
所以PQ2＋BQ2＝PB2，所以PQ⊥BQ.
因为AD∩BQ＝Q，AD，BQ 平面ABCD；
所以PQ⊥平面ABCD.
因为PQ 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PQ⊥AD，PQ⊥BQ.
又QD∥BC，
∠ADC＝90°，所以BQ⊥AD.
如图所示，以Q为原点，QA，QB，QP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则Q(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．
易知平面BQC的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设M(x，y，z)，则＝(x，y，z－)，＝(－1－x，－y，－z)．
因为＝3，
所以所以所以M(－，，)，
则＝(0，，0)，＝(－，，)．
设平面MBQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即
令x1＝1，得z1＝，所以m＝(1，0，)，
所以|cos〈m，n〉|＝||＝，
所以二面角M

BQ

C的大小为30°.
15．如图所示，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：＋＝1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为.
(1)求抛物线C1的方程．
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)因为△OAB的面积为，|OA|＝4，所以yB＝，
代入椭圆方程得B(，)，
所以抛物线的方程是y2＝8x.
(2)假设存在直线l符合条件，显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x＝my＋4，
将其代入y2＝8x，得y2－8my－32＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1·y2＝－32，
所以＝＝＝＝.
由直线OC的斜率为＝，故直线OC的方程为y＝x，与＋＝1联立得y2(eq
\f(y,64×16)＋)＝1，所以y(eq
\f(y,64×16)＋)＝1，同理y(eq
\f(y,64×16)＋)＝1，
所以y·y(eq
\f(y,64×16)＋)(eq
\f(y,64×16)＋)＝1.
可得y·y＝，
要使＝，只需＝，
即121＋48m2＝49×121，解得m＝±11，
所以存在直线l：x±11y－4＝0符合条件．
16．已知函数f(x)＝x－1－aln
x(a>0)．
(1)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合；
(2)证明：(1＋)n，e为自然对数的底数)
【解析】(1)易知f′(x)＝1－＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，得x＝a，所以当0a时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)，
所以f(x)min＝f(a)＝a－1－aln
a．由题意得f(x)min≥0，即a－1－aln
a≥0.
令g(a)＝a－1－aln
a，可得g′(a)＝－ln
a，因此g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(a)max＝g(1)＝0，故当a－1－aln
a≥0时，a＝1，
故实数a的取值集合为{1}．
17.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an＋1－an}为常数列，
所以{an}是以a1为首项的等差数列，
设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，
所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.
(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.
所以当n＞5时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，
Tn＝a1＋a2＋…＋an，
当n≤5时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.
所以Sn＝
18.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性.
解　(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，
所以f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
19.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.
(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1).
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，
所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝m2－＋＋k2
＝
＝
＝(4m2－8m＋1)＋.
要使·为定值，令2m－＝0，
即m＝，此时·＝.
当直线l的斜率不存在时，
不妨取P，Q，
由E，可得＝，＝，
所以·＝－＝.
综上，存在点E，使·为定值.专题02
平面向量与复数
1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋　　　　
B.＋
C.＋
D.＋
解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.
答案：B
2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)
A．－
B.
C．－2
D．2
解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.
答案：C
3.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则·(－)＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
4．设向量a＝(cos
α，－1)，b＝(2，sin
α)，若a⊥b，则tan＝(　　)
A．－
B.
C．－1
D．0
解析：由已知可得，a·b＝2cos
α－sin
α＝0，∴tan
α＝2，tan＝＝，故选B.
答案：B
5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)·(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D．1
答案：D
6．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z2
016＝(　　)
A．21
008
B．21
008i
C．－21
008
D．－21
008i
解析：由＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2
016＝(z2)1
008＝(－2i)1
008＝21
008×i1
008＝21
008×(i4)252＝21
008.故选A.
答案：A
7．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是
、，则复数的值是（
）
A．﹣1+2i
B．﹣2﹣2i
C．1+2i
D．1﹣2i
【答案】A
8．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
9．复数满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A.
【解析】由题意得，，∴，故选A．
10.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)
A.4
B.6
C.1
D.2
解析　由条件可得B(3，1)，A(2，0)，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
答案　B
11.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
答案　A
12.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.
13.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.
由题意知：A(3，0)，B(0，3)，
设M(x，y)，由＝2，
得解得
即M点坐标为(2，1)，
所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.
法二　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
答案　3
14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).
15.已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.
解　(1)a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x，
|a＋b|＝
＝＝2，
因为x∈，所以cos
x≥0，
所以|a＋b|＝2cos
x.
(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos
2x－4λcos
x，
即f(x)＝2(cos
x－λ)2－1－2λ2.
因为x∈，所以0≤cos
x≤1.
①当λ＜0时，当且仅当cos
x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos
x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；
③当λ＞1时，当且仅当cos
x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.
16．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ），
，即，解得，又，
，；
（Ⅱ）则，，
又复数
对应的点在第四象限，得，.
17．已知平面上三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为，所以设，，，所以或．
（2）因为，所以，，所以．
18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设，且，求k的值；
②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．
【答案】（1）（2）①②
【解析】
解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，
因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有，
所以．
因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．
所以椭圆C的方程为．
（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．
由解得，
①∵，∴（k=0舍去）．
②∵，
（当且仅当时取等号），
∴S△AOD的最大值为．
19．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；
(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos
∠BAC的值．
(2)设AC的中点为D，连接OD(图略)，
∵＝x＋y＝x＋2y，
又x＋2y＝1，∴O，B，D三点共线．
由O为△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，
在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝AC＝2，所以cos
∠BAC＝＝.
20．已知向量a＝(1，sin
ωx)，b＝(cos2
ωx－1，cos
ωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在上的单调区间．
20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量m＝(cos
B，cos
C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的取值范围．
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
120°＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，
∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2，
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．专题06
函数与方程﹑函数模型及其应用
文
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是(　　)
A．(，1)
B．(1，e－1)
C．(e－1,2)
D．(2，e)
【答案】B　
【解析】因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内．
2．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(　　)
A．1B．2C．3D．4
【答案】C　
【解析】f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝()x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点有3个．
3．函数f(x)＝的所有零点的和等于(　　)
A．－2B．－1C．0D．1
【答案】C　
【解析】令()x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.
4．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a等于(　　)
A.或－
B．－
C.
D．以上都不对
【答案】C　
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝若关于x的方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(，)
B．(，)
C．(16－6，)
D．(，8－2)
【答案】D
【解析】f(x)是周期为4的周期函数．做出y＝f(x)和y＝ax的图象，由图可知，要使方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，即y＝f(x)和y＝ax的图象有5个交点．由图可知，当x∈(3,5)时，f(x)＝－(x－4)2＋1，此时若y＝ax与其相切，则a＝8－2；又方程f(x)＝ax在(5,6)无解，得a>，故正实数a的取值范围是(，8－2)，选D.
6．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.如果函数g(x)＝f(x)－(x＋m)有两个零点，则实数m的值为(　　)
A．2k(k∈Z)
B．2k或2k＋(k∈Z)
C．0
D．2k或2k－(k∈Z)
【答案】D　
7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．
【答案】10　
【解析】由题意可知x年的维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备．
8．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
【答案】
4
【解析】由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
9．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
(0,1]
10．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．
【答案】m>1
【解析】函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．
∵＝m|x| ＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，故m>1.
11．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．
【答案】4
【解析】当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x＝－3或x＝；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f(x)＋1]有4个不同的零点．
12．已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
【答案】4
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】画出f(x)＝的图象，如图．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
结合图象得：0即m∈(0,1)．
14．已知函数f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零点分别为x1，x2，则x1＋x2的值为________．
【答案】2
15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
【答案】
20
【解析】如图，
过A作AH⊥BC交于点H，交DE于点F，易知＝＝＝ AF＝x FH＝40－x，则S＝x(40－x)≤()2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号，所以满足题意的边长x为20m.
16．已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．
17．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
【解析】解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，
所以0又140<2a<420，即70①当0②当a－70>，即140故当70当140圆锥曲线中的热点问题
1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C．(0,1)
D.
解析：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n＝m－n，n＝－1，∴e＝＝＝∈.
答案：A
2．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而k＝，k＝，所以k·k＝＝－.又k∈[－2，－1]，所以k∈.
答案：B
3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为(　　)
A．2p
B.p
C．2p2
D.p2
4．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(
)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(
)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得0答案：B
5．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(2,1＋)
D．(1,1＋)
解析：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则0 e2－e－2<0 －11，则1答案：B
6．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)
B．(0,2)
C．[2，3)
D．(0,4]
答案：B
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义有c>a，故离心率e＝∈(1,3]．
答案：(1,3]
8．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
9．设抛物线y2＝6x的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线为MN，垂足为N，则的最大值为________．
解析：过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，设|AF|＝a，|BF|＝b，如图，根据递形中位线性质知|MN|＝.在△AFB中，由余弦定理得
|AB|2＝a2＋b2－2abcos
60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32
＝.所以|AB|≥，∴≤1.
答案：1
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．
解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：，
解得：a＝，c＝，∴b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，
Δ＝12k2－12，
∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，
|AB|＝·＝，
∴，
解得：k4≥13，即k≥或k≤－.
11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．
(2)∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
∴直线l的斜率必存在且为负．
设直线l的方程为：y＝kx＋m(k<0)，
联立，消去y整理可得：
x2＋2kmx＋m2－1＝0，①
根据题意可得方程①只有一实根，
∴Δ＝(2km)2－4(m2－1)＝0，
整理得：m2＝4k2＋1.②
∵直线l与两坐标轴的交点分别为，(0，m)且k<0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝·，③
将②代入③可得：S＝－2k＋≥2
，
∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.
12．如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
解析：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，
∴－b＝－2，解得b＝2.
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2.
可得椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，
直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，
联立，
化为(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝.
同理可得：x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
kAB＝＝＝.
∴直线AB的斜率为定值.
13．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.
∵2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4(1＋k2)＝4×＝5，
解得k＝±，
k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.
14.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
解析：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0，
将A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.
15.已知抛物线y2＝2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
②过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解析：(1)由已知得3＋＝4 p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，
代入可解得t＝±2.
②由①得|AB|＝|y2－y1|
＝·，
同理得|CD|＝
|y2－y1|
＝
·，
则四边形ACBD面积
S＝|AB|·|CD|
＝
···
＝8.
令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝8是关于μ的增函数，故Smin＝96，当且仅当m＝±1时取到最小值96.专题11
数列求和及数列的简单应用
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N
)，则a2
017＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．0
C．－1
D．2
【答案】：A
【解析】：∵an＋1＝(an－1)2，又a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴数列{an}的奇数项为1，∴a2
017＝1，故选A.
2．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N
)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是(　　)
A．S6
B．S5
C．S4
D．S3
【答案】：D
3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N
)，则a2
017的值为(　　)
A．4
033
B．4
029
C．4
249
D．4
209
【答案】：A
【解析】：根据题意，不妨设f(x)＝x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2
017＝4
033.
4．等差数列{an}中的a4，a2
016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1
010＝(　　)
A.
B．2
C．－2
D．－
【答案】：D
【解析】：因为f′(x)＝3x2－12x＋4，而a4和a2
016为函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，所以a4和a2
016为f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2
016＝4，又a4，a1
010，a2
016成等差数列，所以2a1
010＝a4＋a2
016，即a1
010＝2，所以loga1
010＝－，故选D.
5．已知数列{an}满足···…·＝(n∈N
)，则a10＝(　　)
A．e26
B．e29
C．e32
D．e35
【答案】：C
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：由S15＝＝15a8>0，得a8>0.由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正．所以<0，<0，…，<0.又0a2>…>a8>0，所以0<<<…<.所以最大的项为，故选D.
7．数列{an}满足：a1
＝1，且对任意的m，n∈N
都有：
am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　D
【解析】　法一　因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项an＝，
∴＝＝2，
∴＋＋＋…＋＝
2
＝2＝.故选D.
法二　令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，
用叠加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，
所以＝＝2.
于是＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝，故选D.
8．设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)
A．11个
B．12个
C．15个
D．25个
【答案】　A
【解析】　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝(　　)
A．1
300
B．2
600
C．0
D．2
602
【答案】　B
10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N
)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　C
【解析】　f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N
)，an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－.则数列{an}的前n项和的取值范围是.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　A
12．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x))的前n项和等于，则n＝(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】　A
【解析】　令h(x)＝＝ax，
∵h′(x)＝<0，
∴h(x)在R上为减函数，∴013.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N
，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
【答案】　(1)－　(2)
14．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N
，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列的最大项的值为
．
【答案】　
【解析】　依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；又a1＝1，因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N
，即n＝2时取等号，因此数列的最大项的值是.
15．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)令bn＝nan，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】　(1)由已知，得
解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或.由题意得q>1，所以q＝2.则a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
16．已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N
)，求{cn}的前n项和Tn.
【解析】　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12，
S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，
则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12，
即3d2－2d－21＝0，
(3d＋7)(d－3)＝0.
∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，
∴d＝3，q＝2，an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知cn＝Sncos
3nπ
＝
①当n是偶数时，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝6＋12＋18＋…＋3n＝.
②当n是奇数时，
Tn＝Tn－1－Sn
＝－n2－n
＝－(n＋1)2.综上可得，
Tn＝
17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.
(1)求证：{lgan}是等差数列；
(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；
(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N
恒成立的整数m的取值集合．
(2)解　由(1)知，Tn＝
3
＝3
＝3－.
(3)解　∵Tn＝3－，
∴当n＝1时，Tn取最小值.
依题意有>
(m2－5m)，解得－1故所求整数m的取值集合为
{0，1，2，3，4，5}．
18.已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和.
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋.
【解析】：(1)当n＝1时，a1＝a1－1，∴a1＝2，
当n≥2时，∵Sn＝an－1，①
Sn－1＝an－1－1(n≥2)，②
①－②得：an＝－，即an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
(2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1，
∴＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝.
20．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a3＝5，S8＝64.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
【解析】：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有，即，
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
因为n∈N
，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.专题03
不等式与线性规划
文
1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是(　　)
A.＜　　　　　　
B.＞0
C.<
D.＜0
【答案】：C
【解析】：∵c0，∴<，>0，<0，
但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
【答案】：A
【解析】：依题意，－与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，则即又a<0，不等式x2－bx－a<0可化为x2－x－1>0，即－x2＋x－1>0，解得23．若正数x，y满足x＋y＝1，且＋≥4对任意的x，y∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4]
B．[4，＋∞)
C．(0,1]
D．[1，＋∞)
【答案】：D
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为(　　)
【答案】：B
5．设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6
B．4
C．2
D．2
【答案】：B
【解析】：2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当2a＝2b，a＋b＝3，即a＝b＝时，等号成立．故选B.
6．已知实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z＝的取值范围为[kMA,1)，即.
7．设a，b为实数，则“a<或b<”是“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】：D
【解析】：充分条件可举反例，令a＝b＝－10，此时a<，b<，但ab＝100>1，所以“a<或b<”不是“00，b>0，则a<或b<；若a<0，b<0，则a>或b>.所以“a<或b<”不是“08．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(　　)
A．－3
B．2
C．3
D．8
【答案】：C
9．若x，y满足约束条件，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,2]
B．(－4,2)
C．[－4,1]
D．(－4,1)
【答案】：B
【解析】：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－410．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.
B.
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
【答案】：A
11．设x，y满足约束条件，则的取值范围是(　　)
A．[1,5]
B．[2,6]
C．[2,10]
D．[3,11]
【答案】：D
【解析】：设z＝＝＝1＋2·，设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z′∈[kDA，kDB]，易得z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．
12．已知函数f(x)＝，若x1>0，x2>0，且f(x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)的最小值为(　　)
A．
B．
C．2
D．4
【答案】：B
【解析】：由题意得f(x)＝＝1－，由f(x1)＋f(x2)＝1得2－－＝1，化简得4－3＝4＋4≥2×2，解得2x1＋x2≥3，所以f(x1＋x2)＝1－≥1－＝.故选B.
13．已知a，b都是正实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值是________．
【答案】：8
【解析】：＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，“＝”成立，故＋的最小值是8.
14．对于实数x，当且仅当n≤x时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集是________．
【答案】：[2,8)
【解析】：由4[x]2－36[x]＋45<0得<[x]<，又当且仅当n≤x时，[x]＝n，所以所求解集是[2,8)．
15．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
【答案】：(－∞，4)
16．设不等式组所表示的平面区域为D，则可行域D的面积为________．
【答案】：
【解析】：如图，画出可行域．易得A，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域D的面积为×2×＝.
1.若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是(　　)
A.3
B.4
C.7
D.12
【答案】　A
【解析】　因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，
所以m，n∈R＋，且＋＝1，
所以·≤()2，
所以·≤＝，即mn≤3，所以mn的最大值为3.
2.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】　B
3.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为(　　)
A.[e，4)
B.[e，＋∞)
C.[1，3)
D.[2，＋∞)
【答案】　B
【解析】　如图：点(1，e)满足ax－y≥0，即a≥e.
4.若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________.
【答案】　－
【解析】　如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－.
5.已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
【答案】　6
6.已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.
【解析】　(1)f(x)＞k?kx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.
7.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
8.已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.
(1)证明：a＞0；
(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围.
(2)解　在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于
即化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：
2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).
z在这三点的值依次为，6，8.
所以z的取值范围为.
9．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1＜0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】：当a2－4＝0时，
a＝±2，
当a＝－2时，解集为R；
当a＝2时，解集为，不符合题意；
当a2－4≠0时，要使解集为R，必须
解得－2＜a＜.
综上所述，实数a的取值范围是.
10．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g(x)的【解析】式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|.
11．若当a∈[1，3]时，不等式ax2＋(a－2)x－2＞0恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】：设f(a)＝a(x2＋x)－2x－2，则当a∈[1，3]时f(a)＞0恒成立．
得x＞2或x＜－1.
∴实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
12．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
【解析】：
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤.故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.
所以f(x)≤1的解集为M＝.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得－≤x≤，N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，故x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x(1－x)＝－≤.
13．若对一切x＞2均有不等式x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
14．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4
200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．
(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值．专题07
导数及其应用
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是(　　)
解析：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.
答案：D
2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A.e2
B．4e2
C．2e2
D．e2
解析：∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
答案：D
3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．
(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案：D
4．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)
A．2b－
B．b－
C．0
D．b2－b3
5．函数f(x)＝2x－ln
x的单调递增区间是________．
解析：函数f(x)＝2x－ln
x的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2－≥0，解得x≥，所以函数f(x)＝2x－ln
x的单调递增区间为.
答案：
6．已知f(x)＝axln
x＋1(a∈R)，x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝aln
x＋a，∴f′(1)＝a＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝(λx＋1)ln
x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当λ＝0时，f(x)＝ln
x－x＋1.
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当00，∴f(x)在(0,1)上是增函数；
当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln
x＋－1.
由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.
∴f(x)＝(x＋1)ln
x－x＋1.
由(1)知，ln
x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．
当0x－x＋1＝xln
x＋(ln
x－x＋1)<0，
>0.
当x>1时，f(x)＝ln
x＋(xln
x－x＋1)＝ln
x－x>0，∴>0.
综上可知，>0.
8．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．
③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
f(x1)
?
f(x2)
?
此时f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是减少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．
9．已知函数f(x)＝x2－2aln
x＋(a－2)x，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解析：(1)函数f(x)＝x2－2aln
x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝(x>0)．当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.
(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0由>a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，
令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln
x－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.
故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.
10．已知函数f(x)＝xln
x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．
(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)若a＝0，f(x)＝xln
x－x＋1，f′(x)＝ln
x.
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(2)由题意知f(x)＝xln
x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．
①若a＝0，则f(x)＝xln
x－x＋1，f′(x)＝ln
x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．
②若a≠0，∵x>1，∴只需＝ln
x－<0在(1，＋∞)上恒成立．
记h(x)＝ln
x－，x∈(1，＋∞)，
则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．
由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.
若a<0，则x2＝<1＝x1，
∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，
∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．
若00，h(x)为增函数，
∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，
若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，
∴h(x)综上所述，若x>1时，f(x)<0恒成立，则a≥.
11．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln
(16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．
(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．
(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？
(2)由(1)知t＝－x＋ln
(16≤x≤24)．
而x＝20时，t＝－×20＋ln
＝1.5(元/千克)，
∵t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．
12．已知函数f(x)＝.(a>0)
(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；
(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．
解析：(1)证明：当x≥1时，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0；
当x<1时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时f(x)>0.
所以y＝f(x)在R上单调递减．
(2)若x≥a，则f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，
所以此时f(x)单调递减，令g(a)＝f(a)＝ln
a－a2＋1，
则g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)即f(x)≤f(a)<0，故f(x)在[a，＋∞)上无零点．
当x①当a>2时，f′(x)>0，f
(x)单调递增，
又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．
②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．
③当1f(x0)＝e＋(a－2)x0＝e(1－x0)>0，
所以此时f(x)没有零点．
综上，当12时，f(x)有一个零点．
13．设函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R)(e＝2.718
28…是自然对数的底数)．
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；
(3)证明：当x∈(0，＋∞)时，(1＋x)(2)f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即a>在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
故当x＝e时，g(x)取得最大值，
所以a的取值范围是.
(3)证明：要证当x∈(0，＋∞)时，(1＋x)t由(1)知当a＝1时，f(x)＝ln
x－x的最大值为－1，此时x＝1，所以当t∈(1，＋∞)时，ln
t－t<－1，
即得ln
t14．已知函数f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线；
(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，求实数m的取值范围．
(2)因为f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex，
当x<－1或x>0时，f′(x)<0；
当－10，
所以f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.
令g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.
当x<－1或x>0时，g′(x)>0；
当－1所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
故g(x)在x＝－1处取得极大值g(－1)＝＋m，在x＝0处取得极小值g(0)＝m.
因为方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，
即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点，
所以，即.
所以－－集合与常用逻辑用语
1．若x∈R，则“x>1”是“<1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x>1时，<1成立，而当x<0时，<1也成立，所以“x>1”是“<1”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
2．命题“正数a的平方等于0”的否命题为(　　)
A．正数a的平方不等于0
B．若a不是正数，则它的平方等于0
C．若a不是正数，则它的平方不等于0
D．非正数a的平方等于0
答案：C
3．若集合M＝{y|y＝2
017x}，S＝{x|y＝log2
017(x－1)}，则下列结论正确的是(　　)
A．M＝S
B．M∪S＝M
C．M∪S＝S
D．M∩S＝
解析：因为M＝{y|y＝2
017x}＝{y|y>0}，S＝{x|y＝log2
017(x－1)}＝{x|x>1}，所以M∪S＝M，故选B.
答案：B
4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．[2，＋∞)
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：因为A∪B＝A，所以B A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2，故选D.
答案：D
5．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：原命题显然是真命题，所以逆否命题也是真命题．原命题的逆命题是“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，是假命题，因为当c＝0时，命题不成立，所以否命题也是假命题，所以这4个命题中，真命题的个数为2，故选C.
答案：C
6．已知命题p：“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q： x∈，sin
x＝的否定为：“ x0∈，sin
x0≠”，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧(綈q)
B．(綈p)∧q
C．(綈p)∨(綈q)
D．p∧q
解析：若y＝sin(x＋φ)为偶函数，则有φ＝＋kπ，k∈Z，所以“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，所以命题p为真命题；根据全称命题的否定的概念，可知綈q为：“ x0∈，sin
x0≠”，所以命题q为真命题，故选D.
答案：D
7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A
B＝，若A＝{x|x2－ax－1＝0，a∈R}，B＝{x||x2＋bx＋1|＝1，b∈R}，设S＝{b|A
B＝1}，则C(S)等于(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
答案：B
8．以下有关命题的说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p： x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p： x∈R，均有x2＋x＋1>0
解析：选项D中綈p应为： x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故选D.
答案：D
9．已知命题p： x0∈R，x0－2>0，命题q： x∈R,2x>x2，则下列说法中正确的是(　　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
解析：显然命题p是真命题，又因为当x＝4时，24＝42，所以命题q是假命题，所以命题p∧(綈q)是真命题．
答案：C
10．若命题“p且q”是假命题，“綈p”也是假命题，则(　　)
A．命题“綈p或q”是假命题
B．命题“p或q”是假命题
C．命题“綈p且q”是真命题
D．命题“p且綈q”是假命题
答案：A
11．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝(　　)
A．{x|2B．{x|3≤x≤4}
C．{x|2D．{x|2≤x≤4}
解析：∵A＝{x|1答案：B
12．下列说法中正确的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B．若p： x0∈R，x－x0－1>0，则綈p： x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sin
α＝”的否命题是“若α≠，则sin
α≠”
解析：f(0)＝0，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)＝x2，所以A错误；若p： x0∈R，x－x0－1>0，则綈p： x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确．
答案：D
13．已知命题p： x∈R,2x>0；命题q：在曲线y＝cos
x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
解析：易知，命题p是真命题，对于命题q，y′＝－sin
x∈[－1,1]，而 [－1,1]，故命题q为假命题，所以綈q为真命题，p∧(綈q)是真命题．故选C.
答案：C
14．命题p： a∈，使得函数f(x)＝在上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　)
A．綈p
B．p∧q
C．(綈p)∨q
D．p∧(綈q)
答案：D
15．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．aB．b>a
C．ab>0
D．ab(a－b)<0
解析：－＝＝，选项A可以推出>.故选A.
答案：A
16．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1： (x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2： (x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3： (x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4： (x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p1，p4
D．p1，p3
解析：不等式组表示的区域D如图中阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．故选B.
答案：B
17．已知集合A＝{x|2x2＋3x－2<0}，集合B＝{x|x>a}，如果“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2
B．a<－2
C．a>－2
D．a≥－2
解析：由2x2＋3x－2<0，解得－2答案：A
18．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|[x]2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________.
解析：因为A＝{x|[x]2－2[x]＝3}，所以[x]＝－1或3，所以－1≤x<0或3≤x<4，由B＝得B＝{x|－3答案：{x|－1≤x<0}
19．已知 x∈R，不等式ax2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：[0,4)
20．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义|A－B|＝若A＝{1,2}，B＝{x||x2＋2x－3|＝a}，且|A－B|＝1，则a＝________.
解析：由于|x2＋2x－3|＝a的根可能是2个，3个，4个，而|A－B|＝1，故|x2＋2x－3|＝a只能有3个根，故a＝4.
答案：4
1．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
答案　B
解析　方法一　代值法、排除法．
当a＝1时，A＝R，符合题意；
当a＝2时，因为B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．
所以A∪B＝R，符合题意．
综上，选B.
2．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1B．3C．5D．9
答案　C
解析　x－y的取值分别为－2，－1,0,1,2.
3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩( IM)＝ ，则M∪N等于(　　)
A．MB．NC．ID．
答案　A
解析　如图，因为N∩( IM)＝ ，所以N M，
所以M∪N＝M.
4．在R上定义运算 ：x y＝，若关于x的不等式(x－a) (x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2≤a≤2
B．－1≤a≤1
C．－2≤a≤1
D．1≤a≤2
答案　C
解析　因为(x－a) (x＋1－a)>0，所以>0，即a5．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A B，则实数c的取值范围是(　　)
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
答案　B
解析　A＝{x|y＝lg(x－x2)}
＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，
B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，
因为A B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.
6．下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，－1C． x0∈R,2x0<0
D． x0∈R，tanx0＝2
答案　D
解析　 x∈R，x2≥0，故A错； x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；由y＝2x的图象可知 x∈R,2x>0，故C错，D正确．
7．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则(　　)
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
答案　D
8．已知命题p： x∈R，x3A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧(綈q)
答案　B
解析　若x31，
∴命题p为假命题；
若sinx－cosx＝sin＝－，
则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，
∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．
9．下列5个命题中正确命题的个数是(　　)
①对于命题p： x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p： x∈R，均有x2＋x＋1>0；
②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；
③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为＝1.23x＋0.08；
④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为；
⑤曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是S＝ (x－x2)dx.
A．2
B．3
C．4
D．5
答案　A
10．已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案　
解析　由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a即命题p：3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得2－m>m－1>0，解得1即命题q：1因为p是q的充分不必要条件，
所以或解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
11．已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“ x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案　
解析　由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f(0)·f(1)<0，解不等式求出实数a的取值范围．
由f(0)·f(1)<0 (1－2a)(4|a|－2a＋1)<0
或 a>.
12．已知下列命题：
①命题“ x0∈R，x＋1>x0＋1”的否定是“ x∈R，x2＋1②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是__________．
答案　②
解析　命题“ x0∈R，x＋1>x0＋1”的否定是“ x∈R，x2＋1≤x＋1”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题，故②对；a>5 a>2，但a>2D /a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
13．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b＝λa”；②“函数y＝x2＋bx＋c为偶函数”的充要条件是“b＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．
答案　①②④
解析　由共线向量定理，知命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立，故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．
14．已知a，b均为实数，设集合A＝{x|a≤x≤a＋}，B＝{x|b－≤x≤b}，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是________．
答案　
解析　∵，∴0≤a≤，∵
∴≤b≤1，利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为－＝.
15．对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M，且x N}，M
N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M
N＝__________.
答案　{y|y>3或－3≤y<0}
解析　∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M
N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．
16．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠ ；命题q：A C.
(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
解　(1)A＝[1,2]，B＝[a－1，＋∞)，
若p为假命题，则A∩B＝ ，
故a－1>2，即a>3.
(2)命题p为真，则a≤3.
命题q为真，即转化为当x∈[1,2]时，f(x)＝x2－ax－4≤0恒成立，
方法一　解得a≥0.
方法二　当x∈[1,2]时，a≥x－恒成立，
而x－在[1,2]上单调递增，故a≥max＝0.
故实数a的取值范围是[0,3]．
17．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解析：∵A∪B＝A，∴B A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，
①若B＝ ，则m＋1＞2m－1，
即m＜2，∴m＜2时，A∪B＝A.
②若B≠ ，如图所示，
则m＋1≤2m－1，即m≥2.
由B A得
解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
因此，实数m的取值范围是(－∞，3]．
18．设p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．专题13
空间中的平行与垂直
1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
答案：D
2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.
答案：B
3．如图所示，O为正方体ABCD
A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)
A．A1D
B．AA1
C．A1D1
D．A1C1
解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1 面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.
答案：D
4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
上述命题中，所有真命题的序号是(　　)
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.
答案：A
5.如图，在三棱锥P ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
答案：C
7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若m α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m
8．以下命题中真命题的个数是(　　)
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，则a∥α；
④若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析　①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面
α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．
答案　A
9．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．直线AB与平面BEF所成的角为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
10．
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
① a∥b；② a∥b；
③ α∥β；④ α∥β；
⑤ α∥a；⑥ a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④
解析　①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．
答案　C
11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是(　　)
A．p∧(綈q)是真命题
B．(綈p)∨q是真命题
C．(綈p)∧q是假命题
D．p∨q是假命题
解析　对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B.
答案　B
12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是(　　)
A．①②
B．①②③
C．①
D．②③
13.
如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析　∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，
∴b⊥面ABC，
∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
答案　B
14．在正三棱锥P ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
解析　如图，∵P ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC.
又∵DE∥AC，DE 平面PDE，
AC 平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
答案　①②
15．给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
④在三棱锥S ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．
其中，正确的命题是________(只填序号)．
解析　①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．
答案　②④
16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，
如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．
答案　①③
17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①P∈a，P∈α a α；②a∩b＝P，b β a β；③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β Ρ∈b.
解析　a∩α＝P时，P∈a，P∈α，
但a α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图，
∵a∥b，P∈b，∴P a，
∴直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，a与b确定唯一平面γ，
但γ经过直线a与点P，由公理2，
∴γ与α重合，∴b α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案　③④
18．如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，
∴PQ∥AC.又∵AP＝，
∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.
答案　a
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E、F分别是棱DD1
、C1D1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；
(2)证明：B1F∥平面A1BE.
(1)解　设G是AA1的中点，连接GE，BG.
∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴GE∥AD，
又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，
∴GE＝a，BG＝a，
BE＝＝a，
∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：sin
θ＝＝.
20．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．
(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；
(2)求证：B1E⊥AD1；
(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明　在长方体ABCD A1B1C1D1中，
因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1 平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.
在矩形A1D1DA中，
因为AA1＝AD＝2，
所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，
所以AD1⊥平面A1B1D.
(2)证明　因为E∈CD，
所以B1E 平面A1B1CD，
由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，
所以B1E⊥AD1.
(3)解　当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.
理由如下：
在AB1上取中点M，连接PM，ME.
因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，
所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.
又DE∥A1B1，且DE＝A1B1，
所以PM∥DE，且PM＝DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME.
又DP 平面B1AE，ME 平面B1AE，
所以DP∥平面B1AE.
此时，AP＝A1A＝1.
21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.
(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
(2)求三棱锥E－ABC的体积．
(1)证明　正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，
易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，
在多面体中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，
故AG⊥GC，
又GC∩BE＝G，GC，BE 平面BCDE，
故AG⊥平面BCDE,
又AG 平面ABEF，
所以平面ABEF⊥平面BCDE.
(2)解　连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，
故S△BCE＝×4×＝2，
所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.
22．如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
(1)求证：AD⊥平面PBE；
(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
(3)若VP BCDE＝2VQ ABCD，试求的值．
解析：(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.
又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.
(2)证明：连接AC(图略)，交BD于点O，连接OQ.
因为O是AC的中点，
Q是PC的中点，
所以OQ∥PA，
又PA 平面BDQ，OQ 平面BDQ，
所以PA∥平面BDQ.
(3)设四棱锥P BCDE，Q ABCD的高分别为h1，h2.
所以VP BCDE＝S四边形BCDEh1，
VQ ABCD＝S四边形ABCDh2.
又因为VP BCDE＝2VQ ABCD，
且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，所以＝＝.
23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)证明：直线MN∥平面BDH；
(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．
解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．
(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，
体积比等于底面积之比，即3∶1.专题09
三角恒等变换与解三角形
1．已知α∈，sin
α＝，则tan＝(　　)
A．－　　　　　　　　
B．
C．
D．－
【答案】：C
【解析】：因为α∈，所以cos
α＝－，所以tan
α＝－，所以tan＝＝＝，故选C.
2．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos
A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(　　)
A．2　　　
B.
C．3　　　　D.
【答案】：A
3．已知α∈，tan＝，那么sin
2α＋cos
2α的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
【答案】：A
【解析】：由tan＝，知＝，∴tan
2α＝－.∵2α∈，∴sin
2α＝，cos
2α＝－.∴sin
2α＋cos
2α＝－，故选A.
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.3
B.
C.
D.3
【答案】　C
【解析】　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.
∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得
ab＝6，∴S△ABC＝absin
C＝×6×＝，故选C.
5.已知tan
β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin
α的值为(　　)
A.
B.
C.
D.或
【答案】　A
【解析】　依题意得sin
β＝，cos
β＝.注意到sin(α＋β)＝＜sin
β，因此有α＋β＞(否则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sin
β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin
β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin
α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝.
6.若△ABC的内角满足sin
A＋sin
B＝2sin
C，则cos
C的最小值是________.
【答案】　
7.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.
【答案】　400
【解析】　如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得＝.
所以＝，得AD＝400(米).
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得
AC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC
＝(400)2＋8002－2×400×800×cos
150°＝4002×13，解得AC＝400(米).故索道AC的长为400米.
8．已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值是________．
【答案】：
【解析】：因为S＝a2－(b－c)2，所以bcsin
A＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，所以bcsin
A＝2bc－2bccos
A，又sin2
A＋cos2
A＝1，所以sin
A＝4(1－cos
A)，所以sin
A＝，所以S＝bcsin
A＝bc≤2＝.
9．已知函数f(x)＝2cos2
＋sin
x.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；
(2)若tan
＝，求f(α)的值．
10．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos
∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积．
(2)在△ABD中，＝，
又由cos
∠BAD＝得sin
∠BAD＝，所以sin
∠ADB＝，则sin
∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin
∠ADB＝.
因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos
∠C＝.
在Rt△ADC中，cos
∠C＝，则tan
∠C＝＝＝，
所以AC＝3，
则△ABC的面积S＝AB·AC·sin
∠BAC＝×3×3×＝6.
11.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值.
【解析】　(1)因为A＝2B，所以sin
A＝sin
2B＝2sin
Bcos
B.
由正、余弦定理得
a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cos
A＝＝＝－.
由于0＜A＜π，
所以sin
A＝＝＝.
故sin＝sin
Acos
＋cos
Asin
＝×＋×＝.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin
B＝bcos
C＝3.
(1)求b；
(2)若△ABC的面积为，求c.
12．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求f()＋g()的值；
(2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．
【解析】　(1)因为g(x)＝2sin[(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)，
所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1.
(2)因为g(x)＝2sin(x＋)，
所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值．
因为x＝B时g(x)取得最大值，
又B∈(0，π)，所以B＝.
而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4，
所以b≥2.又b所以b的取值范围是[2,4)．
13．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.
(1)求cosC的值；
(2)若a＝5，求△ABC的面积．
【解析】　(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc可得a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
所以cosA＝＝，
所以sinA＝＝，
所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－(×－×)＝.
(2)由(1)可得sinC＝＝，
在△ABC中，由正弦定理＝＝，
得c＝＝8，
∴S＝acsinB＝×5×8×＝10.
15.已知向量m＝(cosx，－1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和△ABC的面积.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
得1＝b2＋3－2××b×cos，
所以b＝1或b＝2，经检验均符合题意.
从而当b＝1时，△ABC的面积
S＝××1×sin＝；
当b＝2时，△ABC的面积
S＝××2×sin＝.
16.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝，AB＝a，BC＝a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.
(1)若θ＝时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；
(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.
设AM＝ax(0所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝＝，
所以x＝，即AM＝，
所以AN＝.
2sinθsin＝sin2θ＋sinθcosθ
＝＋sin2θ－cos2θ＝＋sin(2θ－)，
因为<θ<，所以<2θ－<，
所以当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AN的值最小，且AN＝a，此时绿地公共走道的长度MN＝a.专题20
不等式选讲
1．设f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.
(1)求f(x)<0的解集；
(2)当x<－1时，f(x)>f(a)，求实数a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．
【解析】：(1)由题意得f(x)≤1，即|x－3|≤3，解得0≤x≤6，
所以x的取值范围是[0，6]．
(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6，
因为对任意的实数x，有f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，
所以有m＋1≤－2，得m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3]．
3．已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m，且正实数a，b，c满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≤3
.
【解析】：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝
当x≤0时，－2x＋3≤5，得－1≤x≤0；
当0当x≥3时，2x－3≤5，得3≤x≤4.
综上，不等式f(x)≤5的解集为[－1，4]．
(2)证明：由绝对值三角不等式，得f(x)＝|x|＋|x－3|≥|x－(x－3)|＝3，故m＝3，即a＋b＋c＝3.
根据柯西不等式，有(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]
＝3[2(a＋b＋c)＋3]＝27.
所以＋＋≤3
，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝1时取等号．
4．(1)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，若f(x)为常函数，求函数f(x)的定义域；
(2)若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝x＋y＋z的最大值．
5．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
【解析】：(1)原不等式等价于
或
或
解得故不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，
∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
6．已知a，b为正实数．
(1)若a＋b＝2，求＋的最小值；
(2)求证：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
(2)证明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时，三式等号成立，
三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1)，
所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
7、若不等式|a－1|≥＋＋对满足x＋y＋z＝1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】：根据柯西不等式有
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3·[3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，
∴＋＋≤3
，当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时，等号成立．
又∵|a－1|≥＋＋恒成立，∴|a－1|≥3
，
∴a－1≥3
或a－1≤－3
，即a≥3
＋1或a≤1－3
，
∴a的取值范围是(－∞，1－3
]∪[1＋3
，＋∞)．
8、设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.
9、已知a>0，b>0，c>0，＋＋＋3abc的最小值为m.
(1)求m的值；
(2)解关于x的不等式|x＋1|－2x【解析】：(1)∵a，b，c∈R＋，∴＋＋≥3＝，
∴＋＋＋3abc≥＋3abc，①
而＋3abc≥2
＝6，②
∴＋＋＋3abc≥6，③
当且仅当a＝b＝c时，①式等号成立；当且仅当＝3abc时，②式等号成立；
则当且仅当a＝b＝c＝1时，③式等号成立，即＋＋＋3abc取得最小值m＝6.
(2)由(1)知m＝6，则|x＋1|－2x<6，即|x＋1|<6＋2x，
∴－6－2x∴解得
∴原不等式的解集为(－，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)11．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
12．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
【解析】　(1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
13.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.
(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.
14.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围.
15.已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.
(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.
(2)对 b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,
两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,
解得x<,
即实数x的取值范围是.
(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,
因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,
所以2|a|≥1 |a|≥ a≥或a≤-,
所以a的取值范围为∪.
16.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.
(1)解不等式f(x)≥2.
(2)当x∈R,017.已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2.
(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).
【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,
因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.
当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,
即≤x≤1.
当1即1当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2,
即2综上,原不等式的解集为.
(2)由题f(ax)-af(x)
=|ax-1|-a|x-1|.
当a>0时,f(ax)-af(x)
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f(a).
18.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.
(1)求不等式f(x)≥-2的解集.
(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.
(2)f(x)=
函数f(x)的图象如图所示:
令y=x-a,-a表示直线的纵截距,
当直线过(1,3)点时,-a=2;专题08
三角函数的图像与性质
1．将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(　　)
A．x＝－　　　　　　
B．x＝
C．x＝
D．x＝
答案：D
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，又＝，∴f(x)的图象过点，即sin＝1，得φ＝，∴f(x)＝sin.而x1＋x2＝－＋＝，∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin
＝.
答案：B
4．将函数y＝cos
x＋sin
x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：由图可以判断|A|<1，T>2π，则|ω|<1，f(0)>0，f(π)>0，f(2π)<0，只有选项B满足上述条件．
答案：B
6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
7．已知tan（﹣α）=，则tan（+α）=（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【答案】B
【解析】由条件利用诱导公式，两角和的正切公式，求得要求式子的值．
解：∵tan（﹣α）=，则tan（+α）=﹣tan[π﹣（+α）]=﹣tan（﹣α）=﹣，
故选：B．
8．函数的图像是（
）
【答案】D
【解析】当恒成立，排除选项B，C；当恒成立，排除选项A，C，当恒成立，综上所述，本题的正确选项为D.
9．定义矩阵，若，则（
）
A.图象关于中心对称
B.图象关于直线对称
C.在区间上单调递增
D.周期为的奇函数
【答案】C
【解析】由题中所给定义可知
，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.
10．已知函数①，②，则下列结论正确的是（
）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
【答案】C
11．函数y＝3sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
解析：化简可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间是.
答案：
12．已知ω>0，在函数y＝2sin
ωx与2cos
ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
答案：
13．已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
解析：将f(x)的图象向右平移个单位后得到图象的函数解析式为2sin－1＝2sin－1，所以＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，k∈Z，所以ω的最小值为3.
答案：3
14．已知函数f(x)＝2cos
x(sin
x－cos
x)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
解析：(1)f(x)＝2cos
x(sin
x－cos
x)＋1＝sin
2x－cos
2x＝sin.
因此，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x－∈.
当2x－＝时，x＝，
故f(x)＝sin在区间上为增函数，在区间上为减函数．
又f＝0，f＝，
f＝sin＝－cos
＝－1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
15．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：
x
x1
x2
x3
ωx＋φ
0
π
2π
Asin(ωx＋φ)
0
2
0
－2
0
(1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图象，求函数y＝f(x)·g(x)在区间的最小值．
解析：(1)由ω＋φ＝0，ω＋φ＝π可得ω＝，φ＝－，
由x1－＝，x2－＝，x3－＝2π可得x1＝，x2＝，x3＝，
又Asin＝2，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin.
(2)函数f(x)＝2sin的图象向左平移π个单位，得g(x)＝2sin＝2cos的图象，
∴y＝f(x)g(x)＝2sin·2cos＝2sin.
∵x∈，∴x－∈，
∴当x－＝－，即x＝时，y＝f(x)·g(x)取得最小值－2.
16．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．
【答案】（1）y=sin（x+）；（2）[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
（2）对于函数y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，
可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
可得函数的减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
17．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可得函数的最小正周期为，
再根据图象关于直线对称，可得
结合，可得
（2）
再根据
18．如图是函数的部分图象，直线是其两条对称轴.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】(1)
,函数的单调增区间为;(2).
【解析】解：（1）由题意，，∴．
又，故，∴．
由，解得，
又，∴，
∴
．
（2）函数的单调增区间为
（3）由题意得：
，即，
∵，
∴，
∴，
，
∴.专题15
椭圆、双曲线、抛物线
1．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)
A．2　　　　　　　　
B．2
C．6
D．8
【答案】：D
【解析】：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【答案】：C
【解析】：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.
3．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B．4
C．3
D．5
【答案】：A
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B．2－
C.－2
D.－
【答案】：D
【解析】：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－，故选D.
5．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状(　　)
A．越接近于圆
B．越扁
C．先接近于圆后越扁
D．先越扁后接近于圆
【答案】　A
【解析】　由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.
6．
F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　A
7．已知a>b>0
，椭圆
C1
的方程为＋＝1，双曲线
C2
的方程为－＝1，C1
与
C2
的离心率之积为，
则C1
、
C2
的离心率分别为(　　)
A.，3
B.，
C.，2
D.，2
【答案】　B
【解析】　由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B.
8．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　D
【解析】　令c＝，则c为双曲线的半焦距长．据题意，F1F2是圆的直径，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
∴(2c)2＝(3|PF2|)2＋|PF2|2，即2c＝|PF2|.
根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|－|PF2|＝3|PF2|－|PF2|＝2|PF2|＝2a.
∴e＝＝，
∴双曲线的离心率为.
9．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
【答案】　B
10．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．10
【答案】　B
【解析】　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，圆心到y＝－1的距离d＝5，(|MA|＋|MF|)min＝5－r＝5－1＝4.
11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)
A．(0，±2)
B．(0，2)
C．(0，±4)
D．(0，4)
【答案】　A
【解析】　在△AOF中，点B为边AF的中点，
故点B的横坐标为，
因此＝＋，解得p＝，
故抛物线方程为y2＝2x，
可得点B坐标为(，±1)，
故点A的坐标为(0，±2)．
12．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
【答案】　4
13．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
【答案】　
【解析】　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2，0)．
由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．
又点A(8，8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.
∴直线l的方程为y＝(x－2)．①
将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.
14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.
【答案】　6
【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由焦点弦性质，y1y2＝－p2(
)，
由题意知＋2＝0，
得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)，
∴y1＋2y2＝0，代入(
)式得－eq
\f(y,2)＝－p2，∴y＝2p2，
∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，
又||＝2||，∴2||＝3，
∴||＋2||＝6.
15．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
【答案】　2
16．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．
【答案】　－12
【解析】　由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.
17．双曲线－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．
【答案】　
【解析】　由题意可得，k＝＝tan＝，
∴b＝a，则a2＝，∴e＝＝2.
∴＝＝＋
≥2＝.
当且仅当＝，即b＝时取等号．
18．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0【答案】　
19．已知F1(－1，0)，F2(1，0)为椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||＋||＝4，则椭圆的离心率e＝________.
【答案】　
【解析】　由题意2a＝4，∴a＝2，
又c＝1，∴e＝.
20．设点F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
【答案】　3
【解析】　据题意，|PF1|＝|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，
解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
又|F1F2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠F1PF2
＝＝.
所以sin∠F1PF2＝＝，
所以S△PF1F2＝×6×8×＝3.
21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．
22.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，＝3.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)若点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为，求椭圆E的方程．
23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
【解析】：(1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程是＋＝1.