课题：3.3垂径定理
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.
2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．
3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
教学重点与难点：
重点：探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．
难点：运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．
教学过程：
一、复习回顾，开辟道路
我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，
如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
(1)此图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么
(2)图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由．
处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.
我们组将这个图沿着直径CD折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，与重合，与重合，所以等量关系有:AM=BM,
∠CMA=∠CMB=900，∠DMA=∠DMB=900，=，=．（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．
设计意图：在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．
二、例题讲解，学以致用
已知：如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
处理方式：求证：AM=BM，，.
证明：连接OA，OB，
则OA=OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM．
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.
∴
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC
∴∠AOD=∠BOD°.
∴
处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．
设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.
三、尝试成功，探究创新
活动内容：
还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）
如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于M．
（1)此图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么
（2）你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由．
处理方式：类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书）
它和垂径定理有什么区别？
设计意图：在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．
四、例题讲解，学以致用
活动内容：
例1
如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
处理方式：让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，解：连结OC，设弯路的半径为rm，则OF＝(r－90)m，
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
据勾股定理，得
OC2＝CF2＋OF2，
即r2＝3002＋(r－90)2，
解这个方程，得r＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．
五、巩固提升
展示自我
活动内容：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
五、总结概括，整理知识
通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？
处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.
六、达标测试，反馈纠正
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误的是（
）
A、
B、AF=BF
C、OF=CF
D、∠DBC=90°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为
.
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是
.
处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.
七、布置作业，落实目标
课本习题P76
习题3.3
1，2
板书设计：
§3.3垂径定理
垂径定理
例：
第1题
第2题
第3题
学生板演区(共15张PPT)
问题
：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
第三章
圆
·
O
A
B
C
D
E
沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：
圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直径．
实验发现
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
·
O
A
B
C
D
E
活
动
二
探索发现
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
请同学按下面要求完成下题
（2）
线段：
AE=BE
弧：
通过上面的问题我们就能得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
已知：直径CD，弦AB且CD⊥AB垂足为M，
.
，
求证：AM=BM，
活动三
验证
·
C
D
A
B
M
O
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．
因此，只要连结OA、OB
。
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB。
在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∠AOD=∠BOD.
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC
∴AOD=∠BOD°.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
③AM=BM,
由
①
CD是直径
②
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
垂径定理：
练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
③CD⊥AB,
活
动
四
验证垂径定理的逆定理
●O
C
D
由
①
CD是直径
②
AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图，AB是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
想一想
O
C
D
B
A
E
O
D
C
F
例
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
⌒
⌒
⌒
知识应用
解这个方程，得R=545.
E
O
D
C
F
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC =CF
+OF
即
R =300 +(R-90) .
所以，这段弯路的半径为545m.
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即
R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
OD=OC－CD=R－7.2
AB=37.4，CD=7.2，
解：在图中
1、如图，用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O
作弦AB
的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据前面的结论，D
是AB
的中点，C是
的中点，CD
就是拱高．
AB
︵
AB
︵
AB
︵
活动五
应用练习
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BCDB.则下列结论错误的是（
）
A、
B、AF=BF
C、OF=CF
D
、
∠DBC=90°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为
.
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是
.
第1题
第2题
第3题
活动六
达标测试
小结:
解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
