课题 4.3公式法（2） 课型：新授课 年级：八年级
教学目标：
1.能够正确识别符合用公式法分解的多项式，会运用完全平方公式分解因式．
2.经历探索运用完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的应用，同时了解换元的思想方法．
3.探索多项式因式分解的步骤与方法，体会化归思想的应用.
教学重难点：
重点：用完全平方公式进行分解因式.
难点：根据多项式的特点，恰当地安排步骤，灵活地选用不同方法进行因式分解.
课前准备：多媒体课件.
教学过程：
一、温故知新，引入新课
问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？
问题2：把下列各式分解因式：
（1）ax4-9ay2； （2）x4-16．
问题3：整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？
处理方式：学生独立思考、交流，问题1学生回答，问题2学生黑板板演，其余学生独立完成，师生共同纠错，并强调注意事项.问题3教师引导学生回答，为新课引入铺垫.预设学生回答.
1.提取公因式法和运用平方差公式法．
2.解:（1）ax4-9ay2=a(x4-9y2)
=a(x2+3y)(x2-3y)
（2）x4-16=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x2+2)(x2-2)
3.完全平方公式：.
过渡：我们能够利用平方差公式分解因式，那么能不能用完全平方公式分解因式呢？
本节课我们就一起探究这个问题.
设计意图：复习以习题的形式回忆两种提公因式和平方差公式分解因式的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫.
二、合作探究，获取新知
活动内容1：类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．
请结合a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，完成以下探究问题．
（1）完全平方公式特点：
左边： ．
右边： ．
（2）形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子我们称为 ．
处理方式：类比利用平方差公式分解因式，让学生以小组讨论、合作交流的方式探讨完全平方公式的特点，及什么是完全平方式，小组展示结论，教师依据学生回答中出现的问题点评并强调公式a2+2ab+b2=（a+b）2与a2-2ab+b2=（a-b）2，叫做因式分解的完全平方公式；a2+2ab+b2，a2-2ab+b2叫做完全平方式.预设学生回答.
1.完全平方公式特点：
左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方.这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可.
右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方.
2. 形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子称为完全平方式．
设计意图：通过小组合作学习，让学生在已有知识的基础上，加深对完全平方公式的理解，对完全平方式特征的认识，进一步感受因式分解与整式乘法的关系.
巩固训练1：
1.下列各式是不是完全平方式？若不是，请说明理由．
；；；.
2.已知是一个完全平方式，则k是多少？
处理方式：学生独立做题，然后小组交流，教师选代表回答并及时矫正.对于第二题可适当提醒学生考虑完全平方式的两种形式.预设学生回答.
1．（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；（4）不是；因为不是a与b乘积的2倍．
2． k是±12，因为是完全平方式中的乘积的2倍对应的项，而完全平方式有两种形式，符号可正可负.所以它对应的答案有两个.
设计意图：通过题目练习一方面加深学生对完全平方式特征的理解，并能顺利的辨别哪些是完全平方式，为利用完全平方式分解因式打下基础.另一方面 教师可以更好的了解学生的掌握情况，以便及时的调整教学.
活动内容2：通过对a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2和a2-b2=(a+b)(a-b)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？
处理方式：学生小组讨论后尝试归纳，教师总结点评，明确运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解.预设学生回答.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
设计意图：通过小组合作学习，让学生在理解的基础上，加深对公式法进行因式分解的认识，正确把握各公式的特征，并根据多项式的形式和特点灵活选择用公式进行因式分解.
巩固训练2：
下列各式：①-x2-16y2 ②-a+9b2 ③m2-4n2 ④-x4+y4 ⑤x2+y2+2xy ⑥- a2-2ab+b2
⑦m2-4mn+4n2 ⑧4a2-2a+1其中，能用公式法因式分解的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
处理方式：学生独立完成后，小组展示答案，教师点评.
三、学以致用，解决问题
例3 把下列完全平方式分解因式：
（1） x2+14x+49； （2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9.
处理方式：让学生观察例题两式的特点，引导学生对照完全平方公式，明确公式中的a、b在x2+14x+49与（m+n）2-6(m+n)+9中分别是什么（a、b可以是单相式，也可以是多项式），并尝试用语言表述加以理解，如x2+2×7×x+72是x与7两数的平方和，加上这两数积的2倍．小组讨论后由学生分别口述解题过程，教师借助多媒体展示解题过程，让学生进一步理解并规范如何使用完全平方公式进行因式分解．
解：（1） x2+14x+49= x2+ 2×x×7+ 72= (x + 7)2．
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
a2 +2×a×b+ b2=(a + b)2
（2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9
=(m＋n)2－2·(m＋n)×3＋32
=[(m＋n)－3]2
=(m＋n－3)2
巩固训练3：
把下列各式分解因式：
（1）x2y2-2xy+1； （2）4-12(x-y)+9(x-y)2．
处理方式：选2名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视指导.学生完成后，同位交换练习，教师点评矫正.预设学生回答.
解：（1）x2y2-2xy+1=(xy)2-2xy+1=(xy-1)2；
（2）4-12(x-y)+9(x-y)2
=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)］2
=[2-3(x-y)］2
=(2-3x+3y)2.
设计意图：培养学生对完全平方公式分解因式的应用能力，让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
例4 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy．
处理方式：让学生观察题目特点，展开小组讨论，教师引导学生体会在因式分解中，多项式有公因式要先提公因式，再进一步因式分解；当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数.学生口述解题过程，师及时点评并多媒体展示解题过程.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
（2）-x2-4y2+4xy=-(x2+4y2-4xy)
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2．
巩固训练4：
把下列各式分解因式：
（1）-2xy-x2-y2；（2）2mx2-4mx+2m．
处理方式：找两名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视学生并辅导，做完后教师展示出答案.预设学生.
解：（1）-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2；
（2）2mx2-4mx+2m
=2m(x2-2x+1)
=2m(x-1)2．
设计意图：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
思考：通过你所学的因式分解的知识，想一想对于一个多项式，你如何对它进行因式分解呢？
处理方式：引导学生展开小组讨论，学生代表展示，教师多媒体总结．
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式各项含有公因式，应先提公因式；
（2）如果多项式各项不含有公因式，可以尝试用公式法因式分解；
（3）如果上述方法都不能因式分解，可以尝试整理多项式，然后分解；
（4）因式分解必须分解到每一个因式都不能分解为止.
四、回顾反思，盘点收获
通过本节课的学习，你都掌握了哪些知识？你还有什么困惑？请你先想一想，再说一说.
处理方式：学生畅所欲言.
我的收获．．．．．．
我的困惑．．．．．．
……
设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
五、达标测试，深化提高
A组：
1．下列多项式中，能用完全平方式分解的是（ ）
A．a2+2ax+4x2； B．a2-4ax2+4x2；
C．-2x+1+4x2； D．x4+4+4x2.
2．正方形的面积为a2+2a+1，则它的周长是（ ）
A．a+1 B．a+4 C．4a+1 D．4a+4
3．若16x2-mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是 .
4．把 下列各式因式分解：
（1）a2b-2ab+b；
（2）(x+y)2-12z(x+y)+36z2.
B组：
5．已知x，y是一个等腰三角形的两边长，且满足x2+y2-4x-6y+13=0，求这个等腰三角形的周长.
参考答案：1.D 2.D 3.±24 4．b(a-1)2；（x+y-6z）2 5．7或8．
设计意图：通过学生的反馈测试，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对利用完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便能及时地进行查缺补漏,由于学生的学习基础与能力有较大的差异，对不同层次的学生提出不同的要求，可使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展.
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本第103页 习题4.5 第1、2题.
选做题：课本第103页 习题4.5 第3题.
板书设计:
§4.3 公式法（2）
完全平方公式:
完全平方式：
例3
例4
课件18张PPT。北师大版八年级数学下册4.3 公式法（2）复习引入1．我们学习了哪些因式分解的方法？2. 把下列各式分解因式：
（1）ax4-9ay2； （2）x4-16．提取公因式法和运用平方差公式法．（2）x4-16
=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x2+2)(x2-2)注：有公因式先提公因式，因式分解要彻底．整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？完全平方公式：. 复习引入合作探究，获取新知类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式（a+b）2=
a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就得到：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．请结合a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，完成以下探究问题．（1）完全平方公式特点：
左边： ．
右边： ．（2）形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子我们
称为 ．合作探究，获取新知请结合a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，完成以下探究问题．左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式
子）的完全平方.这两项的符号相同，中间一项是这两个
数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可.
右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方.（1）完全平方公式特点：（2）形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子我们
称为 ．完全平方式1.下列各式是不是完全平方式？若不是，请说明由．（1）是. （2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；（4）不是；因为ab不是a与b乘积的2倍. k=±12牛刀小试通过对a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2和a2-b2=(a+b)(a-b)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反
过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因
式的方法叫做运用公式法.合作探究，获取新知下列各式：①-x2-16y2 ②-a+9b2 ③m2-4n2 ④-x4+y4
⑤x2+y2+2xy ⑥- a2-2ab+b2 ⑦m2-4mn+4n2 ⑧4a2-2a+1
其中，能用公式法因式分解的个数是（ ）．A．5 B．4 C．3 D．2B牛刀再试例3 把下列完全平方式分解因式：
（1） x2+14x+49； （2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9.解：（1） x2+14x+49= x2+ 2×x×7+ 72= (x +7)2．
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
a2 +2×a×b+ b2=(a + b)2（2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9
=(m＋n)2－2·(m＋n)×3＋32
=[(m＋n)－3]2
=(m＋n－3)2学以致用，解决问题把下列各式分解因式：
（1）x2y2-2xy+1； （2）4-12(x-y)+9(x-y)2．解：（1）x2y2-2xy+1
=(xy)2-2xy+1
=(xy-1)2；
（2）4-12(x-y)+9(x-y)2
=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2
=(2-3x+3y)2.巩固训练例4 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy．解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
（2）-x2-4y2+4xy
=-(x2+4y2-4xy)
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2．学以致用，解决问题把下列各式分解因式：
（1）-2xy-x2-y2；（2）2mx2-4mx+2m．解：（1）-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2；
（2）2mx2-4mx+2m
=2m(x2-2x+1)
=2m(x-1)2．巩固训练通过你所学的因式分解的知识，想一想对于一个多
项式，你如何对它进行因式分解呢？因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式各项含有公因式，应先提公因式；
（2）如果多项式各项不含有公因式，可以尝试用公式
法因式分解；
（3）如果上述方法都不能因式分解，可以尝试整理多
项式，然后分解；
（4）因式分解必须分解到每一个因式都不能分解为止.学以致用，解决问题通过本节课的学习，你都掌握了哪些知识？
你还有什么困惑？请你先想一想，再说一说.我的收获．．．．．．
我的困惑．．．．．．
……回顾反思，盘点收获A组：
1．下列多项式中，能用完全平方式分解的是（ ）
A．a2+2ax+4x2； B．a2-4ax2+4x2；
C．-2x+1+4x2； D．x4+4+4x2.
2．正方形的面积为a2+2a+1，则它的周长是（ ）
A．a+1 B．a+4 C．4a+1 D．4a+4
3．若16x2-mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是 .
4．把 下列各式因式分解：
（1）a2b-2ab+b；
（2）(x+y)2-12z(x+y)+36z2. 达标测试，深化提高DD±24b(a-1)2（x+y-6z）2B组：
5．已知x，y是一个等腰三角形的两边长，且满
足x2+y2-4x-6y+13=0，求这个等腰三角形的周长.达标测试，深化提高作业必做题：课本第103页 习题4.5 第1、2题.
选做题：课本第103页 习题4.5 第3题.谢谢，再见！
