课题
4.2提公因式法（2）
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法．
2．进一步掌握公因式为多项式的因式分解．
3．渗透类比、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力．
教学重点与难点：
重点：公因式为多项式的因式分解．
难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，复习引入
问题1：什么是多项式的公因式？如何确定公因式？
问题2：什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法因式分解的步骤有哪些？
问题3：把下列各式因式分解：
（1）2am－3m；（2）m2n+mn2–mn；（3）–2x2y+4xy2–2xy．
问题4：如何利用提公因式法对多项式a（x－3）+2b（x－3）进行因式分解呢？
处理方式：教师出示复习题目，问题1、2学生思考回答，问题3找3位学生黑板板演，其余学生独立完成，针对学生完成情况，教师总结点评．问题4的设置为引入新课做铺垫．预设学生回答．
1.多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
确定公因式的方法：（1）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提取“-”号；（2）系数，取多项式各项系数的最大公约数；（3）字母，取多项式各项都含有的相同字母；（4）指数，取相同字母的最低次幂．
2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
提公因式法的依据是：乘法分配律．
提公因式法的步骤．“一定”：确定公因式，可按“系数大（最大公约数），字母同（各项相同的字母），指数低（相同字母的指数取次数最低的）”；“二提”：将各项的公因式提出来，并确定另一个因式（当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏项）．
3.（1）m(2a－3)；（2）mn(m+n－1)；（3）-2xy(x-2y+1)
．
总结：上节课我们学习了公因式为单项式的因式分解，今天我们学习公因式为多项式的因式分解．板书课题．
设计意图：复习有关提公因式法的基本方法与步骤，引导学生通过类比将提取“公因式为单项式”的方法与步骤推广应用于提取
“公因式为多项式”，符合学生的认知规律.
二、例题解析，深化提高
（一）例2
把下列各式因式分解
（1）a(x-3)+2b(x-3)
；（2）y(x+1)+y2(x+1)2．
处理方式：教师引导学生小组讨论，类比公因式为单项式的多项式因式分解方法，分析如何对其进行因式分解，学生代表说出分析过程，教师点评并书写解题过程.预设学生回答.
1．多项式a(x-3)+2b(x-3)可以看做由两大项即a（x－3）和2b（x－3）组成，这两项都含有因式（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
2．多项式y(x+1)+y2(x+1)2也可以看作是由两大项y(x+1)和y2(x+1)2组成，这两项都含有因式y(x+1)，因此可以把y(x+1)作为公因式提出来．
解：（1）
a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；
（2）
y(x+1)+y2(x+1)2=y(y+1)[1+y(y+1)]
=y(y+1)(xy+y+1)
注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面.提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项.
设计意图：通过例题的分析与讲解，让学生在讨论的过程中进一步理解如何利用提公因式法对多项式进行因式分解，尤其当公因式是多项式时如何正确应用.
牛刀小试：把下列各式因式分解：
（1）
2m(a－b)－3n(a－b)；
（2）x(a+3)－y(a+3)；
（3）7q(p－q)－2p(p－q)；
（4）x(a+b)－y(a+b)+z(a+b)；
（5）p(a2+b2)+q(a2+b2)－r(a2+b2)；
（6）2a(x+y－z)－3b(x+y－z)－5c(x+y－z)．
处理方式：学生黑板练习，其余同学分组独立完成，教师针对学生出现的问题及时点评，同桌之间相互纠错改正.预设学生练习.
（1）(a-b)(2m-3n)；
（2）(a+3)(x-y)；
（3）(p－q)(7q-2p)；
（4）(a+b)(x-y+z)；
（5）(a2+b2)(p+q-r)；
（6）(x+y－z)(2a-3b-5c)．
设计意图：及时巩固训练，提高学生的应用能力，教师及时掌握学生的认知程度.
（二）思考：如何利用提公因式法对多项式a(x-y)+b(y-x)进行因式分解？
处理方法：引导学生观察多项式的特点，类比例2在小组间展开讨论，教师参与小组讨论，小组代表说出分析解题过程并黑板板书，教师针对学生的回答及时点评.预设学生回答.
1.分析：把多项式a(x-y)+b(y-x)中的a(x-y)和b(y-x)分别看成一项，因为
(x-y)和(y-x)是互为相反数，所以(y-x)=-(x-y)，原多项式a(x-y)+b(y-x)=
a(x-y)-b(x-y)，此多项式的公因式为x-y，可对原多项式进行因式分解．
2.解：
a(x-y)+b(y-x)=
a(x-y)-b(x-y)=
(x-y)(a-b)．
同学们回答的很好，结合对本题的研究，你能对下面两个多项式因式分解吗？
例3
把下列各式因式分解
（1）2(a-3)2-a+3；
（2）6(m-n)2-12(n-m)3．
处理方式：进一步引导学生分析，教师针对学生的分析及时点评，板书解题过程．
解：（1）2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]
=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
（2）6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
.
设计意图：通过思考和例题，让学生在理解的基础上加深对提公因式法的理解与应用，尤其公因式为多项式且不明显时的应用，通过小组合作学习，提高学生分析问题和解决问题的能力.
（三）做一做
1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立.
（1）2-a=
(a-2)；
（2）b+a=
(a+b)；
（3）(b-a)2=
(a-b)2；
（4）-m-n=
(m+n)；
（5）-s2+
t2=
(s2-
t2)；
（6）(p-q)3=
(q-p)3；
2.通过练习你有什么发现？说出来，我们共同分享.
处理方法：学生自主完成，完成后同桌之间相互交换，比较异同，学生代表发言，教师点评矫正.预设学生回答.
1.-；+；+；-；-；-.
2.（1）n为整数，(y+x)n=(x+y)n．
（2）当n为偶数时，(y－x)n=(x－y)n；当n为奇数时，
(y－x)n=－(x－y)n．
（3）当n为偶数时，(－y－x)n=(x+y)n；当n为奇数时，
(－y－x)n=－(x+y)n．
设计意图：通过交流—归纳—练习—总结，让学生掌握并巩固知识，不仅提高学生的课堂学习效率，也有助于发展学生的创新能力．
牛刀再试：
1.说出下列各多项式中各项的公因式：
（1）3m(x－y)－9m2(y－x)2；
（2）8(a－b)2+6(b－a)3；
（3）5m(x－y)2－10m2(y－x)2；
（4）12a3(m－n)3+10a2(n－m)3．
2.把下列各式因式分解：
（1）a(m-2)+b(2-m)；（2）2(y-x)2+3(x-y)；（3）mn(m-n)-m(n-m)2.
处理方式：第1题4位学生口答，其余学生点评矫正；第2题3位学生板演，其余学生独立完成，教师点评矫正.预设学生回答.
1．（1）3m(x－y)；
（2）2(a－b)2；
（3）5m(x－y)2；
（4）2a3(m－n)3．
2．（1）(m-2)(a-b)；
（2）(x-y)(2x-2y+3)；
（3）m(m-n)(2n-m)．
设计意图：通过练习，进一步提高学生的应用能力，培养学生独立解决问题的能力.
三、回顾反思，提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获？有哪些知识与同学们分享？还有哪些困惑？
1.我的收获：
；
2.我的分享：
；
3.我的困惑：
.
……
处理方式：引导学生小组讨论，小组代表发言，教师点评.预设学生回答.
设计意图：通过学生自主总结、畅谈收获，教师及时发现问题、适时补充，既让学生在知识和能力方面得到诸多发展，又让学生在情感态度和价值观方面体验到成功的愉悦，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，明确所涉及的数学思想和数学方法．
四、达标检测，反馈矫正
A组：
1．把2(a－3)+a(3－a)提取公因式（a-3）后，另一个因式是（
）．
A．a-2
B．a+2
C．2-a
D．2+a
2．下列各式正确的是（
）．
A．-x+y=-(y-x)
B．x-y=-(x+y)
C．10-m=5(2-m)
D．3-2a=-(2a-3)
3.若a
、b互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)的值为
.
4.把下列各式因式分解
（1）(a+2b)2-a2-2ab
；
（2）x(x+y)(x-y)-x(x+y)2．
5.先因式分解，再计算求值：
4x(m－2)-3x(m－2)，其中x=1.5，m=6．
B组：
1．如果a2-2ab=-10，b2-2ab=16，那么-a2+4ab-b2的值是（ ）．
A．6
B．-6
C．22
D．-22
2．ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1=ab(x-y)m(
)．
3．阅读下面的解题过程，然后回答问题．
分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2．
解：原式=（1+x）[1+x+(x+1)]
=(1+x)[(1+x)+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x(x+1)+
…＋x(x+1)2014，需提公因式多少次？结果是什么？
（3）若将题目改为1+x+x(x+1)+
…＋x(x+1)n（n为正整数）呢？
处理方式:A组题目学生独立完成，教师出示答案，同位互批，针对学生出现的错误及时矫正；B组题目作为补充题目，课下完成.
参考答案：
A组：1．
C
；
2．
D
；
3.
0
；
4．（1）2b(a+2b)；
（2）-2xy(x+y)；
5．原式可分解为x(m-2)，当x=1.5，m=6，原式=6．
B组：1．C ；
2．（b+ax-ay）；
3.
2次；2014次，结果为(1+x)2015；n次，结果为(1+x)n+1．
设计意图：通过检测纠错，有针对性的对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时有效的进行反馈，让老师及时、准确的掌握学生的课堂学习效果，为下一节课的学习做好准备．
六、布置作业，课后促学
必做题：课本
第98页
习题4.3
第1、2题.
选做题：课本
第98页
习题4.3
第3题.
板书设计：
4.2
提公因式法（2）
例2
例3
投影区
学
生
板
演
区(共16张PPT)
4.2提公因式法（2）
复习引入
1.什么是多项式的公因式？如何确定公因式？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
确定公因式的方法：
（1）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提取“-”号；
（2）系数，取多项式各项系数的最大公约数；
（3）字母，取多项式各项都含有的相同字母；
（4）指数，取相同字母的最低次幂．
2.什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法因式分解的步骤有哪些？
复习引入
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个
公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种
因式分解的方法叫做提公因式法.
（2）提公因式法的依据是：乘法分配律．
（3）提公因式法的步骤．“一定”：确定公因式，
“系数大，
字母同，指数低；“二提”：将各项的公因式提出来，并确定
另一个因式（当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩
余项为1，不要漏项）．
3.把下列各式因式分解：
复习引入
（1）2am－3m；
（2）m2n+mn2–mn；
（3）–2x2y+4xy2–2xy．
m(2a－3)；
mn(m+n－1)；
-2xy(x-2y+1)
．
如何利用提公因式法对多项式a（x－3）+2b（x－3）进行因式分解呢？
复习引入
例题解析
例2
把下列各式因式分解
（1）a(x-3)+2b(x-3)
；
（2）y(x+1)+y2(x+1)2．
解：（1）
a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；
（2）
y(x+1)+y2(x+1)2=y(y+1)[1+y(y+1)]
=y(y+1)(xy+y+1)
温馨提示：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多
项式时应整体考虑直接提出.写因式分解的结果时，单项
式要写在多项式的前面.提取公因式后，如果多项式中有
同类项，要合并同类项.
牛刀小试
把下列各式因式分解：
（1）
2m(a－b)－3n(a－b)；
（2）x(a+3)－y(a+3)；
（3）7q(p－q)－2p(p－q)；
（4）x(a+b)－y(a+b)+z(a+b)；
（5）p(a2+b2)+q(a2+b2)－r(a2+b2)；
（6）2a(x+y－z)－3b(x+y－z)－5c(x+y－z)．
(a-b)(2m-3n)；
(a+3)(x-y)；
(p－q)(7q-2p)；
(a+b)(x-y+z)；
(a2+b2)(p+q-r)；
(x+y－z)(2a-3b-5c)．
思考：
如何利用提公因式法对多项式a(x-y)+b(y-x)进行因式分解？
解：
a(x-y)+b(y-x)=
a(x-y)-b(x-y)=
(x-y)(a-b)．
分析：把多项式a(x-y)+b(y-x)中的a(x-y)和b(y-x)分别看成一项，因为
(x-y)和(y-x)是互为相反数，所以(y-x)=-(x-y)，原多项式a(x-y)+b(y-x)=
a(x-y)-b(x-y)，此多项式的公因式为
x-y，可对原多项式进行因式分解．
例3
把下列各式因式分解
（1）2(a-3)2-a+3；
（2）6(m-n)2-12(n-m)3．
例题解析
解：（1）2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]
=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
（2）6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
.
做一做
1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，
使等式成立.
（1）2-a=
(a-2)；
（2）b+a=
(a+b)；
（3）(b-a)2=
(a-b)2；
（4）-m-n=
(m+n)；
（5）-s2+
t2=
(s2-
t2)；
（6）(p-q)3=
(q-p)3；
2.通过练习你有什么发现？说出来，我们共同分享.
-
+
-
-
-
+
（1）n为整数，
(y+x)n=(x+y)n．
（2）当n为偶数时，
(y－x)n=(x－y)n；
当n为奇数时，
(y－x)n=－(x－y)n．
（3）当n为偶数时，
(－y－x)n=(x+y)n；
当n为奇数时，
(－y－x)n=－(x+y)n．
牛刀再试
1.说出下列各多项式中各项的公因式：
（1）3m(x－y)－9m2(y－x)2；
（2）8(a－b)2+6(b－a)3；
（3）5m(x－y)2－10m2(y－x)2；
（4）12a3(m－n)3+10a2(n－m)3．
2.把下列各式因式分解：
（1）a(m-2)+b(2-m)；
（2）2(y-x)2+3(x-y)；
（3）mn(m-n)-m(n-m)2.
3m(x－y)；
2(a－b)2；
5m(x－y)2；
2a3(m－n)3.
(m-2)(a-b)；
(x-y)(2x-2y+3)；
m(m-n)(2n-m).
回顾反思
通过本节课的学习，你有哪些收获？
有哪些知识与同学们分享？还有哪些困惑？
1.我的收获：
；
2.我的分享：
；
3.我的困惑：
.
……
达标检测
A组：
1．把2(a－3)+a(3－a)提取公因式（a-3）后，
另一个因式是（
）．
A．a-2
B．a+2
C．2-a
D．2+a
2．下列各式正确的是（
）．
A．-x+y=-(y-x)
B．x-y=-(x+y)
C．10-m=5(2-m)
D．3-2a=-(2a-3)
3.
若a
、b互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)的值为
.
4.
把下列各式因式分解
（1）(a+2b)2-a2-2ab
；
（2）x(x+y)(x-y)-x(x+y)2．
5.
先因式分解，再计算求值：
4x(m－2)-3x(m－2)，其中x=1.5，m=6．
C
D
0
2b(a+2b)；
-2xy(x+y)；
原式可分解为x(m-2)，当x=1.5，m=6，原式=6．
B组：
1．如果a2-2ab=-10，b2-2ab=16，那么-a2+4ab-b2的值是（
）．
A．6
B．-6
C．22
D．-22
2．ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1=ab(x-y)m(
)．
3．阅读下面的解题过程，然后回答问题．
分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2．
解：原式=（1+x）[1+x+(x+1)]
=(1+x)[(1+x)+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x(x+1)+
…＋x(x+1)2014，
需提公因式多少次？结果是什么？
（3）若将题目改为1+x+x(x+1)+
…＋x(x+1)n（n为正整数）呢？
达标检测
b+ax-ay
C
2次
2014次
(1+x)2015
n次，结果为(1+x)n+1．
作业
必做题：课本
第98页
习题4.3
第1、2题.
选做题：课本
第98页
习题4.3
第3题.
谢谢！
