陕西省延安市大学区中学校际联盟2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题（B）

延安市大学区中学校际联盟
2016—2017学年度第二学期期中考试试题（卷）
高二数学（理）（B）
说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。
考试时间100分钟
满分100分
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在复平面内，复数﹣2+3i对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）
A．方程x2+ax+b=0没有实根
B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
3．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．定积分∫sinxdx等于（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
5．函数y=x2e2x的导数是（　　）
A．y=（2x2+x2）ex
B．y=2xe2x+x2ex
C．y=2xe2x+x2e2x
D．y=（2x+2x2）e2x
6．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（0，+∞）
7．已知f（x）=，则=（　　）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
8．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（　　）
A．k2+1
B．（k+1）2
C．
D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
9．已知，则等于（
）
A．4
B．-2
C．0
D．
2
10.，则
A．1
B.-2
C．-1
D．-2
11．某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（　　）
A．24
B．22
C．20
D．12
12．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
13．观察下列不等式：
，，…
照此规律，第五个不等式为　　　　　　．
　　　　　　．
15．计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=　　　　　　．
16．若函数y=x3+x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数m的取值范围　　　　　　．
17．半径为r的圆的面积，周长，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为的球，若将看作上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．
三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题7分）求曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3围成的图形的面积．
19．（本小题7分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣2．
（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．
20．（本小题8分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21．（本小题10分）设函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
高二期中数学试卷（理科B）
参考答案
　
一、选择题（每题5分，共48分）
1.B
2.A
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.D
9
.B
10.D
11.D
12.C
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
13．1+++++＜
14．3
15.2
16.[，+∞）
17..；
球的体积函数的导数等于球的表面积函数　
三、解答题：本大题共4小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.　
18．（本小题7分）
解：由，解得或
∴曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3的交点为（0，3）和（3，6）
因此，曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3所围成的封闭图形的面积是
S=（x+3﹣x2+2x﹣3）dx=（x2﹣x3）=．
19．(本小题7分）解：（1）∵Sn=2an﹣2，
当n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．
当n=2时，a1+a2=2a2﹣2，解得a2=4．
当n=3时，a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．
猜想：an=2n．
（2）当n=1时，显然猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即ak=2k．
则当n=k+1时，Sk+1=2ak+1﹣2．
∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2，
∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2，
∴ak+1=2ak=2 2k=2k+1．
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴an=2n．　
20．(本小题8分）解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得
令得
当时，是减函数；当时，是增函数。
当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
　
21．解：（1）函数的导数f′（x）=﹣3x2+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9，
∴得a=3，b=9，
则f（x）=﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x2﹣2x﹣3），
由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），
由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，
此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，
f（﹣2）=8+12﹣18+c=2+c，f（2）=﹣8+12+18+c=22+c，
则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）=22+c=20，
则c=﹣2．
（3）由（1）知当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，
当x=3时，函数取得极大值f（3）=﹣27+27+27+c=27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则得，得﹣27＜c＜5，
即c的范围是（﹣27，5）．