八年级数学下册课后补习班辅导讲学案（打包31套）苏科版

等腰梯形的轴对称性
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
等腰梯形的轴对称性
［目标］
探索等腰梯形的轴对称性及其相关性质。
二.
重、难点：
等腰梯形及其性质和四边形是等腰梯形的条件。
三.
知识要点：
1.
梯形
平面中，有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。
如：在梯形EBCD中，ED∥BC，EB、CD叫梯形的腰，ED、BC叫梯形的两底，∠EBC、∠DCB、∠BED、∠CDE叫梯形的底角。
☆
边与角满足什么条件的四边形为梯形。
①
只有一组对边平行的四边形为梯形
②
只有一组邻角互补的四边形为梯形
2.
等腰梯形
（a）
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
（b）
等腰梯形是轴对称图形，过两底的中点的直线是它的对称轴。
（c）
等腰梯形的性质：
①
等腰梯形的对角线相等；
②
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
③
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（判定定理）
【典型例题】
例1.
如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有（
）
（A）0个
（B）2个
（C）4个
（D）8个
分析：只能以最长的对角线作为等腰梯形的底边。一共有2条这样长的对角线，而每条对角线可组成2个等腰梯形。所以共有4个。
答：C
例2.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，则梯形ABCD_________（填“是”或“不是”）等腰梯形。
分析：分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H；
由已知易证△ABG≌△DCH，∴
AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形。
答：是
例3.
（1）等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是____________。
（2）已知等腰梯形的一个底角等于60°
，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为___________。
（3）如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB
＝
AD，BD
＝
BC，求∠C的度数。
解：（1）设上底与对角线的夹角为，则
上底角＝+＝－2
解得：＝
∴上底角的度数是+＝
（2）延长两腰BA、CD交于一点O，
∵底角B＝
∴△ADO和△BCO都为等边三角形
∴AO＝上底AD＝13cm；
BO＝下底BC＝37cm；
∴腰AB＝BO－AO＝24
cm，∴周长＝13+37+24+24＝98cm。
（3）设∠C＝，
∵BD
＝
BC，∴∠C＝∠BDC＝，∴∠DBC＝－2
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC
∵AB
＝
AD，∴∠ADB＝∠ABD＝－2，∴∠A＝－2（－2）
又∵∠A与∠C互补，∴－2（－2）＝－
解得：＝
即∠C＝
例4.
如图，在梯形中，∥，延长到，使，若同时有，则梯形是等腰梯形吗 为什么
解：∵，
∴为等腰三角形。
∴，又∥
∴（内错角相等）
∴，又
∴≌
∴，∴梯形是等腰梯形。
例5.
如图，四边形是等腰梯形，∥，，，，，边的中点为。
（1）
判断的形状（简述理由），并求其周长。
（2）
求的长。
（3）
是否互相垂直平分 说出你的理由。
解：（1）∵，为边的中点,
∴在中，为斜边上的中线
∴；同理可得
又∵，
∴为等边三角形。周长。
（2）易证
又∵
∴为等边三角形，
∴
（3）是互相垂直平分。∵且∥
∴四边形是菱形，∴相互垂直平分（菱形对角线垂直且互相平分）
例6.
如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，CH是高，MN是中位线。求证：MN＝CH。
证明：过点C作CE∥BD交AB延长线于E，则四边形BDCE是平行四边形。
∴BE＝CD，CE＝BD
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AC＝BD，即AC＝EC
又∵AC⊥BD
∴AC⊥CE，△ACE是等腰直角三角形。
∴，
又∵
∴MN＝CH
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
有下列说法：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的对角线相等；③等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；④有两个内角相等的梯形是等腰梯形。其中正确的有（
）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
2.
在四边形ABCD中，AB≠DC，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠B以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题：___________________________________________
3.
在等腰梯形中，，比小，则梯形各内角中最小角的度数为________。
4.
等腰梯形的两条对角线互相垂直，一条对角线长8cm，则梯形的面积为__________。
5.
如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝，试求其他三个内角的度数。请问此时ABCD为等腰梯形吗
6.
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M是CD的中点，∠1＝∠2；试说明梯形ABCD是等腰梯形。
7.
如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BD⊥CD，AC⊥AB，∠BAD＝，AD＝5。求等腰梯形ABCD的周长。
【试题答案】
1.
C
正确的是：①②③
错误的是：④（反例：直角梯形）
2.
在四边形ABCD中，AB≠DC，如果AB∥DC，AD＝BC那么∠A＝∠C
3.
分析：显然最小，设＝，＝+而与互补，则++＝
解得：＝
即＝。
4.
5.
解：∵BC∥AD，DE∥AB
∴四边形ABED为平行四边形。∵∠A＝
∴∠BED＝∠A＝，∠B＝∠ADE＝－，
又∵DE＝DC
∴∠DEC＝∠C＝－∠DEA＝，∠EDC＝－2∠C＝－2＝
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝+＝
由等腰梯形的性质知：此时，ABCD为等腰梯形。
6.
解：∵∠1＝∠2
∴为等腰三角形，∴
∵AB∥CD
∴∠CMB＝∠1＝∠2＝∠DMA
又M是CD的中点，即CM＝DM
∴≌，∴BC＝AD
∴梯形ABCD为等腰梯形。
7.
解：延长两腰BA、CD交于一点O，
∵∠BAD＝，∴∠OAD＝－＝
又∵AB＝DC，∴∠OBC＝∠OAD＝
而四边形ABCD是等腰梯形
∴△ADO和△BCO都为等边三角形
∴OA＝AD＝5。
∴AC⊥AB，∴在等边△BCO中，AC也是中线，即AB＝OA＝5
又OB＝10，而BC＝OB＝10
∴等腰梯形ABCD的周长＝5+10+5+5＝25。
【课后阅读】
在梯形中常用辅助线的位置
（1）过上底一端点，作一腰的平行线（如图
（a））。
（2）过上底两端点，向下底作垂线（如图
（b））。
（3）向上延长两腰构成三角形（如图（c））。
（4）过上底一端点作一对角线的平行线（如图
（d））。
（5）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交．通过构造全等三角形，把梯形化成等积的三角形（如图
（e））。
（6）过一腰的中点作另一腰的平行线（如图
（f））。
（7）作梯形的中位线（如图
（g））。分式、分式的基本性质、分式的加减
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
分式、分式的基本性质、分式的加减
二.
教学目标：
1.
了解分式的概念，明确分式与整式的区别，并能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式是表示现实世界中的一种量的数学模型，进一步发展符号感。
2.
领会分式基本性质的深刻内涵，并会熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分。
3.
会进行简单的分式加、减运算并会解决与之有关的化简、求值问题。
三.
教学重点与难点：
重点：
1.
分式的概念及分式的基本性质；
2.
分式的约分和通分；
3.
分式的加减运算。
难点：分式的约分和通分。
四.
课堂教学
（一）知识要点：
知识点1：分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
知识点2：分式无意义、有意义：当分式的分母的值为0时，分式没有意义；当分式的分母的值不为0时，分式有意义。
知识点3：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。式子表示就是：，（其中M是不等于0的整式）
知识点4：分式的约分：根据分式的基本性质，
把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。
知识点5：最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分通常要将分式化成最简分式或整式。
知识点6：分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。
知识点7：最简公分母：异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂和积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
知识点8：分式的加减法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母的分式相加减，先通分，再加减。
通常，分式相加减所得的结果应化成最简分式或整式。
【典型例题】
例1.
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
解：∵（3）（4）（6）（7）的分母均不含字母，∴它们是整式。
（1）（2）（5）（8）（9）（10）均为分式。
评析：看“分母中是否含有字母”是判别一个代数式是否为分式的关键所在。不能误认为是分式，觉得π是字母，其实它是一个无理数。也不能误认为不是分式。
例2.
x取何值时，分式（1）无意义？（2）有意义？
解：（1）
由分母（x+1）（x－2）=0得，x+1=0或x－2=0，∴x=－1或x=2，而当x=－1或当x=2时，分式无意义。
（2）由分母（x+1）（x－2）≠0得x≠—1且x≠2，即当x≠－1且x≠2时，分式有意义。
评析：有些分式问题，不能先化简，再求字母的取值范围，注意答案中“或”、“且”的用法。
例3.
x为何值时，分式的值为正？
解：由题意可得：或
解得x>5或x<
∴当x>5或x<时，分式的值为正。
评析：本题要考虑两种情况，同时顾及到分子、分母不能为0。
例4.
不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数都变为整数。
（1）
（2）
解：（1）原式
（2）原式=
评析：把分子、分母中各项的系数都化为整数的理论依据是分式的基本性质，不会改变分式的值。
例5.
约分：
（1）；
（2）；
（3）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
评析：约分时找公因式的方法是先从系数看起，然后看字母，约去指数较低的字母或因式；当分式的分子或分母是多项式时，需要先进行因式分解。
例6.
求下列各式的最简公分母并通分。
，，
解：(2x－4)2=[2(x－2)]2=4(x－2)2，
6x－3x2=－3x(x－2)，
x2－4=(x+2)(x－2)
∴最简公分母是12x(x+2)
(x－2)2,
故=，=
=。
评析：如果分母出现多项式应先因式分解，并且要注意求系数的最小公倍数和因式的最高次幂的积作为最简公分母，不能简单地用所有分母的积作为最简公分母。
例7.
计算：
（1）
（2）
解：（1）原式=
（2）原式=
评析：（1）分式中的分数线具有“÷”和“（
）”双重作用，分子作加减运算时先把括号写出来，以免产生错误；（2）分式运算的最后结果要化成最简分式或整式。
例8.
计算
解：原式==
==
例9.
计算：
解法1：
原式=
=
=
解法2：原式=
==
评析：（1）在分式运算中，整式部分的分母应看作分母是“1”，并要注意分数线的括号作用，以免搞错符号（2）通分时既可以把各个分式同时通分，也可以分层次通分，而分层次通分往往更简便。
例10.
已知两个分式：其中x≠±2。下面有三个结论：
（1）A=B；（2）A、B互为倒数；（3）A、B互为相反数，请问哪个正确？为什么？
解：B==
比较可知，A与B只是分式本身的符号不同，所以A、B互为相反数。
评析：解决此类问题的关键是对某个分式进行化简，然后比较，再作出选择，本题通过创设新情境，采用灵活设问的方式对学生进行能力考查。
【模拟试题】（答题时间：35分钟）
（一）选择题：
1.
当x为任意实数时，下列分式中一定有意义的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知分式的值为零，则x的值为（
）
A.
±3　　　　　　B.
3
C.
－3
D.
不存在
3.
若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（
）
A.
不变
B.
是原来的3倍
C.
是原来的
D.
是原来的
4.
在（1）
，（2），（3），（4）中与分式相等的是（
）
A.
（1）
B.
（2）
C.
（3）
D.
（4）
5.
计算的运算结果是（
）
A.
m－n
B.
－m+n
C.
D.
(二)填空题
6.
当x=3、时，分式没有意义，则a=
.
7.
下列变形：①，②，
③，
④，其中正确的是
.
8.
已知实数x满足4x2－4x+1=0，则代数式 2x+的值为
。
9.
锅炉房储存了m(t)煤预定用t（天），要储存的煤比预定的多用d(天)，每天要节约用煤（t）
10.
当a=时，的值为
（三）解答题
11.
已知分式的值为，求的值
12.
已知：2x－3y＋z=0
,3x－2y－6z=0求
的值
13.
已知的值。
14.
计算：
（1）
（2）；
（3）
15.
已知的值。
【试题答案】
一.
选择题
1.
C
2.
B
3.
A
4.
D
5.
B
二.
填空题
6.
3
7.
①
8.
2
9.
10.
2－
三.
解答题：
11.
解：由题意得：
12.
解：由已知得
∴
∴原式=
13.
解：由已知得∴原式=
14.
解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=
15.
解：原式=
当数量变化的常用方法；物体位置的变化的表示方法
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
数量变化的常用方法，从运动变化的角度分析数量之间的关系；物体位置的变化的表示方法及对变化着的物体位置的描述。
[目标]
1.
了解表格、图形和代数式都是记录数量变化的常用方法，会观察图形和表格，从中获取所需信息，并能从运动变化的角度分析数量之间的关系。
2.
会描述事物运动的路径。
3.
会用变化的数量描绘事物位置的变化。
二.
重点、难点：
1.
重点是通过表格、图形观察变化的数量之间的规律与联系，物体位置的变化的表示方法。
2.
难点是对变化的数量关系进行综合分析，对变化着的物体位置的描述。
三.
知识要点：
1.
用表格、图形和代数式记录数量的变化，对变化的数量关系进行综合分析。
2.
用一对有先后顺序的数据来描绘事物的位置，用变化的数据来描绘位置的变化。
【典型例题】
例1.
下表是某公司2006年上半年每个月的产值情况：
请根据上表回答问题
（1）在这半年中，哪个月产值最高？哪个月产值最低？各是多少？
（2）在相邻两个月的产值中，几月到几月的产值增幅最大？
分析：认真观察所给表格，弄清楚表格中的变量之间的关系是解题的重点，本题中产值（万元）随月份的变化而变化。
解：（1）6月份产值最高，是30万元；1月份和2月份产值最低，都是19万元。
（2）5月份到6月份的产值增幅最大，增加了4万元。
例2.
如图所示的是某市解放后人口情况变化图
（1）填写下表：
年份
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口（万人）
（2）从图中你能得到哪些信息？
分析：将图中人口数据填入相应的表格内，结合图形与表格进行分析。
解：（1）表中人口数从左往右依次为10，20，50，84，102，117。
（2）从图中可以看出：
①该市人口数从1950年到2000年逐渐增加；
②从1950年到2000年这50年中，人口增加了117－10＝107（万人）；
③从1970年到1980年这10年该市人口增幅最大，达34万人。
例3.
为了掌握水库的蓄水情况，现需测水库的水位变化，下表是某水库管理人员记录的一周内水位变化的情况（正数表示上升，负数表示下降）
日期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化（m）
0.21
0.06
－0.12
－0.19
－0.1
0.03
0.16
哪一天的水位变化最大？哪一天的水位变化最小？
分析：观察表中水位变化的情况，可知星期二比星期一下降0.15m，星期三比星期二下降0.18m，星期四比星期三下降0.07m，星期五比星期四上升0.09m，星期六比星期五上升0.13m，星期日比星期六上升0.13m，获得这些信息是解答此题的关键。
解：星期三比星期二水位下降0.18m，所以星期三水位变化最大；星期四比星期三水位下降0.07m，所以星期四水位变化最小。
说明：在理解过程中要防止出现不能准确分析数量变化规律的错误。如错解：星期二水位变化最大，星期五水位变化最小。
例4.
如图所示，点A表示2街与5大道的十字路口，表示为（2，5）点B是5街3大道的十字路口，用（5，3）表示，如果用（2，5）→（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，请你用同样的方法写出由A到B的另两条路径。
分析：本题中各“大道”与“街”的交叉口用一对数来表示，这对数是“街”与“大道”的十字路口，而（2，3）表示“2街3大道”的十字路口，而（3，2）表示“3街与2大道”的十字路口（本题答案不唯一）
解：（2，5）→（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（5，3）
（2，5）→（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）
说明：在用一对数来表示平面上物体的位置及其变化时，要注意在两个数的先后顺序不同的情况下，这对数所表示的意义不同。
例5.
“怪兽吃豆”是一种计算机游戏，图中的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置，如果用（1，2）表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么请你用同样的方式表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置。
分析：从图中看，第一个位置横向表示数是0，纵向表示数也是0，所以可用（0，0）来表示，第二个位置横向表示数是1，纵向表示数是0，所以可用（1，0）来表示。
解：（0，0）（1，0）（3，2）（3，3）（4，3）（4，4）（5，4）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
某工厂全年产值按季度变化情况如图示：
（1）填写下表：
季度
一
二
三
四
产值（万元）
（2）该厂
季度产值最高？
季度产值最低？
（3）观察图中相邻两个季度产值的变化情况，谈一下你的想法。
2.
如图所示的是某地区一天的气温随时间变化的示意图，观察图形，回答问题。
（1）这一天中，
时间气温最高？
时间气温最低？各是
摄氏度？
（2）20时的气温是
？
（3）
时的气温是6℃
（4）哪段时间内气温不断下降？
（5）哪段时间内气温持续不变？
3.
在某一个问题中，有两个相互关联的变化的数量x和y，它们始终按某一规律同时发生变化，这两个量的一些对应值如下表所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
－3
－1
5
7
9
…
（1）观察表中数量的变化规律，将表格补充完整；
（2）请猜想y与x之间的关系。
4.
要确定珠穆郎玛峰在地球上的位置，需要知道它的哪些数据？
5.
如图所示，表示三经街与一纬路的十字路口，表示一经街与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示由到的一条路径，请你用同样的方式写出另一条由到的路径。
6.
如图所示，如果点A的位置可用（2，5）表示，那么请你用同样的方法表示点B、C、D的位置。
7.
如图所示，图中点O的位置记为（7，4），请仿照，在图中依次描出下列各点：（6，6）（3，5）（2，6）（2，2）（3，3）（6，2），并顺次连接各点，你会发现什么？
【做一做】
迷宫救伙伴
你的伙伴被困在了迷宫(E1)里，很快就会爆炸，而你只能通过无线电对讲机告诉他走出迷宫路径。请两分钟内必须找到走出迷宫的路径，并通过遥控用房间代号指挥你的伙伴走出迷宫。请你用最快的速度把伙伴救出来。
分析：首先寻找到走出迷宫的路径，之后再说出路径中的各个房间的代号。
解：E1→E2→D2→D3→C3→B3→B4→C4→C5→D5→E5→E4→E3→出口
你还能有其它的路径吗？
【试题答案】
1.
（1）表中从左到右依次填40，50，80，120。
（2）该厂第四季度产值最高，第一季度产值最低。
（3）该厂第三季度到第四季度产值增幅最大，季度产值逐渐增大。
2.
（1）16时气温最高，4时气温最低，各是10℃
，－4℃。
（2）20时的气温是8℃。
（3）10时和22时的气温是6℃。
（4）从0时到4时，16时到24时气温不断下降。
（5）从12时到14时气温持续不变。
3.
（1）表中从左到右依次是1，3。
（2）y＝2x+3
4.
需要知道珠穆郎玛峰的经度和纬度。
5.
答案不唯一
如：（3，1）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（1，3）
或（3，1）→（2，1）→（2，2）→（1，2）→（1，3）
6.
B（3，4），C（4，3），D（2，2）
7.
提示：这个图像是一条鱼。等可能性、等可能条件下的概率
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
等可能性、等可能条件下的概率
二、教学目标：
1、掌握频率与概率的概念，了解频率与概率的区别与联系．
2、体会概率是描述不确定现象的数学模型
3、会列出一些类型的随机试验的所有等可能结果（基本事件），会把事件分解成等可能的结果（基本事件）．
4、会用列举法（即列表或画树状图）计算一些随机事件所含的可能结果（基本事件）数及事件发生的概率．
5、初步学会概率在实际生活中的运用
三、教学重点、难点：
重点：频率与概率的区别与联系，概率的计算，概率在实际生活中的运用
难点：如何求某一事件发生的概率及分析各种机会均等的可能性
四、课堂教学：
（一）知识要点
知识点1、概率的定义：
表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率．
知识点2、概率的表示方法：
等可能条件下的概率的计算方法：
说明：
1、其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数．
2、由于我们所研究的事件大都是随机事件．所以其概率在0和1之间．
概率是0表示该事件不可能发生，而概率是1则表示该事件一定发生或必然发生．
3、例如在抛掷一枚骰子的试验中，朝上的点数出现的所有等可能的结果共有6种（1、2、3、4、5、6）如果我们关注的“点数不大于4”，那么这一事件发生的可能结果有4种（朝上的点数分别为1、2、3、4）所以P（点数不大于4）＝
知识点3、等可能性：
设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现，而且每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性．
说明：无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备下列几个特征：①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等．这样的试验结果才具有等可能性．
知识点4、频率与概率
在试验中，某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值，而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小．
说明：
1、一个事件发生的频率在概率的附近上下波动，试验的次数越多，事件发生的频率就越接近该事件发生的概率
2、频率是经过试验得到的结果，而概率是经过理论分析的预测值或理论值．两者是不同的．当试验的次数很多的时候，频率就趋近于概率．
知识点5、转盘与概率
从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域，做成一个可以自由转动的安有指针的转盘，这样由于转盘转动的随机性，就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小，来确定指针指向某一特定的区域的概率．
如图，指针固定在原点当转盘转动后，指针指向A、B、C、D四个区域是等可能的（因为四个扇形的圆心角都是90度）所以指针指向每个区域的概率都是
【典型例题】
例1、从一副充分洗牌的扑克牌中任取一张
（1）这张牌是红色、黑色可能性哪个大？
（2）抽出的一张牌是5和抽出的一张牌是10，这两个事件是等可能的吗？
（3）抽出红桃5和黑桃10的可能性相等吗？
（4）抽出的牌是5和抽出王的可能性还是一样吗？若不相等，哪个事件发生的可能性大？
解：（1）一样大．（2）是等可能的（3）可能性相等（4）不一样．抽出的牌是5可能性大
例2、有三扇门，其中一扇门的后面是一辆汽车，另两扇门的后面则各有一只羊，你只能猜一次，猜中羊则可能牵走羊，猜中汽车开走汽车．当然大家都希望能开走汽车，现在假如你猜了某扇门的后面是车（例如1号门）然后主持人把无车的一扇门（例如3号门）打开，此时请问：你是否要换2号门？为什么？
解：不一定要换．因为既然3号门不是车，那么车应该在1号门与2号门之间，而这两个门出现的机会是等可能的．
例3、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球．这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意抓出1个球．问：
（1）会出现那些等可能的结果？
（2）摸出白球的概率是多少？
（3）摸出红球的概率是多少？
分析：制定一个随机事件的可能的结果时，（1）的求法容易出错．有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出2种颜色的球是等可能的，这是不对的．
解：（1）会出现5种等可能的结果
（2）摸出白球的概率是
（3）摸出红球的概率是
例4、从一副扑克牌中，任意抽一张．问：
（1）抽到大王的概率是多少？
（2）抽到8的概率是多少？
（3）抽到红桃的概率是多少？
（4）抽到红桃8的概率是多少？
分析：这里需注意的是一副纸牌有54张，第（2）问中抽到8包括4类，分别是红桃8、方块8，黑桃8和梅花8；在第（3）问中抽到红桃有13种情况：红桃A到红桃K．
解：（1）抽到大王的概率
（2）抽到8的概率是
（3）抽到红桃的概率是
（4）抽到红桃8的概率是
例5、一只不透明的袋中装有1个白球，1个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色放回搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都摸出红球的概率是多少？
解：我们可以画一个树状图来表达这次摸球事件
所以两次都摸出红球的概率是
我们也可以用列表的办法来表达这次摸球事件
1
2
白
红
黄
白
红
都是红
黄
例6、不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中蓝球的个数．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
解：⑴设蓝球个数为个，则由题意得
，
答：蓝球有1个
∴两次摸到都是白球的概率
=
=
例7、出示一个带指针的转盘，这个转盘被分成8个面积相等的扇形，并标上1、2、3……8，若每个扇形面积为单位1，转动转盘，转盘的指针的位置在不断的改变．
问题1：在转动的过程中当正好转了一周时指针指向每一个扇形区域机会均等吗？那么指针指向每一个扇形区域是等可能性吗？
问题2：怎样求指针指向每一个扇形区域的概率？它们的概率分别是多少？
问题3：在转动的过程中，当正好转了两周时呢？当正好转了n周呢？当无限周呢？
解：1、指针指向每一个扇形区域机会均等，指针指向每一个扇形区域是等可能性．
2、求概率的方法：
它们的概率分别是
3、不管转动几周概率不变
说明：①概率与指针经过的区域面积大小和整个转盘区域面积大小有关．但由于转盘区域面积一定．所以只与指针的指向区域面积有关，指针指向区域越大则概率越大．
②由本题的探索，归纳出不论转多少周，指针指向每个不同号码的扇形区域的概率是相等的，且概率大小与转的周数无关，这样可把无限周问题转化为一周来解决，把无限事件转化为有限事件来处理，进而把这种类型的几何概率型转化为古典概率型的问题．
例8、某商场为了吸引顾客，开展有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为16份，其中红色1份、蓝色2份、黄色4份、白色9份，商场规定：顾客每购满1000元的商品，就可获得一次转动转盘的机会，转盘停止时，指针指向红、蓝、黄区域，顾客可分别获得1000元、200元、100元的礼品，某顾客购物1400元，他获得礼品的概率是多少？他分别获得1000元、200元、100元礼品的概率是多少？若某顾客购满2100元的商品，求获得礼品的概率是多少？两次同时获得1000元礼品的概率是多少？
分析：①首先这位顾客有无获得一次转动转盘的机会？
②这个问题把几何概率型转化为古典概率型后，在试验过程中共有多少个结果？获得礼品的结果有几次？怎样求获得礼品的概率？
解：P（购物1400元获得礼品）＝
P（获得1000元）＝
P（获得200元）＝
P（获得100元）＝
P（购物2100元获得礼品）
P（两次同时获得1000元礼品）＝
例9、小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
你能否求出封闭图形ABC的面积？如能，请求出面积．如不能请说明理由．
解：由表可知，P（石子落在⊙O内）==0.5，故可估计S⊙O：
S封闭图形ABC=0.5，因为S⊙O=（m2），
所以S封闭图形ABC=2（m2）．
例10、某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．
解：列表方法表示为：
甲
乙
D
E
A
AD
AE
B
BD
BE
C
CD
CE
所以购买的方案是：
（1）AD，AE，BD，BE，CD，CE．
（2）
（3）AD或AE两种情况，分别讨论，列出方程组解决．
①设甲中选A种x台，乙中选E种y台：
（舍）
②设甲中选A种x台，乙中选D种y台：
所以A型7台．
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1、下列说法正确的是
（　　）
A、一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C、天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨
D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
2、同时抛掷两枚硬币，每次出现正面都向上的概率为（
）
A、
B、
C、
D、
3、下列事件是必然事件的是（
）
A、明天要下雨
B、打开电视机，正在直播足球比赛
C、抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1
D、买一张3D彩票，一定会中一等奖
4、袋中有4个除颜色外其余都相同的小球，其中1个红色，1个黑色，2个白色．现随机从袋中摸取一球，则摸出的球为白色的概率为（
）
A、1　　　　　　B、
C、
D、
5、在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（
）有
A、1
B、
C、
D、
图1
图2
6、如图中有四个可能转的转盘，每个转盘被分为若干等分，转动转盘，当转盘停止后，指针指向白色区域概率相同的是（
）
A、转盘1与转盘3
B、转盘2与转盘3
C、转盘3与转盘4
D、转盘1与转盘4
二、填空题
1、在掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为．如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约　　　　　次．
2、要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是2/5，可以怎样放球
（只写一种）．
3、某电视台综艺节目从接到的5000个热线电话中，抽取10名“幸运观众”，小颖打通了一次热线电话，她成为“幸运观众”的概率是
．
4、在抛掷一枚普通正六面体骰子的过程中，出现点数为2的概率是　　　．
5、一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会
摸到J、Q、K的机会（填“＜，＞或＝”）．
三、解答题
1、在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是．
（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，求x和y的值．
2、把一副普通扑克牌中的4张；黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
3、为举办毕业联欢会，小颖设计了一个游戏：游戏者分别转动如图的两个可以自由转动的转盘各一次，当两个转盘的指针所指字母相同时，他就可以获得一次指定一位到会者为大家表演节目的机会．
（1）利用树状图或列表的方法（只选其中一种）表示出游戏可能出现的所有结果；
（2）若小亮参加一次游戏，则他能获得这种指定机会的概率是多少？
4、有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
【试题答案】
一、选择题
1、D
2、A
3、C
4、B
5、D
6、A
二、填空题
1、75
2、两个黄球，三个白球
3、或0.002
4、
5、＞
三、解答题
1、（1）由已知得，=
，故y=x；
（2）由（1）得3y=5x，又=，故2x+20=x+y+10
即y=x+10，从而3（x+10）=5x，x=15，y=25．
2、解：（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为
（2）抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果用表格表示如下：
也可用树状图表示如下：
所有可能出现的结果
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（3，2）
（3，4）
（3，5）
（4，2）
（4，3）
（4，5）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
由表格（或树状图）可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种，所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为．
3、解：（1）
∴游戏共有6种结果．
（2）参加一次游戏获得这种指定机会的概率是．
4、解（1）
第一次摸的牌
第二次摸的牌
（2）P（两张牌面图形都是中心对称图形）=平面直角坐标系
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
平面直角坐标系
［目标］
1.
认识平面直角坐标系，知道点的坐标及象限的含义．
2.
能够在给定的直角坐标系中，根据点的坐标指出点的位置，会由点的位置写出点的坐标．
3.
掌握对称点的坐标关系．
4.
理解点的坐标的数值变化与点的位置变化的关系．
二
知识要点：
1.
平面上有＿＿＿＿且互相＿＿的2条数轴构成平面直角坐标系．水平方向的数轴称为＿＿＿，竖直方向的数轴称为＿＿＿，公共原点称为＿＿＿．写出某点的坐标时，＿＿＿应写在＿＿＿＿的前面．
2.
各象限点的符号特征：
象限
第一
第二
第三
第四
符号
（+，+）
x轴上的点，＿＿坐标为0
y轴上的点，＿＿坐标为0
3.
点的坐标特征：
（1）平行于坐标轴的直线上的点：平行于x轴的直线上不同的两个点的＿＿坐标相同，＿＿坐标不同；平行于y轴的直线上不同的两个点的＿＿坐标相同，＿＿坐标不同．
（2）象限角平分线上的点：第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标＿＿＿，可表示为（x，x）；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标＿＿＿＿＿，可表示为（　　　　）．
（3）对称的点P（a，b）
关于x轴对称的点的坐标为（　　，　），
关于y轴对称的点的坐标为（　，　），关于原点对称的点的坐标为（　，　）
4.
图形变换后点的坐标特征：
图形左右平移，对应点的＿＿坐标变化，＿＿坐标不变；图形上下平移，对应点的＿＿坐标变化，＿＿坐标不变
【典型例题】
例1.
已知平面直角坐标系中两点A（x，1）、B（－5，y）
（1）若点A、B关于x轴对称，则x=____，y=____；
（2）若点A、B关于y轴对称，则x=____，y=_____；
（3）若点A、B关于原点对称，则x=____，y=_____．
答案：略
例2.
已知点P（2m一5，m一1），当m为何值时：
（1）点P在二、四象限的角平分线上；
（2）点P在一、三象限的角平分线上．
答案：略
例3.
如图所示，在直角坐标系中，图（1）中的图案“A”经过变换分别变成图（2）至图（6）中的相应图案（虚线对应于原图案）．
试写出图（2）至图（6）中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化，对应点的坐标之间有什么关系
答案：略
例4.
已知点A（2，1），点B与点A关于y轴对称，点C与点A关于x轴对称，点D与点A关于原点O对称，求点B、C、D的坐标．
分析：如图，点B与点A关于y轴对称，所以y轴是线段AB的垂直平分线，从而点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，点B的横坐标与点A的横坐标互为相反数，类似地，可得点C与点D的坐标．
解：各点的坐标分别为：B（-2，1）
C（2，-1）
D（－2，－1）
例5.
如图①，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3）、B（3，1）、C（1，2）．
（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置各有什么关系？
（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置各有什么关系？
解：如图②，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全相同，△A1B1C1可以看作将△ABC向左平移6个单位长度得到．类似的，△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将△ABC向下平移5个单位长度得到．
请同学们思考：（1）如果将这个问题中的“横坐标都减去6”、“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”、“纵坐标都加2”，分别能得出什么结论？画出得到的图形．
（2）如果将△ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么结论？画出得到的图形．
（3）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向____________（或向_______）平移_________
个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向________（或向___________）平移______个单位长度．
例6.
已知：点A（6，2）、B（2，－4），求S△AOB（O为坐标原点）．
分析：解决这种图形的面积问题，需要认真挖掘图形特点，转化仍是解决问题的重要手段．
解：因为A（6，2）、B（2，－4）．
过点A作AC⊥y轴，垂足为C，
过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
所以AC=6，OC=2，BD=2，OD=4．
所以S△AOB=S直角梯形BACD－S△AOC－△BOD．
所以S△AOB=（2+6）×（2+4）×
－×6×2－×4×2＝14
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.
下列点中，位于直角坐标系第二象限的点是（
）
A.
（2，1）
B.
（－2，－1）
C.
（－2，1）
D.
（2，－1）
2.
在直角坐标系中，点A（3，1），点B（3，3），则线段AB的中点坐标是（
）
A.
（2，3）
B.
（3，2）
C.
（6，2）
D.
（6，4）
3.
在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），则线段AB的中点到原点的距离是（
）
A.
B.
1
C.
D.
2
4.
在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（
）
A.
（4，3）
B.
（－2，－1）
C.
（4，－1）
D.
（－2，3）
5.
若点P在第四象限，且到两条坐标轴的距离都是4，则点P的坐标为（
）
A.
（－4，4）
B.
（－4，－4）
C.
（4，－4）
D.
（4，4）
6.
点A（－4，－4）到原点的距离为（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
7.
点A（－2，－3）和点B（2，3）在直角坐标系中（
）
A.
关于x轴对称
B.
关于y轴对称
C.
关于原点对称
D.
不关于坐标轴和原点对称
8.
一辆汽车行驶的路程与行驶时间的关系如图所示．下列说法正确的是（
）
A.
前3h中汽车的速度越来越快
B.
3h后汽车静止不动
C.
3h后汽车以相同的速度行驶
D.
前3h汽车以相同速度行驶
9.
如图，直角坐标系中，正方形ABCD的面积是（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
10.
若xy>0，则点（x，y）在直角坐标系中位于（
）
A.
x轴上
B.
y轴上
C.
第一或第三象限
D.
第二或第四象限
二、填空题（每空2分，共16分）
11.
在直角坐标系中，点A（－3，m）与点B（n，1）关于x轴对称，则m=________，n=________．
12.
点P（a+1，a－1）在直角坐标系的y轴上，则点P坐标为________．
13.
在直角坐标系中，点A（x，y），且．试写出两个满足这些条件的点：________．
14.
在直角坐标系中，点A（－1，1），将线段OA（O为坐标原点）绕点O逆时针旋转得线段OB，则点B的坐标是________．
15.
点P（a，3）到y轴的距离为4，则a的值为________．
16.
在直角坐标系中，点A（0，2），点P（x，0）为x轴上的一个动点，当x=________时，线段PA的长得到最小值，最小值是________．
三、解答题（第17题、18题各9分，第19、20、21题各12分，共54分）
17.
下表记录的是某市某天一昼夜温度变化的数据：
时刻/时
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
温度/℃
－3
－5
－6.5
－4
0
4
7.5
10
8
5
1
－1
－2
请根据表格数据回答下列问题：
（1）早晨6时和中午12时的气温各是多少度？
（2）这一天的温差是多少度？
（3）这一天内温度上升的时段是几时至几时？
18.
已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5．试求点N的坐标．
19.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，试建立适当的直角坐标系，写出各顶点的坐标．
20.
在同一直角坐标系中分别描出点A（－3，0）、B（2，0）、C（1，3），再用线段将这三点首尾顺次连接起来．求△ABC的面积与周长．
21.
在平面直角坐标系中，分别描出点A（－1，0），B（0，2），C（1，0），D（0，－2）．
（1）试判断四边形ABCD的形状；
（2）若B、D两点不动，你能通过变动点A、C的位置使四边形ABCD成为正方形吗？若能，请写出变动后的点A、C的坐标．
【试题答案】
一、选择题
1.C
2.B
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.B
9.B
10.C
二、填空题
11.
－1，－3
12.（0，－2）
13.
答案不限
14.
（0,-）
15.±
4
16.
0，
2
三、解答题
17.
（1）－4℃，7.5℃
（2）16.5℃
（3）4点－14点
18.
N
（±5，
2）
19.
答案不限
20.
S△ABC=7.5
C△ABC=＋10
21.（1）菱形
（2）A（－2，
0）
C（2，
0）一元一次不等式
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
第七章
一元一次不等式复习
二.
教学目标
1.
了解不等式的意义，会运用不等式的性质解一元一次不等式和一元一次不等式组，并
会借用数轴确定不等式（组）的解集；
2.
会求一元一次不等式（组）的特殊解；
3.
认识一元一次不等式（组）的应用价值，会从生活实例中提炼不等量关系，会根据不等量关系建立不等式（组）解决实际应用问题；
4.
进一步领悟数形结合的思想、分类讨论的思想。
三.
教学重点和难点
重点：解一元一次不等式（组）以及根据不等量关系建立不等式（组）解决实际应用问题；
难点：运用不等式（组）解决实际应用问题。
四.
课堂教学
（一）知识要点：
知识点1：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
知识点2：不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。
知识点3：不等式的解集在数轴上表示：
（1）x＞a ：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示；
（2）x＜a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示；
（3）x≥a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部分来表示；
（4）x≤a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。
知识点4.
不等式的性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
知识点5：一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
知识点6：解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x＞a （x≥a）或x＜a（x≤a）的形式。
知识点7：一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
知识点8：不等式组的解集：不等式组中所有的不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
知识点9：解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。
知识点10：解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式，然后再求出这几个不等式解集的公共部分。
知识点11：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数：
方程刻画现实世界之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系。当函数中一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的一个变量取值的范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的取值范围。
【典型例题】
例1.
求不等式的正整数解.
解：解不等式，
因为不大于3的正整数有1，2，3三个，所以不等式的正整数解是1，2，3。
评析：要求不等式的正整数解，可以先求出这个不等式的所有解，也就是求出这个不等式的解集，再从中找出正整数解。在去括号时易出现“”的错误。不等式的整数解问题是近年来中考常见题型。
例2.
当k是什么自然数时，方程的解是负数。
解：解关于x的方程
去分母，得
移项，得.
所以.
依题意，得不等式<0.
解之，得k<3.
所以满足题目条件的k的值是1，2.
所以当自然数k取1或2时，方程的解是负数.
评析：本题应首先由所给方程求出它的解，这个解是由含有k的代数式来表示的，再利用这个负数的条件，则可得到关于k的不等式，解之可求k的范围。最后在k的范围内，找出满足题目条件的k的值。本题易错点在于对结果的处理，忽略“k是自然数”。研究有关方程解的问题的一般思路是先解方程，再对解进行讨论。
例3.
x取何值时，代数式的值不小于2？
解：依题意，得≥2
解这个不等式，得
x≥3.
所以当x取不小于3的值时，代数式的值不小于2。
评析：这类问题通常是先列不等式，再解不等式，但要注意“不小于”的含义。
例4.
设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为
A.
○□△　　　B.
○△□　　　C.
□○△　　　D.
△□○
解：设“○”、“□”、“△”的质量分别为x、y、z，由图示可知
解得，故应选D。
评析：本题将方程与不等式结合，且呈现方式也很特别，可谓设计巧妙。
例5.
求使方程组的解x，y都是正数的m的取值范围。
解：
解这个不等式组，得＜m＜7。
∴当＜m＜7时，原方程组的解都是正数。
评析：关于方程组的解的讨论问题常用方法是先解方程组再讨论。
例6.
已知不等式组
求（a+1）（b－1）的值。
解：解不等式①，得＜
。
解不等式②，得x＞3+2b.
∴不等式组的解集是3+2b＜x＜.
又∵这个不等式组的解集是－1＜x＜1，
∴（a+b）（b－1）=3.
评析：这类问题是有关不等式解的讨论问题中较难的题目。
例7.
哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机机房只配置1台教师用机，若干台学生用机。其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元。已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
解：设该校拟建的初级机房有x台计算机，高级机房有y台计算机。根据题意，
答：该校拟建的初级机房、高级机房应分别有计算机56台、28台或58台、29台。评析：本题是方程与不等式应用综合题，有一定的难度。
例8.
某人要到相距2.4千米的地方去办事，要求在18分钟内到达。已知这人每分钟行走90米，若跑步每分钟可走210米.问这人走这段路程，至少要跑几分钟？
解：设这人走完全程跑步时间为x分钟，根据题意，得
.
解这个不等式，得.
答：这人在18分钟走完全程，至少要跑6.5分钟.
评析：先根据关系式“行走的路程+跑步的路程≥2.4千米”，列出不等式，再求解.解答时要注意统一单位。本题牵涉到的量较多，易张冠李戴。行程问题是常见题型，这类问题常用示意图分析。
例9.
某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，则月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设投资x元，在月初出售，到月末可获利元；在月末出售可获利元，由题意有：
（1）当=时，解：
（2）当<时，解：
（3）当>时，解：
即当商场投入20000元时，两种经营方式获利相同，当投资超过20000元时，第二种方式获利较多，当投资不足20000元时，按第一种方式获利较多。
评析：根据题意列出月初与月末出售获利的关系式，然后比较二者的大小。得出两个函数式后，利用解不等式，对经营方式进入择优决策，不等式的应用在此得到了很好的发挥。本例运用解不等式为市场营销中的购销行为提供决策。
例10.
某学校八年级（3）班两名老师组织学生外出旅游，联系两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司给的优惠条件是一名班主任老师全额收费，其余7.5折，乙公司给的优惠条件是全部师生8折收费。
（1）当人数超过多少时，甲比乙更优惠。
（2）若甲公司的优惠价比乙便宜，问学生人数是多少？
解：（1）设标价是每人a元，学生人数是x人，则
（2）依题意得
解得x=8.
评析：首先分别表示出两家旅行社的费用，再比较。本例以旅游为背景，借助不等式这一知识为旅游提供合理的消费决策。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
（一）选择题：
1.
如果a＜0，b＞0，
a+b＜0，那么下列关系式中正确的是（
）
A.
a＞b＞－b≥a
B.
a＞－a＞b＞－b
C.
b＞a＞－b＞－a
D.
－a＞b＞－b＞a
2.
如果2m，
m，
1－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m的取值范围是（
）
A.
m＞0
B.
m＞
C.
m＜0
D.
0＜m＜
3.
不等式组整数解的个数是（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.
亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元，设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（
）
A.
30x－45≥300
B.
30x+45≥300
C.
30x－45≤300
D.
30x+45≤300
5.
若关于x的一元一次不等式组无解。则m的取值范围是（
）
A.
m＞0
B.
m＞－2
C.
m≥－2
D.
m＜0
（二）填空题：
6.
数x在数轴上的点离开原点的距离不大于4，则x应满足的不等式是
。
7.
如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是
。
8.
已知等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是
。
9.
若不等式组的解集是－1＜x＜1，则（a+b）2006=
。
10.
当x
时，函数y=2x－4的图象在x轴下方；已知l1：y=2x－3与l2：y=x+2中，当x
时，l1在l2的上方。
（三）解答题：
11.
若不等式x＜－2解集中的最大整数为a，不等式x＞解集中的最小偶数为b，求的值。
12.
已知关于x的方程5x－2m=3x－6m+1的解x满足－3＜x≤2。求m的取值范围。
13.
将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，求这一箱苹果的个数与小朋友的人数。
14.
学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/本。甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问购买笔记本数在什么范围内到甲店更合算。
15.
若，求m为何值时，y为正数。
【试题答案】
（一）选择题：
1.
D
2.
C
3.
C
4.
B
5.
C
（二）填空题：
6.
≤4（或－4≤x≤4）；
7.
a＜－1
；
8.
x＞
；
9.
1
；
10.
x＜2，x＞5；
（三）解答题：
11.
1
；
12.
≤m＜
；
13.
42，6或37，5
；
14.
x＜280
；
15.
m＜4
。三角形、梯形的中位线
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
三角形、梯形的中位线
学习目标：
1.
掌握三角形、梯形中位线的概念、性质.
2.
会利用三角形中位线、梯形中位线的性质解决有关问题.
3.
体会转化的数学思想方法.
二.
重点、难点：
三角形、梯形的中位线的概念、性质及其应用是本部分的重点；而灵活的应用性质解决问题及转化的数学思想方法的体会是难点.
三.
知识要点：
1.
三角形的中位线：
（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
如图，DE是△ABC的中位线，则DE与BC有怎样的位置和数量关系
∵DE是△ABC的中位线
∵DE∥BC，
（3）三角形的中位线与三角形的中线的区别.
2.
梯形的中位线：
（1）概念：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
（2）性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
如图，EF是梯形ABCD的中位线，且AD∥BC，则EF与AD、BC有怎样的位置和数量关系呢
∵EF是梯形ABCD的中位线
∴∥AD∥BC，
3.
数学思想方法：
（1）旋转变换思想：从三角形、梯形中位线性质的探究中可以得出利用旋转（特别是中心对称）可以把问题转化成以前的知识解决;
（2）化归思想：梯形的中位线性质研究是转化为三角形的中位线知识解决问题，这是化归思想的具体体现.
【典型例题】
例1.
（1）如果△ABC的3条中位线分别为3cm、4cm、5cm，那么△ABC的周长为
cm，
△ABC是
三角形.
（2）梯形的一底长6cm，中位线长10cm，求另一底的长.
（3）设梯形中位线长为l，高为h，则梯形的面积可以表示为S=
.
解：
（1）24cm，
直角三角形.理由：根据三角形的中位线性质及勾股定理.
（2）14cm，
理由：根据梯形中位线的性质得到.
（3）S=lh，
理由：由梯形的中位线的性质得到：，所以S=lh，这是梯形面积公式的另一种表示形式.
例2.
如图，已知△ABC中，D为AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足为E.F是BC的中点.已知BD=6cm.求EF的长.
分析：要求EF的长，只要找出EF与已知线段BD的数量关系，因为F是BC的中点，可以想到EF可能为△CBD的中位线.为此，只要证明E为CD的中点即可.
解：在△ACD中，
∵AD=AC，AE⊥CD，
∴AE为△ACD的中线（三线合一），
即E为CD的中点.
又∵F是BC的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴（cm）（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）
例3.
如图，已知：在△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别为AC、AB、BC的中点，CE与DF相等吗 试说明理由.
分析：由于DF与CE是四边形CDEF的两条对角线．故要证CE=DF，只要证明四边形CDEF为矩形.现已知∠DCF=90°．只要再证四边形CDEF为平行四边形．
解：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC.
同理，EF∥AC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
又∵∠DCF=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CE=DF
例4.
梯形ABCD中，AD∥BC，且BC>AD，
∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点.试说明：
解：过点E分别作EM∥AB，EN∥DC，交BC于M、N，则四边形ABME为平行四边形，
∴AE=BM.同理，DE=CN，
∴MN=BC-（BM+CN）=BC-AD.
又∵∠B+∠C=90°，
∴∠EMN+∠ENM=90°，
∴∠MEN=90°
而F、E为AD、BC的中点，BM=AE=DE=CN．
∴F为MN中点，
∴
评注：问题的解决就是利用化归思想把条件利用平行进行转移，并集中在三角形中解决问题.
例5.
如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AB=AD+BC.
（1）
当P为AB中点时，试说明：PC⊥PD;
（2）当P为AB上动点，是否存在异于AB中点的一点，使PC⊥PD 若存在，请找出来，不存在，说明理由.
分析：要证明PC⊥PD，只要证明∠1+∠2=90°，为此，可以取DC的中点H.
解：（1）如图1，取DC中点H，连结PH，则
即PH=DH=CH，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4.
而∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠3+∠4=90°
∴PC⊥PD.
（2）如图2，在AB上取一点P′，使P′A=AD，
由于AB=AD+BC，且AD∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠1+∠2+∠A+∠3+∠4+∠B=
360°，且∠A+∠B=
180°
∴∠1+∠2
+∠3+∠4
=
180°，
∴2∠2+2∠3=
180°，即∠2+∠3=
90°
∴∠D
P′C=
90°，
∴D
P′⊥C
P′.
因此，存在这样的异于AB中点的点P，使PC⊥PD.
例6.
如图，是一个木梯子，DA1=A1A2=A2A3=A3A，CB1=B1B2=B2B3=B3B.如果最上端的横木CD长为a，最下端的横木AB长为b，且AB∥CD，试用含a、b的代数式表示中间每根横木的长.
分析：由图可知，四边形ABCD是一个梯形，A2B2是它的中位线，利用中位线的性质可以求出它的长度，同时又可知A1B1、A3B3分别是梯形A2B2CD、ABB2A2的中位线，也可表示出它们的长度.
解：因为DA1=A1A2=A2A3=A3A，CB1=B1B2=B2B3=B3B，
所以DA2=AA2，CB2=B2B，即A2、B2分别是梯形ABCD的腰
AD、BC的中点.
根据梯形中位线的定义，得到A2B2是梯形ABCD的中位线，
根据梯形中位线的性质，可以得到A2B2分别平行于AB、CD，并且
同理可知A1B1、A3B3分别是梯形A2B2CD、ABB2A2的中位线，所以
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为
，则中位线长为
cm．
2.
梯形的高是4，面积是32，上底长为4，则梯形的中位线长为
，下底长为
．
3.
已知等腰梯形的上、下底长分别为
2cm和6cm，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为
cm2．
4.
已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为
8cm的等边三角形，则此梯形的中位线长为
cm．
5.
梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为
．
6.
梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为
．
7.
若等腰梯形的腰长是5cm，中位线是6cm，则它的周长是＿＿＿cm．
8.
若梯形的一底长是14cm，中位线长是16cm，则另一底长为＿＿＿cm．
9.
已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是
．
10.
梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是
．
11.
在梯形ABCD中，AB//CD，DC：AB=1：2，E、F分别是两腰BC、AD的中点，则
（
）
A.
1：4
B.
1：3
C.
1：2
D.
3：4
12.
直角梯形中，上底和斜腰长均为a，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（
）
A.
B.
a
C.
D.
都不对
13.
已知：梯形ABCD中，AD//BC（AD14.
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，M、N分别是两条对角线BD、AC的中点，说明：MN∥DC且MN＝（DC－AB）．
15.
如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD的中点．
（1）测量顶点A，B到点O的距离，并做出猜想；
（2）你的猜想正确吗？为什么？
16.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=BD，且AD＝5cm，BC＝12cm，求该梯形的中位线长．
17.
已知：在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F、分别为AB、BC、CA的中点．四边形EFDH是等腰梯形吗？为什么？
18.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AB中点，连结EC、ED、CE⊥DE，CD、AD与BC三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．
【试题答案】
1.
12
2.
8，12
3.
16
4.
6
5.
7：9
6.
22
7.
22
8.
18
9.
20
cm2
10.8：5
11.
D
12.
C
13.
提示：证明△AMN≌△BME，得到AN=ME，又AN∥ME，所以四边形ANEM是平行四边形．
14.
连结AM并延长交CD于点E．
证明△ABM≌△EDM，得到：AM=ME，AB=DE
从而MN是△AEC的中位线
15.
猜想：OA=OB，理由是：取AB的中点E，则OE⊥AB，且AE=BE，所以，OA=OB
16.
过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，并过点D
作DF⊥BE，垂足为F，容易知道△BDE为等腰直角三角形，
所以DF=8.5，而DF=BC+AD的一半，故中位线的长为8.5．
17.
DHEF为等腰梯形．提示：利用三角形的中位线的性质即可．
18.
CD=AD+BC．提示：利用梯形的中位线的性质即可．线段、角的轴对称性
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
线段、角的轴对称性
［学习目标］
探索基本图形（线段、角）的轴对称性及其相关性质。
二.
重、难点：
1.
线段的垂直平分线的性质及其应用；
2.
角平分线的性质及其应用。
三.
知识要点：
1.
线段的轴对称性
（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
（线段的对称轴不只一条，除了它的垂直平分线，还有它本身。）
（2）线段垂直平分线及其性质。
a）
线段垂直平分线
垂直且平分—条线段的直线叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。
（线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合）
b）
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（性质定理）
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定定理）
c）
作法：
①分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
②过两点做直线。
直线就是线段的垂直平分线。
［注意］：
平面内的曲线被理解为平面内适合某种条件的点的集合，必须满足下列两个条件，缺一不可：
①
曲线上的每一个点都要具备某种条件；
②
每个符合某种条件的点都要在这条曲线上。
2.
角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴。
（2）角平分线及其性质。
a）
角平分线
由角的顶点出发到角的两边距离相等的一条射线叫做角平分线。
（角平分线是到角两边距离相等的点的集合）
b）
角平分线的性质
①
角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；（性质定理）
②
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定定理）
【典型例题】
例1.
求作一点，使点到已知的两边的距离相等，且到已知点的距离相等。
作法：①做的平分线；
②连接，作的垂直平分线MN，交于。
点即为所求点。
例2.
已知：如图，在ΔABC中，AB、BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线上吗？为什么？
分析：围绕着“中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点，在这条线段的中垂线上”。
答：点O在AC的中垂线上。因为AB、BC的中垂线交于点O，由中垂线的性质知，OA＝OB，OC＝OB，所以OA＝
OC，所以O在AC的中垂线上。
例3.
如图，中，，边的垂直平分线分别交于点。，求的周长。
分析：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
解：∵是线段的垂直平分线，即，
∴的周长。
例4.
如图所示，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D＝30。求∠A的度数。
分析：∠D位于△BCD中，∠A位于△ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形内角和定理解决问题，就必须寻求两个三角形中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上
。
解：由已知，∠D＝30°。在△BCD中，
∠CBD＋∠BCD＝180°－30°＝150°
①
∵BD是∠ABC的平分线，
∴
②
又∵CD是∠ACE的平分线，∴
从而
③（三角形外角定理）由①，②，③知，
即
∴
∴
说明：解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡。细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提。
例5.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D。
（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是______________。
（2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是_______________。
分析：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
解：（1）作DEAB于E。
∵D在∠BAC的平分线上，
∴DC＝DE＝BC－
BD＝8－5＝3
（2）∵DC＝DE＝6，
又∵BD：DC＝3：2，
∴BC＝DC＝15
例6.
如图，是的边上的点，在上求一点，使的周长最小。
作法：（1）作点关于直线的对称点；
（2）连结交于M，点M就是所求的点。
证明：在上任取一点，连结。
∵是关于直线的轴对称点，
∴。
在中，
，
∴，
即的周长的周长。
∴的周长最小。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.
若点P在∠BAC的平分线上，它到AB的距离为3cm，则它到AC的距离为________cm。
2.
如图，在△ABC中，
∠ACB＝，AB的中垂线交BC于E，垂足为D，∠CAE:∠EAB＝3:2，则∠B＝________。
3.
如图，中，的垂直平分线交于，交于，的周长为12，，则的周长为________。
4.
下列说法中正确的是
（
）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等
②角是轴对称图形
③线段不是轴对称图形
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（A）①②③④
（B）①②③
（C）②④
（D）②③④
5.
到三角形的三个顶点距离相等的点是
（
）
（A）三条角平分线的交点
（B）三条中线的交点
（C）三条高的交点
（D）三条边的垂直平分线的交点
6.
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA＝100°，则（
）
（A）DE>DF
（B）DE（C）DE＝DF
（D）不能确定DE、DF的大小
7.
A、B为直线MN外两点，且在MN异侧，A、B到MN的距离不相等，试求一点P，满足下条件：①P在MN上，②｜PA－PB｜最大。
8.
如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？
9.
（附加题）如图，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PE。求证PE＞PA。
【试题答案】
1.
3
2.
3.
简析：
的周长＝＋＋＝＋＋2＝的周长＋2＝＝22。
4.
C（排除法：③显然不对）
5.
D
6.
B
7.
作B关于MN的对称点B′再作直线AB′交MN于P。P即为所求。
此时｜PA－PB｜＝｜PA－PB′｜＝AB′，另取MN上一点P′，连P′A，PB，P′B′，∴P′B′＝P′B。
｜P′B－P′A｜＝｜P′B′－P′A｜＜｜PA－PB′｜（三角形两边之差小于第三边）
∴P为所求。
8.
解：①
作点A关于EF的对称点A′
②
连结A′B交EF于点C则沿AC撞击A球，必沿CB反弹击中B球。
9.
解：延长BA至C′，使AC＝AC′，连结C′E。
∵∠BAD＝∠DAC，AD⊥MN
∴∠BAD＋∠C′AE＝∠DAE＝90°＝∠DAC＋∠CAE
∴∠CAE＝∠C′AE
又C′A＝CA
AE＝AE
∴△C′AE≌△CAE（SAS）
∴EC＝EC′
C′E＋EB＞BC′
∴BE＋EC＞BA＋AC
∴PE＞PA。生活中的不等式；不等式的概念和性质
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
生活中的不等式；不等式的概念和性质
二.
教学目标：
1.
感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义；
2.
经历由具体问题建立不等式的过程，初步体会不等式是刻画现实世界的一种数学模型；
3.
知道不等式的解与解集的意义，会在数轴上表示不等式的解集，初步感受数形结合思想；
4.
经历不等式性质的探索过程，了解不等式的基本性质，并能进行简单运用。
三.
教学重难点：
教学重点：
1.
从生活实例中提炼不等关系；
2.
不等式及不等式的解与解集的概念，在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.
不等式的三条基本性质；
教学难点：
1.
准确理解实例中的关键词，如“最”、“非负数”等。
2.
不等式的解与解集的区别与联系。
3.
不等式的性质③及运用。
四.
课堂教学：
（一）知识要点
知识点1：不等式的概念：
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
归纳：根据不等式的意义，常用的不等号有下面的4种形式.
种类
符号
读法
举例
小于号
＜
小于
2＋3＜6，x<－4
大于号
＞
大于
2＋3＞4，x＞－10
小于或等于号
≤
小于或等于（不大）于）于）
x≤8
大于或等于号
≥
大于或等于（不小）于）于）
x≥5
知识点2：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如，x＝3.5、5、6都是不等式x－3＞0的解，x＝－1、0、2、3、3.5、都是x－4＜0的解.
知识点3：不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。
不等式x＋2＞5的解集，可以表示成x＞3.
x＞3表示x取哪些数？
在数轴上表示大于3的数的点应该在数3所对应点的左边还是右边？（右边）因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）.如图所示：
同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，
那么它表示x取哪些数？
此时在作x≤－2的数轴表示时，要包括－2的对应点，因而在该点处应画实心圆点.如图所示：
总结：在数轴上表示不等式解集的要点：
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。
知识点4：等式的性质：
①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的性质与等式的性质比较如下表：
等式的性质
不等式的性质
1.
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，
a―c＝b―c
1.
如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
a―c＞b―c
2.
如果a＝b，且c≠0，
那么ac＝bc，
＝
如果a>b，且c>0，
那么ac>bc，
>；如果a>b，且c<0，
那么ac<.
注意：
1.
不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等号一定要改变方向.
2.
本课学习了不等式的两条基本性质，它是解不等式的理论基础.运用它们，我们能将不等式进行变形，但要注意不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典型例题】
例1.
用不等式表示下列数量之间的关系：
（1）与5的和不大于2；
（2）的3倍与的差是非负数；
（3）某班学生从家到校的路程（）最远是4km；
（4）某校男子100m跑的记录是11.36（），在今年的校田径运动会上，小刚的100m跑成绩是（），打破了该校男子100m跑的记录。
解：（1）
；
（2）
（3）
（4）
例2.
某食品包装上标有“净含量”，这包食品的合格净含量的取值范围
是
。
解：
例3.
下列说法正确的是（
）
A.
一个解。
B.
解集
C.
不等式的解集是
D.
不等式的解集是
解：选D
例4.
在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
例5.
一个三角形三边的长都是整数，它的周长是偶数，已知其中的两条边长分别是4和2006，则满足上述条件的三角形个数为（
）
A.
1
B.
3
C.
5
D.
7
解：第三边的长c满足：又因为c也是
偶数，故c＝2004或2006或2008，所以选B。
例6.
若，则下列不等式一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
解：选D
例7.
已知关于的不等式，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
解：由于不等号的方向发生了改变，所以∴，选B
例8.
若不等式，则不等式
。
解：由已知得。
例9.
如图所示，天平右盘中的每个砝码的质量都是1（g），则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为：
解：选A
例10.
已知，其中，试说明，并指出的大小关系。
解：
∵
∴
∴，
即
由此可得
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）选择题：
1.
在数学表达式：（1），
（2），
（3），
（4），（5）（6）中，不等式的个数是（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
对于任意实数，下列不等式一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
下列说法中正确的有（
）
①5是的解，②不等式的解有无数个，
③是不等式的解集，
④不等式有无数个整数解。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.
将不等式化成“”或“”的形式，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
若，则有（
）
A.
B.
C.
D.
（二）填空题
6.
用不等式表示：的绝对值与1的差不小于1
。
7.
不等式的最小整数解是
。
8.
如图，写出所表示的不等式的解集为
。
9.
若，则
，根据
。
10.
已知方程，则不等式的解集为
。
（三）解答题
11.
用不等式表示下列数量关系：
（1）李明同学的体重为60kg，张亮体重kg，不比李明重。
（2）钱敏同学短跑速度为每秒7米，王军的速度为每秒米，而王军比钱敏跑得快。
（3）某工作环境的噪音不得超过20分贝，某天环保人员检测其工作环境噪音为分贝，
检测结果为超标。
12.
溶液的酸碱度常用pH表示，pH的范围通常在0~14之间，pH＝7时，溶液呈中性；
pH<7时，溶液呈酸性；pH>7时，溶液呈碱性。人的胃液的pH在
0.9
—1.5之间，试判别胃液的酸碱性？并加以说明。
13.
某中学有住校生1200人，计划建一座有a个房间的公寓，若每个房间最多住8名
学生，试求a的最小值。
14.
（1）比较下列各组数的大小
12
22，
23
32，
34
43，45
54，
56
65
（2）观察以上结果，总结规律（不必证明），
n是正整数，当n
时，；
当n
时，；
（3）比较20072008与20082007的大小；
15.
已知：关于、的方程组的解满足“与的2倍的和不大于38”。
（1）用含m的式子表示不等关系；
（2）求m的取值范围；
【试题答案】
1.
C；
2.
C；
3.
C；
4.
B；
5.
B；
6.
；
7.
；
8.
；
9.
>，不等式性质③；
10.
；
11.
（1），（2），（3）；
12.
因为0.9－1.5<7，所以此人胃液呈酸性；
13.
，∴的最小值为150；
14.
（1）<
<
>
>
>，（2），
（3）>；
15.
（1）解方程组得，由题意得，
∴，（2）平行四边形
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
平行四边形
[目标]
1.
以中心对称为主线，研究平行四边形及其性质
2.
探索四边形是平行四边形的条件的过程
3.
运用中心对称的性质得三角形全等
二.
重点、难点：
1.
探索四边形是平行四边形的条件，分两个层次：通过操作和合情推理发现结论；说明理由。
2.
平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活运用。
三.
知识要点：
1.
平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
注意：
①四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质
②比较两种特殊的四边形
③把点B关于O点的对称点记为点D，就得到下图中四边形ABCD。这个图形中的ΔCDA可以看成是ΔABC绕点O旋转180°得到的。
因此，四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心
2.
平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示，如图就是平行四边形ABCD
，记作“ABCD
3.
平行四边形的性质
①平行四边形对边相等。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD=BC
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等
注意：必须有两个平行，即夹两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不可，如下图中的几种情况都不可以推出EF=GH
②平行四边形的对角相等。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD
③平行四边形的对角线互相平分。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD
总结：平行四边形的性质：
①关于边的：对边平行；对边相等
②关于角的：对角相等；邻角互补
4.
平行四边形的判定
判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
判定3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定4：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.
平行四边形相关应用
（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题
如：求有关角的度数、线段的长度、说明角相等或互补、说明线段相等等
（2）判别四边形是平行四边形
（3）综合运用平行四边形的性质和判别四边形是平行四边形的条件：
①先判别四边形是平行四边形，再运用平行四边形的性质解决某些问题
②先运用平行四边形的性质得出一些结论，再运用这些性质判别四边形是平行四边形
注意：平行四边形的性质与判别四边形是平行四边形的条件这两者的区别，防止混淆。
6.
平行四边形面积的表示法，如下图表示为
=ah
【典型例题】
例1.
已知四边形ABCD，从
①
AB∥DC
②
AB=DC
③
AD∥BC
④
AD=BC
⑤
∠A=∠C
⑥∠B=∠D中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合。
解：
①
②
　①
③
①
⑤
　
①
⑥
②
④
③
④
⑤
⑥
③
⑤
③
⑥
说明：根据平行四边形的4个判定定理。
例2.
（1）下列给出了四边形ABCD中的度数之比，其中能判断四边形ABCD为平行四边形的是
（
）
A.
1：2：3：4
B.
2：2：3：3
C.
2：3：2：3
D.
2：3：3：2
（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，ΔABC的周长为25cm，则对角线AC长为
（
）
A.
5cm
B.
15cm
C.
6cm
D.
16cm
（3）以ABCD的边BC、CD向形外作等边△BCM和等边△DCN，则△AMN是
（
）
A.
不等边三角形
B.
底和腰不相等的等腰三角形
C.
等边三角形
D.
无法判定
解：（1）C
分析：平行四边形对角相等；邻角互补。则邻角之和应为180°
（2）A
分析：平行四边形对边相等。则两邻边之和为周长的一半。
（3）C
分析：易证ΔABM≌ΔNCM≌ΔNDA，则对应边AM=MN=NA。△AMN为等边三角形。
例3.
如果ABCD的周长为20cm，两邻边的差是2cm，求ABCD的各边长
解：由题意，设ABCD两邻边分别为x，y，则由平行四边形的性质知：
解得
答：ABCD的各边长分别为6cm，4cm，6cm，4cm。
例4.已知：如下图，平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA、DC的延长线于点M、N，交BA﹑BC于点P、Q，求证：MQ=NP。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB
∥
CD
即AM
∥
CQ
又AC
∥
MN，即AC
∥
MQ
∴四边形MQCA是平行四边形
∴
MQ=AC
同理可证：NP=AC
∴MQ=NP
例5.
（1）如图，M为AB的延长线上的点，若△DMC的面积为11，则平行四边形ABCD的面积为________
提示：
（2）ABCD中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求：四边形ABCD的面积。
解：过点A作AE
⊥
BC交BC于E。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD+∠B=180°
∵
∠BAD=150°∴∠B=30°
在RtΔABE中，∠B=30°
∴AE=AB=4cm，
∴
例6.
如图，点D是△ABC的边AB上的一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC。
求证：四边形ADCN是平行四边形。
分析：已知四边形ADCN的对角线AC被M平分，只要证另一条对角线DN也被M平分即可得证。
证明：∵CN∥AB
∴∠DAM=∠MCN，∠ADM=∠MNC
又∵MA＝MC
∴△ADM≌△CNM
∴MD=MN，则有四边形ADCN对角线互相平分
∴四边形ADCN是平行四边形
例7.
已知平行四边形ABCD中，
∠BAD，∠CDA的平分线分别交BC于F，
E点，若BC=5cm，CD=3cm，求BE、EF、FC的长。
解：∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC
∴∠
DEC=∠ADE
而∠EDC
=∠ADE
∴
∠DEC=∠EDC
∴
EC=CD=3cm
同理，BF=AB=3cm
∴
BE=BC-EC=5-3=2cm，EF=BF-BE=3-2=1cm，FC=BC-BE=5-3=2cm
答：BE、EF、FC的长分别为2cm，1cm，2cm。
例8.
生物实验室有一块平行四边形的玻璃片，在做生物实验时，小华
一不小心碰碎了一部分（如图所示，两边完整）。同学们，有没有办法把原来的平行四边形碰碎的角测出来呢？周长呢？
作法：①先测出已知∠B，则此平行四边形的对角∠D=∠B
②由平行四边形的性质计算得∠A=∠C=180°－∠B
③再测出已知边AB、BC
④由平行四边形的性质知AD=
BC，CD=
AB
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
有一边长为6的平行四边形，它的两条对角线长可能是
（
）
A.
4和6
B.
4和8
C.
2和6
D.
6和8
2.
下列说法：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两条平行线间的距离相等。其中正确的是（
）
A.
2个
B.3个
C.4个
D.
5个
3.
已知点A、B、C不在同一直线上，则以它们为顶点的平行四边形共有
（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.
如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，如果添加下列条件，其中不一定能得到四边形ABCD是平行四边形的是
（
）
A.
∠3=∠4
B.
AD∥BC
C.
BC=AD
D.
AB∥CD
5.
平行四边形具有而一般四边形不一定具有的性质是
（
）
A.
不稳定性
B.
对角线互相平分
C.
外角和为360°
D.
内角和为360°
6.
已知点O是□ABCD的对角线AC、BD的交点，AC=24，BD=38，AD=28，则△OBC的周长等于__________________
7.
□ABCD的周长为32cm，
∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED=3：2，则AB＝
8.
如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝10m，则∠EAF＝_______，AE＝_______，＝_______
9.
如图，AE、AF分别是□ABCD的边BC、CD上的高。若∠BAE＝25°，那么∠C＝______，∠EAF＝______
10.
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB边的垂直平分线经过点D，若平行四边形ABCD的周长是52cm，ΔABD的周长比平行四边形ABCD的周长少10cm，求AB和AD的长。
11.
如图，在□ABCD中，
∠A=60°AB=BD，点G、H分别在AD、CD上，且DH=AG，你能说明△GHB是等边三角形吗？
12.
现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案。
【试题答案】
1.
D
2.
C
3.C
4.
B
5.
B
6.
59
7.
6cm或12cm
8.
60°；
cm；
9.
115°，65°
10.
解：设AB=x，AD=y，则
，解得
答：AB和AD的长分别为10cm和16cm。
11.
证明：∵∠A=60°AB=BD，
∴ΔABD为等边三角形
∴∠ABD=∠A=60°
在□ABCD中，AB∥DC
∴∠CDB=∠ABD=60°，又DH=AG
∴△ABG≌△DBH
∴GB=HB
，∠ABG=∠DBH
∴∠GBH=∠GBD+∠DBH=∠GBD+∠ABG=∠ABD=60°
∴△GHB是等边三角形
12.
略旋转图形与中心对称图形
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
旋转图形与中心对称图形
旋转图形与中心对称图形在生活当中有着广泛的应用。它能培养学生对数学的浓厚的兴趣，培养学生的审美理念，去感受美、欣赏美、创造美。
［目标］：
1.
了解旋转图形的性质与画法。
2.
了解中心对称和中心对称图形的概念，知道它们之间的区别和联系。
3.
了解中心对称和中心对称图形的性质。
4.
会画与已知图形成中心对称的图形，并能判断某一个图形是否是中心对称图形。
5.
通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。
二.
重点、难点：
1.
中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点。
2.
中心对称与中心对称图形之间的联系和区别。
三.
知识要点：
1.
旋转
（1）旋转的概念
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
［注意］：
①图形上的每一个点同时按相同的方式旋转相同的角度。
②图形的旋转不改变图形的形状、大小。
（2）旋转的性质
①旋转前、后的图形全等。
②对应点到旋转中心的距离相等。
③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2.
中心对称
（1）中心对称的概念
把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）中心对称的性质
成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
［注意］：
一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，因此，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（3）中心对称与轴对称
3.
中心对称图形
（1）中心对称图形的概念
平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
中心对称的图形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
（2）中心对称图形的性质
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
（3）轴对称图形与中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形的有：线段、直线、矩形、菱形、正方形、圆。它们的对称中心就是它们对称轴的交点。
［注意］：
轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；
中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形。
4.
中心对称与中心对称图形的区别与联系
（1）区别：
①图形个数不同。中心对称涉及两个图形，是指两个全等图形之间的相互位置关系；而中心对称图形只对一个图形而言，是指具有特殊形状的一个图形。
②对称点位置不同。成中心对称的两个图形中，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之亦然；而中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
（2）联系：
①如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是中心对称图形。
②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们是中心对称。
5.
中心对称图形的美
【典型例题】
例1.
如图，△ABC为等边三角形，边长为2cm，D为BC中点，△AEB是△ADC绕点A旋转60°得到的，则∠ABE＝__________度；BE＝__________。若连结DE，则△ADE为__________三角形。
解：由对称图形的性质知：
∠ABE
=∠C=60°，BE＝CD=BC=1cm，
又AE=AD，∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD=60°
∴△ADE为等边三角形
例2.
如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个
分析：两个全等的正方形ABCD和CDEF组成矩形ABFE，它是中心对称图形，对称中心就是对角线AF与BE的交点O，它必定是CD的中点。这是根据中心对称图形的定义确定的。四边形ABCD绕O顺时针（或逆时针）旋转180°后，能与四边形CDFE重合。但题中只说四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，注意到四边形CDEF绕点D顺时针旋转90°后或绕点C逆时针旋转90°后能与正方形ABCD重合，所以可以作为旋转中心（不是对称中心但包含对称中心）的点有3个，即D、O、C。
解：共有3个。
例3.
如图，已知四边形ABCD和BC边上的一点O，求作四边形A'B'C'D'关于O点和四边形ABCD成中心对称。
分析：要作关于O点与四边形ABCD的对称四边形，关键在于求出四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D关于O点的对称点A'、B'、C'、D'。
作法：
1.
连结AO、BO、CO、DO并延长到A'、B'、C'、D'
2.
使OA'＝OA，OB'＝OB，OC'＝OC，OD'＝OD
3.
连结A'B'、B'C'、C'D'、D'A'
则四边形A'B'C'D'关于O点和ABCD成中心对称。
例4.
如图，D，E分别为△ABC的AB，AC边中点，延长DE到F，使EF＝DE，连结CF。求证：△ADE与△CEF关于点E成中心对称，且DE=BC。
证明：因为E为AC边中点
∴A、C关于E中心对称
又F在DE延长线上，EF＝DE
∴D、F关于E中心对称
∴△ADE与△CEF关于点E成中心对称
由中心对称CF=AD且CF∥AD
而AD=DB
∴CF=BD且CF∥BD
∴DF=BC，又DE=DF
∴DE=BC
说明：构造轴对称或中心对称的图形，是添加辅助线研究图形性质的一种重要方法
例5.
如图在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，且DE⊥DF，求证：S△DEF分析：图中的三个三角形比较分散，不便比较，如何将△ADE、△BDF“拼”成一块呢 由于D为AB的中点，以此为基础，可作中心对称变换。
证明：如图所示，将△ADE绕点D旋转180°
因为D为AB中心，则A点落在B的位置，设E点落在G处，DG＝DE，连FG
又∠EDF＝90°，则GDF＝90°
故△DGF≌△DEF
显然：S△ADE＋S△BDF=S△BDG＋S△BDF=S四边形BFDG>S△DGF=S△DEF
∴S△DEF例6.
如图是一个每边长4m的荷池，O到各顶点距离相等，计划在池中安装13盏灯，使夜景更加漂亮。请你设计一个安装方案。（要求两盏灯的距离d的取值范围为1m≤d≤2m）
解：连AO、BO、CO、DO、EO、FO，过O作正六边形的垂线，垂足分别为A1、B1、C1、D1、E1、F1，以O为圆心，以2m为半径画弧交OA、OA1……等12条线段相交，12个交点及中心点为灯的安装处。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
下列各图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
（A）圆
（B）梯形
（C）等边三角形
（D）平行四边形
2.
国旗上的五角星是（
）
（A）是中心对称图形不是轴对称图形
（B）是轴对称图形而不是中心对称图形
（C）既是中心对称图形，又是轴对称图形
（D）既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
3.
下列说法正确的是（
）
（A）全等的两个图形成中心对称
（B）成中心对称的两个图形必须重合
（C）成中心对称的两个图形全等
（D）旋转后能重合的两个图形成中心对称
4.
以下图的右边缘所在的直线为轴，将该图形向右翻转180°到的图形是（
）
5.
如图，在△ABC中，AD是中线
（1）读语句画图：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE、CE
（2）填空：点A与点
关于点
成中心对称，点B与点
关于点
成中心对称，线段AB与线段
关于点
成中心对称
（3）写出所有关于点D成中心对称的三角形
6.
如图，已知P为直线l上一点及△ABC
（1）求作△A'B'C'，使之与△ABC关于直线l对称；
（2）求作△A''B''C''，使之与△ABC关于P成中心对称；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
7.
列字母中哪些是中心对称图形
8.
你能利用七巧板，尽可能多地摆出成中心对称的图案吗？
【试题答案】
1.
A
2.
B
3.
C
4.
C
5.
（1）画图略
（2）E，D，C，D，CE，D；
（3）△ABD，△EDC；△ACD，△EBD；△ABC，△ECB；△ABE，△ECA；
6.
画图略
7.
HIN
8.
试试看中心对称图形
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
第三章
中心对称图形复习
［学习目标］
1.
理解中心对称和中心对称图形的定义。
2.
掌握几个特殊四边形之间的关系，以及它们的性质和判定。
3.
三角形和梯形中位线的概念和性质。
【模拟试题】
一、选择（每题4分）
1.
下列说法中，错误的是（
）
A.
关于某一点成中心对称的两个图形全等
B.
圆是中心对称图形
C.
全等的两个图形一定关于某一点成中心对称
D.
线段是中心对称图形
2.
下列各组中一个图形可以通过旋转得到另一个图形的是（
）
3.
下列条件不能识别一个四边形是平行四边形的是（　　）
A.
一组对边平行且相等　　
B.
两组对边分别相等
C.
对角线互相平分　　　　　　　
D.
一组对边平行，另一组对边相等
4.
平行四边形的一边长是12cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（
）
A.
5cm和7cm
　
B.
20cm和30cm
　
C.
8cm和16cm
　
D.
6cm和10cm
5.
顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是_________（
）
A.
等腰梯形
B.
矩形
C.
平行四边形
D.
菱形或对角线互相垂直的四边形
6.
如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的……………（
）
A.
B.
C.
D.
7.
有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的
四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一个角为直角的四边形是矩形.
其中，正确的个数是（
）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
8.
如图，在ΔABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是
（
）
A.
5
B.
10
C.
15
D.
20
二、填空（每题5分）
9.
下列图形中：（1）线段；（2）等腰三角形；（3）等腰梯形（4）平行四边形；（5）矩形；（6）菱形；（7）正方形；（8）圆，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
（填写序号）
10.
已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm，那么这个菱形的面积为
cm2。
11.
如图，△ABC是等边三角形，△AEC顺时针旋转后能与△ADB重合，则旋转中心是点
，旋转度数是
；连接DE，则△ADE是
三角形。
12.
如图，将正方形ABCD旋转后能与正方形BCEF重合，则图中有
个点可以作为旋转中心。
13.
如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1等于
度。
14.
如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值为　　　　　。
三、解答题（12+12+14）
15.
平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC、AD于点E、F，G、H分别为OB、OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？
16.
在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
17.
如图，在矩形ABCD中，AD>AB，对角线的交点为O，过点O作一直线MN分别交BC，AD于点M，N
（1）试用中心对称的性质说明梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积；
（2）当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使点C恰好与点A重合 （只要写出满足的条件，不要求说明理由）
（3）在（2）条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分（阴影部分）面积的二分之一（如图），请探究BM与MC之间的数量关系。
【试题答案】
一、选择（每题4分）
1.
C
2.
C
3.
D
4.
B
5.
D
6.
B
7.
C
8.
B
二、填空（每题5分）
9.
（1）；（5）；（6）；（7）；（8）
10.
36
cm2
11.
A，60°；等边
12.
3
13.
120°
14.
10
三、解答题（12+12+14）
15.
是平行四边形
提示：可以证明GH，EF互相平分
16.
设x秒后四边形ABQP是平行四边形，根据题意得：
因为AD∥BC，只要AP＝BQ即可，AP＝x，BQ＝6－2x
所以x＝6－2x
解这个方程得：x＝2
17.
（1）连接AC，因为矩形是中心对称图形，根据中心对称的性质，可以得到AN＝MC，BM＝ND
而
又因为AB＝CD，所以有
（2）MN⊥AC
（3）由题意可知，
根据三角形的面积公式有
而AN＝MC，因此MC＝4BM一元一次不等式组
三个“一次”
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
一元一次不等式组
三个“一次”
二、教学目标：
1、通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象、建立不等式组的模型
2、知道一元一次不等式组及其解集的意义，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
3、通过用不等式组解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
4、掌握一元一次不等式与一次函数、一元一次方程之间的内在联系，并能解答函数、不等式和方程间的综合题目
三、教学重点：
1、两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解法；用不等式组解决实际问题
2、一元一次不等式与一次函数、一元一次方程之间的内在联系
四、教学难点：
确定两个不等式解集的公共部分，用不等式组解决实际问题.用一元一次不等式与一次函数、一元一次方程之间的内在联系解决实际问题
五、课堂教学
（一）知识要点
知识点1：一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组.
说明：一元一次不等式组中的一次不等式的个数至少有两个
知识点2：一元一次不等式组的解集和解不等式
（1）一元一次不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫不等式的解集
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程
知识点3：解不等式组的一般步骤
（1）求出不等式组中的每个不等式的解集
（2）利用数轴确定不等式组的解集
一元一次不等式组解集的四种类型如下表：
不等式组（a＜b
数轴表示
解
集
记忆口诀
（1）
x＞b
同大取大
（2）
x＜a
同小取小
（3）
a＜x＜b
大小取中
（4）
无解
两边无解
知识点4：一次函数与一元一次不等式（组）
函数是刻画数量之间的变化关系的。当一次函数中的一个变量的取值确定范围时，可以利用不等式组确定另一个变量的范围
（1）一元一次不等式ax＋b>0或ax＋b<0（a≠0）是一次函数y＝ax＋b（a≠0）的函数值
的情形．
（2）直线y＝ax＋b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax＋b
0的解集；
使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是
ax＋b
0的解集．
知识点5：一元一次方程与一元一次不等式（组）
方程刻画数量之间的相等关系，当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围
知识点6：二元一次方程、一次函数的关系
由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求
x
的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
【典型例题】
例1.
解不等式组
解：解不等式①，
得
x
＞2
解不等式②，
得
x
＞
4
在同一数轴上表示不等式①、②的解集，
可知所求不等式组的解集是：
.
例2.
解不等式组：
解：解不等式①，得
x＜－1
解不等式②，
得x
≥2
在同一数轴上表示不等式①、②的解集
如图可见，
这两个不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组　　　　.
例3.
写出下列不等式组的解集
⑴
⑵
⑶
⑷
解：（1）x＞3
（2）x＜1
（3）1＜x＜3
（4）无解
例4.
求不等式组的整数解
解：由（1）解得：x＜4
由（2）解得：x≥2
所以不等式组的解集为：2≤x＜4
所以不等式组的整数解为：2，3.
例5.
把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克16元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少千克？最少是多少千克？
解：设所混合的乙种糖果是x千克
根据题意得：
解这个不等式得：7≤x≤15
所以乙种糖果最多是15千克，最少是7千克。
例6.
某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
解：设宿舍间数为x间，根据题意得
解这个不等式得5＜x＜7
所以宿舍间数为6间，寄宿学生人数为44人。
例7.
某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们。如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，最后一人得到的课外读物不足3本。设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示m；
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数。
解：（1）根据题意得：
m＝3x＋8
（2）
5＜x＜6.5
所以不等式组的解为：6
所以该校的获奖人数6人，所买课外读物的本数26本。
例8.
一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏，弹簧的长度是ycm。
（1）求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图象。
（2）求弹簧所挂物体的最大质量是多少？
分析：根据题意，这根弹簧挂xkg质量的物体后，伸长了0.5xcm，
此时弹簧的长度是（0.5x＋20）cm，即得x与y之间的函数关系式
本题也可用图像法：
分析：因为所挂物体越重，弹簧伸得越长，
又因为挂上物体后弹簧的长度不能超过30cm，所以当y＝30时，
该弹簧所挂物体的质量最大。
解一元一次方程
得
所以该弹簧所挂物体的最大质量是20kg.
例9.
如图是一个一次函数，请根据图像回答问题：
（1）当x＝0时，y＝
，当y＝0时，x＝
；
（2）写出直线对应的一次函数的表达式
；
（3）一元一次方程和一次函数有什么联系？
解：（1）y＝2
x＝－4
（2）
（3）一元一次方程是一次函数
当y＝0时的一种情况。
例10.
画出函数y＝－3x＋12的图像，利用图像求：
（1）不等式－3x＋12>0的解集．（2）不等式－3x＋12≤0的解集．
解：略
例11.
某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5cm，设xh后蜡烛剩下的长度为ycm。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）几个小时以后，蜡烛的长度不足10cm？
解：（1）根据题意，得
即y与x之间的函数关系式为
（2）当时，
解这个不等式，得
所以3小时后蜡烛的长度不足
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
填表：
2.
一木工有两根长分别为40厘米和60厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角形木架。问第三根木条的长度应在
范围内。
3.
不等式组的解集是_________。
4.
在一次函数中，已知则
；若已知则
；
5.
当自变量　　　　时，函数的值大于0；当　　　　时，函数的值小于0。
6.
已知函数，当　　　　时，；当　　　　时，。
7.
如图，直线是一次函数的图象，观察图象，可知：
（1）　　　　　；　　　　。（2）当时，　　　　。
8.
一元一次不等式组的解集是
（
）
A.
－2＜x＜3
B.
－3＜x＜2
C.
x＜－3
D.
x＜2
9.
如图，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集
（
）
　　A.
B.
C.
x＋1≥－1
D.
－2x＞4
10.
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.下列两个不等式是同解不等式的是
（
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
11.
解下列不等式组，结果正确的是（
）
A.
不等式组的解集是x＞3
B.
不等式组的解集是－3＜x＜－2
C.
不等式组的解集是x＜－1
D.
不等式组的解集是－4＜x＜2
12.
解下列不等式组，
并把他们的解集在数轴上表示出来.
（1）
（2）
（3）
（4）
13.
已知关于x、y的方程组.
（1）求这个方程组的解；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1.
14.
某种植物适宜生长在温度为18℃～22℃的山区，已知山区海拔每升高100m，气温下降0.5℃，现测
出山脚下的平均气温为32℃，问该植物种在山上的哪一部分为宜（设山脚下的平均海拔高度为
0m）.
15.
把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克16元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少千克？最少是多少千克？
16.
画出函数y1
＝2x－4与y2
＝－2x＋8的图象，观察图象并回答问题：
（1）x取何值时，2x－4>0
（2）x取何值时，－2x＋8>0
（3）x取何值时，2x－4>0与－2x＋8>0同时成立？
（4）求函数y1
＝2x－4与y2
＝－2x＋8的图象与y轴所围成的三角形的面积.
【试题答案】
1.
填表：略
2.
20cm－100cm
3.
－2＜x≤－1
4.
y＝－3，x＝
5.
x＞－
x＜－
6.
x＜，x≥
7.
b＝12，k＝－3
x＜
8.
C
9.
C
10.
A
11.
D
12.
x＜1
x＞1
x≥0
13.
14.
解：设要种在海拔为x米的地方
2000≤x≤2800
15.
解：设乙种糖果为x千克
答：所混合的乙种糖果最多是15千克。最少是7千克。
16.
⑴x＞2
⑵x＜4
⑶2＜x＜4
⑷
18
a　b
a　
b
a　
b
a　
b平方根、立方根、实数的计算
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
平方根、立方根、实数的计算
二.
重点、难点：
1.
平方根、立方根的几个拓展公式
（1）
；
（2）
；
2.
实数
（1）实数：有理数和无理数统称为实数。
分类
（2）实数和数轴
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。
实数与数轴上的点是一一对应的。
【典型例题】
例1.
判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数。
（
）
（2）带根号的数都是无理数。
（
）
（3）无理数都是无限小数。
（
）
解：（1）×
无限循环小数是有理数，
如：就为有理数（任何分数都可以转化为小数形式—有限小数或者有限循环小数）
（2）×
如：化简之前带根号，但是化简后即为有理数2。
（3）√
无理数是无限不循环小数，也就是无限小数。
例2.
在数轴上画出表示的点。
作法：①以0为起点，在数轴上以单位长度1为边长作正方形，如图；
②以0为一个端点取对角线；
③以0为圆心，对角线的长为半径作圆，在x的正半轴截取一点。
则该点即为表示的点
说明：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。
例3.
比较大小，并说说你的方法
（1）
（2）
（3）
解：（1）①通过估算比较大小，，所以；
②若a>0，b>0，且，则a>b，即因为所以；
③利用数轴比较大小。
（2）可先通过估算比较的大小，，所以
而绝对值大的负数反而小，所以
（3）①因为所以除以2的商大于0.5；
②0.5(即)与分母相同，所以只要比较与1的大小；
③作差比较－＝－1，所以只要比较与1的大小。
例4.
（1）
（2）
（3）
（4）3x–4的算术平方根是0，则x
＝
（5）平方根等于它本身的数的个数为ａ，立方根等于它本身的数的个数为ｂ，算术平方根等于它本身的数的个数为ｃ，则ａ＋ｂ＋ｃ的立方根是
解：（1）＝
＝4；（2）＝；
（3）（根式有意义，则）
（4）0的算术平方根是0，所以3x–4＝0，则
（5）平方根等于它本身的数只有0，所以a＝1；立方根等于它本身的数为0、1、－1，所以ｂ＝3；算术平方根等于它本身的数为0和1，所以c＝2。则ａ＋ｂ＋ｃ＝1＋3＋2＝6，其立方根是。
说明：（1）；
（2）；
例5.
计算：
（1）
（2）
解：（1）原式＝
＝
＝
＝
（2）原式＝
＝
＝
例6.
你会解下列方程吗？
（1）
（2）
解：（1）
（2）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
判断下列说法是否正确。
（1）－5是25的平方根
（
）
（2）25的平方根是－5
（
）
（3）0的平方根是0
（
）
（4）－1的平方根是－1
（
）
（5）9的平方根是－3
（
）
2.
（1）的平方根是＿＿＿＿＿
（2）的立方根是＿＿＿＿＿
（3）的平方根是＿＿＿＿＿
（4）的算术平方根是＿＿＿＿＿
（5）的立方根是＿＿＿＿＿
（6）＝＿＿＿＿＿
3.
一个自然数的算术平方根是n，那么与它相邻的后面一个自然数的立方根是
4.
已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的平方根。
5.
若a、b都是无理数，且a＋b＝2，则a、b的值可以是
（填上一组满足条件的即可）
6.
计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
7.
估算的方法比较的大小。
8.
你能在数轴上画出表示的点吗？如何画？
提示：用半径为1的圆在数轴上从0开始滚半圈。
【试题答案】
1.
（1）√
（2）×
（3）√
（4）×
（5）×
2.
（1）
（2）2
（3）
（4）
（5）1
（6）
3.
4.
解：由题意2a－1＝9，所以a＝5；
3a＋b－1＝16，即15＋b－1＝16，所以b＝2
所以a＋2b＝9，其平方根为
5.
6.
（1）
（2）－39
（3）
（4）
7.
解：因为所以除以2的商>0.68；而，所以
8.
略一元一次不等式解法；用一元一次不等式解决实际问题
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
一元一次不等式解法；用一元一次不等式解决实际问题
二.
教学目标：
1.
了解一元一次不等式的定义，会正确辨别一元一次不等式。
2.
初步掌握一元一次不等式的一般步骤，会在数轴上表示不等式的解集。
3.
通过类比一元一次方程的定义和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步骤，
培养学生合情推理能力。
4.
能根据实际问题中的不等关系抽象出不等式并能求出符合实际意义的解或解集。
三.
教学重点、难点：
教学重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。
教学难点：一元一次不等式的解法。及准确利用实际问题中的不等关系抽象出不等式
四.
课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：一元一次不等式
像2x－1>5、3x＋70>100、y＋4<0等，（1）只含有一个未知数，（2）并且未知数的最高次数是1，（3）系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式（linear
inequality
with
one
unknown）。
符合这三个条件的不等式才是一元一次不等式。
例如：2x＋y＞3，
2x2－3x－2＜0，＞x都不是一元一次不等式.
知识点2：一元一次不等式解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的步骤很相似
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；
（4）合并同类项；（5）系数化为1。
知识点3：比较一元一次不等式的解法与一元一次方程的解的异同
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。
不同之处是，不等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式性质2，特别是注意在不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。
知识点4：求一元一次不等式的整数解与求一元一次不等式的解集的异同点
（1）解法步骤类似：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
（2）求一元一次不等式的整数解比求一元一次方程的解集多一个步骤：就是在解集中找出整数解.
知识点5：利用一元一次不等式解决实际问题
在现实生活中，处处都存在不等关系，有很多的数量关系都可以通过建立数学模型——特别是不等式来实现的，这需要我们通过对问题的分析，从中抽象出不等式。
知识点6：列一元一次方程解决实际问题与列一元一次不等式解决实际问题的对比
列一元一次不等式解决实际问题
列一元一次方程解决实际问题
根据题意适当地设未知数
根据题意适当地设未知数
找出题中能概括数量关系的不等关系
找出题中能概括数量关系的相等关系
用未知数表示不等关系
用未知数表示相等关系
列出不等式并求出其解集
列出方程并求出其解
检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案
检验，并写出答案
知识点7：数学思想
1.
类比法：
类比方法是指在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，如学习不等式的基本性质，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比，类比如下表：
（1）基本性质比较：
等式
不等式
两边都加上（或减去）同一个______或同一个______，所得结果仍是等式。
两边都加上（或减去）同一个______或同一个______，不等号的方向______。
两边都乘以（或除以）同一个______（除数______），所得结果仍是等式。
两边都乘以（或除以）同一个______，不等号的方向______。
两边都乘以（或除以）同一个______，不等号的方向______。
（2）解法步骤比较：
解一元一次方程：
解一元一次不等式：
解法步骤
　　（1）去______；　　（2）去______；　　（3）____________；
　　（4）____________；　　（5）系数化成1。
　　（1）去______；　　（2）去______；
　　（3）______；　　（4）______；　　（5）______1。
　　在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果乘数或除数是______，要把不等号改变方向。
解的情况
　一元一次方程只有一个解。
　一元一次不等式的解集含有无限多个数。
2.
数形结合的思想
：
在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步，本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，并易于确定不等式组的解集。
3.
注意事项总结：
（1）对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同。
（2）在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能。以不等式5>3为例，在不等式3>2两边都乘以同一个数a时有下面三种情形：
3a>2a
（a>0）
　　3a＝2a（a＝0）
　　3a<2a
（a<0）
（3）不等式的解集xa与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。
【典型例题】
例1.
解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。
（1）2x－1＜4x＋13；
（2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x）。
解：（1）移项，得
2x－4x<13＋1
合并同类项，得
－2x<14
两边都除以－2，得
x>－7
这个不等式的解集在数轴上表示如下
（2）移项，得
10x－7x≤－9
合并同类项，得
3x≤－9
两边都除以3，得
x≤－3
这个不等式的解集在数轴上表示如下
例2.
解一元一次不等式2x－1＞
4x＋13并将解集在数轴上表示出来：
2x－1＞4x＋13，
2x－4x＞13＋1，
（移项）
－2x＞14，
（合并同类项）
x＞－7.
（系数化为1）
它的解集在数轴上的表示如图：
观察上述解答有没有错误，为什么？
答：有错误。在系数化为1的时候不等号的方向应该发生改变
例3.
求不等式的正整数解
解：去分母，得
3（2x＋3）≥8x－2
去括号，得
6x＋9≥8x－2
移项，合并同类项得
－2x≥－11
系数化为1，得
x≤
所以原不等式的正整数解有1，2，3，4，5
例4.
解不等式：－＞1
分析：利用分数的基本性质，把分子、分母都乘以100，或者乘以10，再去分母。
解：整理得－＞1
去分母，得
4（8x＋200）－3（5x－20）＞12
去括号，得
32x＋800－15x＋60＞12
移项，合并同类项得17x＞－848
系数化为1，得x＞－
例5.
当x取何值时，代数式的值与的差不大于1
解：根据题意，得
－≤1
解这个不等式得
x≥
所以当x≥时，代数式的值与的差不大于1
例6.
已知方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2（x－5）≥8a，求a的取值范围。
解：首先，解方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1得x＝
把x＝代入不等式2（x－5）≥8a中
2（－5）≥8a
然后解不等式得a≤
所以a的取值范围是a≤
例7.
一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.3kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果？
解：设这只纸箱内最多能装x个苹果。
根据题意，得1＋0.3x≤10
解这个不等式得
x≤30
答：这只纸箱内最多能装30个苹果。
例8.
抗洪抢险，向险段运送物资，共有120千米原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50千米后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
分析：题目中的数量关系是：前半小时和后半小时走的路程之和至少应该是120千米，抓住了这个数量关系就可以建立不等式.
解：设后半小时速度为每小时x千米
50＋0.5x≥120
解这个不等式得x≥140
答：后半小时速度为每小时140千米才能保证及时送到
例9.
在双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格表如下：
船型
每只限载人数（人）
租金（元）
大船
5
3
小船
3
2
那么，怎样设计租船方案才能使所付租金最少 （严禁超载）
解：设坐大船的有x人，则坐小船的有（48－x）人，租金为w元
所以w＝＝
因为x为1≤x≤48的整数，所以当x取45时w＝29元
所以在租大船45÷5=9艘，小船3÷3=1艘时付租金最少。
例10.
某校举行庆祝元旦的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品名
小提琴
运动服
笛子
舞鞋
口琴
相册
笔记本
钢笔
单价／元
120
80
24
22
16
6
5
4
（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
（2）学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？
解：（1）6×5＋5×10＋4×15＝140（元）
（2）设三等奖为x元，则二等奖为4x元，一等奖为20x元
根据题意得100x＋40x＋15x≤1000
解这个不等式为x≤6所以x取4，5，6所以有二套方案分别是：三等奖为4元二等奖为16元一等奖为80元；
三等奖为6元二等奖为24元一等奖为120元
所以花费最多的一种方案需155×6＝930元
例11.
商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度，为了减少库存，商场决定将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的）。请回答下列问题：
（1）已知A型冰箱的进价为1700元，商场为了保证利润不低于3％，试确定A型冰箱降价的范围；
（2）如果只考虑价格与耗电量那么商场至少打几折，消费者购买两种冰箱才一样
合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）
解：（1）设商场将A型冰箱降价x元，可保证利润不低于3％
解得x≤439
答：商场将A型冰箱降价439元，可保证利润不低于3％
（2）设商场将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算
＝2190（1＋10％）＋0.4·10·365·0.55
y＝8
答：商场将A型冰箱的售价打8折时，消费者购买两种冰箱才一样合算。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
（一）选择题
1.
x的值不大于3，用不等式表示x的取值范围为（
）
A.
x>3
B.
x<3
C.
x≠3
D.
x≤3
2.
下列所给的四个数中，是不等式3－2x>7的解的为（
）
A.
－2
B.
–2.5
C.
＋3
D.
–1.5
3.
下列说法错误的是（
）
A.
x<2的负整数解有无数个
B.
x<2的整数解有无数个
C.
x<2的正整数解是1和2
D.
x<2的正整数解只有1
4.
一个两位数，将十位数字与个位数字对调，所得两位数与原来的两位数之差等于27，
则这个两位数为（
）
A.
36
B.
57
C.
64
D.
79
5.
已知中，b为正数，则n的取值范围是（
）
A.
n＜2
B.
n＜3
C.
n＜4
D.
n＜5
（二）填空题
6.
在数0，－3，
3，
－，
－0.4，
－20中，
是方程x＋3＝0的解；
是不等式x＋3>0的解；
是不等式x＋3≤0的解。
7.
要使三个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是　　　　.
8.
若方程kx＋1＝2x－1的解是正数，则k的取值范围是_________
（三）解答题
9.
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
①－3
x
<0　
②5x－3>3
x－7　
③
④
；
10.
（1）求≤－1的负整数解.
（2）求不等式1－≤的最小整数解.
11.
a取什么值时，代数式4a＋2的值
（1）大于1？
（2）等于1？
（3）小于1？
12.
一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.问以后6天内平均每天至少要挖土多少m3.
13.
“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？
14.
某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
15.
水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
【试题答案】
1.
D
2.
B
3.
C
4.
A
5.
C
6.
－3，
0，3，，－0.4
－3，－20
7.
33
8.
k＜2
9.
x
＞0
x
＞－2
x＞
x＜
数轴略
10.
（1）－2，－1（2）x＝2
11.
a＞，
a＝，
a＜
12.
设以后6天内平均每天至少要挖土xm3.
根据题意得120＋6x≥600
x≥80
答：以后6天内平均每天至少要挖土80
m3.
13.
设商家把售价至少定为每千克x元，才能避免亏本
根据题意得：1.5＜x（1－6％）
解得x＝1.6
答：商家把售价至少定为每千克1.6元才能避免亏本
14.
平均每场次至少应出售学生优惠票x张
根据题意得2x＋300×52000
x≥250
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张
15.
设：余下的水果可以按原定价的x折出售
x≥8
答：余下的水果可以按原定价的8折出售轴对称与轴对称图形
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
轴对称与轴对称图形
［学习目的］
1.
认识轴对称和轴对称图形的区别和联系，能找出对称轴、对称点。
2.
知道线段的垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线。
3.
会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形。
4.
轴对称的性质。
二.
重、难点：
1.
轴对称和轴对称图形的区别和联系。
2.
画对称图形。
三.
知识要点
1.
轴对称与轴对称图形相关概念
（1）如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（有些轴对称图形的对称轴不止一条）
如：
轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、角、线段等。
2.
轴对称与轴对称图形的区别与联系
1）区别
①轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性；
②轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上；
③两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点），轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部。
2）联系
①都能沿某直线翻折后互相重合；
②如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴成轴对称。
3.
轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等；（对应线段相等，对应角相等）
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
4.
画轴对称图形的一般步骤
（1）定好对称轴。
☆（2）找准图形中的关键点。
（一般，线段的关键点是它的各端点，三角形的关键点是它的各顶点）
（3）作对关键点的对称点，完成轴对称图形。
（原理：成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。）
5.
观察生活中的轴对称图形
这些图美吗？
【典型例题】
例1.
下图（1）中阴影三角形与哪些三角形成轴对称 整个图形中有几条对称轴
分析：判断两个图形是不是成轴对称，关键是要把握轴对称的含义：一个图形沿着某一条直线翻折过去，它能够与另一图形重合，则这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴。
解：根据两图形成轴对称的定义可知，阴影三角形与①、②成轴对称；整个图形共有两条对称轴，对称轴见图（2）。
例2.
画出下图的对称轴。
作法：首先应在图形中找到两个对称点，其次连结，最后画出线段的垂直平分线即可，如下图
则的垂直平分线为所作。
例3.
已知，直线，画出关于直线对称的图形。
分析：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形。
解：如图，我们可以按这样的步骤来画：
（1）画出点关于直线的对称点；
（2）连结，就是关于直线对称的三角形
例4.
如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是_______。
分析：不妨用一张薄点的纸把图画下来，然后把纸反过来，透过光线去看，就可以看到准确的时间了。
答：此时的实际时刻是：10：30
例5．如图，在直线上求作一点，使。
作法：（1）作点关于的对称点；
（2）连结交于点，连结。则点就是求作的点，满足。
说明：假设符合条件的点已作出，延长至，则，即是的平分线，所以点关于的对称点在的延长线上，即、、在一条直线上，所以点是与的交点。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
下列图形中，轴对称图形有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
2.
下列轴对称图形中，对称轴最多的是（
）
A.
等腰直角三角形
B.
有一角为的等腰三角形
C.
正方形
D.
圆
3.
小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（
）
A.
21：10
B.
10：21
C.
10：51
D.
12：01
4.
请在下面这—组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形。
5.
采用不同的方式对折，判断下列图形分别有多少条对称轴。
6.
以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：
7.
某地某日下午三时发生了一起案件，警察很快抓获了犯罪嫌疑人，但此人提供了不在现场的证据：—张当天下午三时他在钟塔游览的照片，照片上的指针正指向下午3h，如图.
但熟悉周围环境的警察却发现照片并不是下午3h照的，你知道是什么时间照的吗 为什么
8.
某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。
【课后思考】
如图：你能求出这七个角的和吗
【试题答案】
1.
A
只有第一个是正确的。
2.
D
任何过圆心的直线都是圆的对称轴。
3.
C
4.
以上数字每两个相邻的组成一组，共有6组，每组的前一个数字是该组后一个数字关于镜面的对称图象，故空白处应填“”。
5.
图
（1）中有6条对称轴；图（2）中有5条对称轴。
6.
略
7.
犯罪嫌疑人将照片反晒，则上午9h变成下午3h。
8.
答案不唯一，只要合乎要求即可。等腰三角形和等边三角形的轴对称性
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
等腰三角形和等边三角形的轴对称性
［目标］
探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。
二.
重、难点：
1.
等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；
2.
等边三角形的概念及其性质。
三.
知识要点：
1.
等腰三角形
（1）等腰三角形是轴对称图形。
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）
①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”）
②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）
③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）
☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.
等边三角形
（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
（b）等边三角形特殊的性质：
①
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②
等边三角形各角相等，并且每一个角都等于。
（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
【典型例题】
例1.
已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（
）
（A）2，2，6
（B）3，3，4
（C）4，4，2
（D）3，3，4或4，4，2
分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。
答：选D。
例2.
O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则△POQ一定是（
）
（A）等边三角形
（B）等腰三角形
（C）直角三角形
（D）等腰直角三角形
分析：设OP、OQ分别交AC、BC于E、F，由线段的对称轴是它的垂直平分线知：
OEAC，且OE＝OP；同理OFBC，且OF
＝OQ；
由角平分线的性质知：OE＝OF，则OP＝OQ。∴△POQ一定是等腰三角形
答：选B
例3.
（1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm，那么斜边长等于_________。
（2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。
（3）等边三角形的周长是30cm，一边上的高是8cm，则三角形的面积为______
_______。
解：（1）设斜边长为cm，则直角边长为，根据题意，。
解得cm
（2）设顶角的一个外角为，则。
而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于，顶角等于。
（3）等边三角形三边相等，则其边长为，∴
例4.
一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角
的度数。（考虑两种情况）
解：①设等腰三角形的底角为，则顶角为，则
解得：＝
∴＝
②设等腰三角形的顶角为，则底角为，则
解得：＝
∴＝
综上可得：三个内角的度数分别为，，或，，。
例5.
如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数。
解：设∠EBD＝，
∵DE＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝，
∴∠AED＝∠EDB+∠EBD＝2（三角形外角＝不相邻的两个内角和）
∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2，∴∠CDB＝∠ABD
+∠A＝3（同上）
∵BC＝BD，∴∠C＝∠CDB＝3，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C
＝3；
在△ABC中∠A+∠C+∠ABC＝，即2+3+3＝
解得：＝
∴∠A＝2＝45°
例6.
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周长。
解：∵BD平分∠B，
DA⊥AB，
DE⊥BC
∴AB＝BE（易证Rt△BAD≌Rt△BED）
又∵AB＝AC＝
BE，
DE＝
DA
∴△DCE的周长＝EC+DE+DC＝
EC+DA+DC＝
EC+AC＝
EC+BE＝BC＝10cm。
例7.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，求证：∠DBC＝∠A
分析1：用折半法。找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。
证法1：作顶角平分线AE。
∵AE⊥BC（等腰三角形“三线合一”），
∴∠EAC+∠C＝
（三角形内角和定理）
∵BD⊥AC（已知），
∵∠DBC+∠C＝
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C（等量代换）
∴∠DBC＝∠EAC
∵∠EAC＝∠A（角平分线定义），
∴∠DBC＝∠A（等量代换）
分析2：用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。
证法2：作∠DBF＝∠DBC，BF交AC于F。
由作法得∠FBC＝2∠DBC，即∠DBC＝∠FBD。
在△BFD与△BCD中，
∴△BFD≌△BCD（ASA）
∴∠BFD＝∠C，
∴∠FBC＝
（三角形内角和定理）
又∵∠C＝∠ABC，
∴∠A＝－∠B－∠C＝－2∠C
∴∠FBC＝∠A（等量代换）
∵∠DBC＝∠FBC（已证），
∴∠DBC＝∠A
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
下列说法正确的是（
）
（A）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
（B）顶角相等的两个等腰三角形全等
（C）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
（D）等腰三角形的两个底角相等
2.
中，，有一点既在的对称轴上，又在对称轴上，则该点一定是（
）
（A）点
（B）中点
（C）中点
（D）中点
3.
已知中，，且，则的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.
下列轴对称图形中，对称轴最多的是（
）
（A）等腰直角三角形
（B）有一角为的等腰三角形
（C）正方形
（D）圆
5.
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BE、CD分别是底角的平分线，DE∥BC，图中等腰三角形的个数有（
）
A.
3个
B.
4个
C.
5个
D.
6个
6.
（1）等腰三角形中有一个角为，则它的一条腰上的高与底边的夹角为___________。
（2）等腰三角形的一个内角为，则其它两个内角为_____________。
（3）一个等腰三角形有两边分别为4
cm和8cm，则周长是_____________cm。
（4）若等腰三角形的顶角为，则腰上的高与底边的夹角为_____________。
7.
如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE。
8.
等腰△ABC的腰长AB＝10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？
9.
如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。
10.
用1－3种方法，将一个等边三角形分割成4个等腰三角形。
【试题答案】
1.
D
2.
D
3.
B
4.
D
5.D
6.
（1）或；
（2）；
（3）20；
（4）
7.
证明：
∵△ABC中，AB＝AC，BD＝CD（已知），
∴AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”），
∴AD垂直平分线段BC，
∴点C和点B关于直线AD对称，
又∵点E在对称轴AD上，
∴BE＝CE（轴对称的性质）
8.
解：∵AB的垂直平分线交另一腰AC于D
∴AD＝BD
∴BD+CD＝AD+CD＝AC
又∵AC＝AB＝10cm
∴BC＝△BCD的周长－（BD+CD）＝
△BCD的周长－AC＝26－10＝16cm。
9.
作法：分别作三条公路的垂直平分线交于一点O，则点O的位置即为所求货运站的位置。
10.
作法如下：探索三角形相似的条件；相似三角形的应用
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
探索三角形相似的条件
相似三角形的性质、图形的位似、相似三角形的应用
二.
教学目标：
1.
经历“探索——发现——猜想”的活动过程，探索两个三角形相似的条件，并会用相似三角形的判定条件来判定相似及计算．
2.
探索相似三角形的性质，知道相似三角形的对应角相等、对应边成比例、对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3.
了解图形的位似，能够利用位似的原理将一个图形放大或缩小．
4.
通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
5.
通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视角和盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示．
三.
教学重点与难点：
重点：1.
三角形相似的条件及应用；2.
相似三角形的性质及应用．
难点：本章内容是直线形的继续，又是由保距变换阶段进入保角变换阶段，而由线段相等转入线段成比例，由三角形全等转入三角形相似，对学生来说，这是认识上的飞跃，要有一个认识上的适应过程．
四.
课堂教学：
（一）知识要点
知识点1：判定三角形相似的条件：
（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
另外，（1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．（2）直角三角形斜边上的高把原三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
知识点2：相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边也成比例；
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
（3）相似三角形（或相似多边形）的周长比等于相似比．
（4）相似三角形（或相似多边形）面积的比等于相似比的平方．
知识点3：位似形：
两个三角形（或两个多边形）不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似形叫做位似形．
利用位似形可以将一个图形放大或缩小．
知识点4：平行投影：
在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．
性质：在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．
知识点5：中心投影：
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
注意：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．
【典型例题】
例1.
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC的延长线上有一点D，CD＝BC，CE⊥BD于点C，交AD于点E，BE交AC于点F．
证明：（1）△BCF∽△DBA（2）AF＝CF
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠2
∵BC＝CD，CE⊥BD，
∴EB＝ED
∴∠1＝∠D
∴△BFC∽△DAB
（2）∵△BFC∽△DAB，
∴
∴FC＝AB＝AC
∴F为AC的中点，即
AF＝CF
评析：由本例证明，今后欲说明两线段相等，运用相似三角形的有关知识也是一条可考虑的思路．
例2.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BM是中线，AD⊥BM，垂足为D，试说明∠MCD＝∠MBC
解：∵∠BAM＝∠ADM＝90°，∠AMD＝∠AMB，
∴△ADM∽△BAM
∴，
∴AM2＝DM·BM
∵MC＝AM，
∴MC2＝DM·BM
∴，
又∵∠DMC＝∠BMC
∴△DMC∽△CMB，
∴∠MCD＝∠MBC
评析：本例说明了运用相似三角形的有关知识可解决一些有关角的问题．
例3.
如图，D为△ABC的边BC上一点，且∠BAD＝∠C，求证：
解：过点A作AE⊥BC于E
∵∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B
∴△ABD∽△CBA
∴＝
即
评析：证明的方法之一就是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
例4.
如图，把△ABC沿AB边平移到△的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离A是
．
解：∵A′C′//AC，
∴△MB∽△ACB
∴，
∵AB＝，S△MB＝
S△ACB
∴＝，
∴A′B＝1
∴A＝＝
评析：由相似三角形的性质：两个相似三角形面积的比是相似比的平方，找出线段A与已知线段AB的关系来解决．
例5.
如图，已知两点A（2，0）、B（0，4），且∠1＝∠2，则点C的坐标是
．
解：∵∠1＝∠2，∠AOC＝∠BOA，
∴△AOC∽△BOA，得，
即OA2＝OB·OC，得22＝4·OC，OC＝1
∴点C的坐标是（0，1）
评析：求线段长度一般用相似或勾股定理，对于相似要善于挖掘题目及图形中的隐含条件．
例6.
利用位似的方法作图，把五边形ABCDE缩小一倍，要求所作图形在原图内部．
解：如图中的五边形即为所求．作法如下：
（1）在五边形ABCDE内部任取点O
（2）连结OA、OB、OC、OD、OE．
（3）取OA、OB、OC、OD、OE中点，分别为、、、、．
（4）连结、、、、，则五边形
即为所求．
评析：一般情况下，位似中心O可以任意取，可以在外部、内部或边上，但具体问题要具体分析．
例7.
如图，在△ABC内任意取一点O，连结OA、OB、OC，在OA、OB、OC上分别取点、、，使得//AB、//BC、//AC，则△与△ABC是位似形吗？为什么？
解：∵//AB，
∴∠＝∠ABO
∵//BC，
∴∠＝∠OBC，这样，∠＝∠ABC
理由是等量加等量和相等，
同理，∠＝∠ACB，
∴△∽△ABC
理由是有两个角对应相等的两个三角形相似，
又因为直线AA′、BB′、CC′都经过点O，
∴△与△ABC是位似图形
评析：依据定义说明是说理的一种常用方法．
例8.
一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵树，在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有树的一岸离开岸边30m处看对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽．
解：过A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于G
∵DE//BC
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∵AF⊥DE
，DE//BC，
∴AG⊥BC
∴，
∴
∴AG＝
∴FG＝75－30＝45
答：河宽为45米
评析：可把点A看作是点光源求解．
例9.
如图，王明在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触路灯A的底部，当他向前再走12米到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触路灯B的底部，已知王明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且AP＝QB＝x米．
（1）求两路灯间的距离；
（2）当王明走到路灯B时，他在路灯AC的影长是多少？
解：（1）FQ⊥AB，CA⊥AB，
∴∠CAB＝∠FQB＝90°
又∵∠CBA＝∠FBQ，
∴△FQB∽△CAB
∴，
∴
∴
即6x＝2x+12，∴x＝3
∴AB＝2x+PQ＝6+12＝18
∴两路灯间的距离为18m
（2）与（1）同理可得：Rt△GBH∽Rt△CAH
∴，
∴，
∴
即6BH＝18+BH，∴BH＝＝3.6
∴王明走到路灯B时，他在路灯AC的影长是3.6米．
评析：本题要根据题意，结合生活实际想象探索出路灯的顶端与人头顶及灯光下的影子的顶端三点共线，然后才可考虑利用相似知识解决所求的问题．
例10.
在水平桌面上有两个“E”，当P1、P2、O这三点在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同，如图：
（1）图中b1、b2、、满足怎样的关系式；
（2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？
解：（1），理由如下：
∵P1D1//P2D2，故△P1D1O∽△P2D2O
则＝，即
（2）由（1）知，且b1＝3.2cm，b2＝2cm，＝8m，
代入得，所以＝5m
故小“E”的测试距离是＝5m．
评析：本题图形似乎较复杂，正是由于实物“E”和“桌面”及标注的条件影响分散了注意力，不易找出基本图形，若将桌面省略及“E”抽象为一条线段极易发现图中基本图形——相似形中的“A”型或位似形．
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）选择题：
1.
具备下列各组条件的两个三角形中，一定相似的是（
）
A.
两个任意三角形
B.
两个等腰三角形
C.
两个等边三角形
D.
两个直角三角形
2.
如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于BC的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共（
）
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
3.
如图，在△ABC中，DE//BC，AH⊥BC，垂足为H，且交DE于点G，AD：BD＝1：2，下列结论中，错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定（固定点M、N恰好为两电线杆的底部），如图，一根电线杆钢索系在离地面4m的A处，另一根电线杆钢索系在离地面6m的B处，则中间两根钢索相交处点P离地面（
）
A.
2.4m
B.
2.8m
C.
3m
D.
高度不能确定
5.
如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（
）
A.
0.36πm2
B.
0.81πm2
C.
2πm2
D.
3.24πm2
（二）填空题：
6.
已知△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝2：3，则S△ABC与之比为
．
7.
一油桶AB高1米，为测桶内余油DB的深度，将一木棒斜插入桶底，测得木棒在桶内的长度为1.5米，浸油部分长度为1.2米，则油的深度是
米．
8.
如图，在△ABC中，DE//BC，若，DE＝2，则BC的长为
．
9.
如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点高度下降0.5m时，长臂端点升高
m．
10.
如图，某测量工作人员的眼与标杆顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6m，标杆为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则电视塔的高ED＝
m．
（三）解答题：
11.
如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则在图中能找到相似三角形吗？请说明理由．
12.
如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM
（2）若DB＝9，求BM
13.
如图，小明为了测量一座高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）
14.
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于E，求证：∠DBE＝∠DAB
15.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别AD、DC的边上的点，且DE＝AD，DF＝CD．求证：△EFB∽△EDF
【试题答案】
（一）选择题：
1.
C
2.
C
3.
D
4.
A
5.
B
（二）填空题：
6.
4：9
7.
0.8
8.
6
9.
8
10.
11.2
（三）解答题：
11.
解：△AED∽△CBD，
设三角形ABC的边长为a
则CB＝a，CD＝
∴
又∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD
12.
（1）证明：∴E是AB中点，
∴AB＝2EB
∵AB＝2CD，
∴CD＝EB
又AB//CD，
∴四边形CBED是平行四边形
∴CB//ED
∴∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM，
∴△EDM∽△FBM
（2）解：∵△EDM∽△FBM，
∴，
∴F是BC的中点，
∴DE＝2BF，
∴DM＝2BM，
∴BM＝DB＝3
13.
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA
∴MN：BC＝AN：AC
∴MN：1.6＝20：1.5，
∴MN＝1.6×20÷15≈21.3cm
14.
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AD上的高，
∴△ACD∽△CED
∴
∴CD2＝AD·DE
又∵CD＝BD，
∴BD2＝DE·DA
∴
又∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴∠DBE＝∠DAB
15.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
∵DE＝AD，DF＝CD，
设DE＝x，则AD＝4x，DF＝2x，
∵，，
∴
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△EDF∽△FCB，
∴，且∠2＝∠3
∵∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°
∴∠EFB＝90°，∴∠EFB＝∠D
又∵，
∴△EFB∽△EDF函数及一次函数有关内容
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
函数及一次函数有关内容
学习目标：
1.
理解常量、变量以及函数的概念，知道函数的三种表示方法；
2.
掌握一次函数y＝kx＋b和正比例函数y＝kx的概念、它们之间的关系以及会用待定系数法求这两个函数的关系式；
3.
能通过图形、表格等搜集信息并处理信息，学会表达思想．
二.
重点、难点：
1.
函数、一次函数、正比例函数的概念，函数的三种表示方法、待定系数法、识图等能力是重点；
2.
函数概念的理解是难点．
三.
知识要点：
1.
函数：
一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量，y是因变量．
2.
函数的三种表示方法：
表格法，图像法，关系式法
3.
一次函数与正比例函数：
（1）一次函数：一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系可以写成y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数．需要注意的是：k≠0；
（2）正比例函数：若一次函数y＝kx＋b中的b＝0，则一次函数变为：y＝kx，这时我们称y是x的正比例函数.正比例函数是一次函数的特例．
4.
待定系数法：
【典型例题】
例1.
下列问题中的两个变量是否是函数关系
（1）一个正方形的边长是3cm，它的边长减少x
cm后，得到的新正方形的周长是y
cm，y可以看成是x的函数吗
（2）y是x的倒数，y是x的函数吗
（3）某人的身高是他本人年龄的函数吗
（4）如图，分别给出了变量y与x之间的对应关系，y不是x的函数的是
分析：这几道题目有的可以根据题意写出关系式，如（1），（2）；有的则不能，如（3），（4）但是都要根据函数的定义来判定．
解：（1）由题意，得y＝4（3－x），即y＝12－4x，其中0（2）当x为0时，y没有唯一的值与x对应，所以y不是x的函数．
（3）符合函数的定义，所以某人的身高是他本人年龄的函数．
（4）B不符合函数的定义，因为当x取一个负数时，有两个函数值y与其对应．
例2.
观察下图和表中所给数据后回答问题：该图形的周长能够为2006吗
探究过程：梯形的个数为1时，周长为5；梯形的个数为2时，周长为8＝5＋3；梯形的个数为3时，周长为5＋3×2；…当梯形的个数为n时，周长为5＋3×（n－1）．假设周长为2006时，则5＋3×（n－1）＝2006，解方程得不是整数，而n必须是正整数，故图形的周长不能为2006．
探究评析：解决此类题目，先从分析简单情形入手，从特殊到一般，从中寻找规律，进而求出两个变量之间的函数关系式，继而由自变量求函数值，或由函数值求自变量的值．本题就是求自变量的值．
例3.
仔细观察下图，回答下列问题：
（1）图中反映的是哪两个变量之间的关系
（2）A，B两点分别代表什么
（3）说一说速度是怎样随时间变化的
分析：本题用图形的形式反映了两个变量：速度与时间，即速度随时间变化的情况.
解：（1）图中反映的是速度随时间变化的情况；
（2）点A表示第9分钟时速度是20km/h；点B表示第15分钟时速度是0
km/h；
（3）从开始到第3分钟，速度从0
km/h增加到20
km/h；第3分钟到第9分钟，速度保持20
km/h；第9分钟到第12分钟，速度从20
km/h增加到60
km/h；第12分钟到15分钟，速度从60
km/h降低到0
km/h．
例4.
当m，n为何值时，函数
（1）是一次函数 （2）是正比例函数
分析：根据一次函数及正比例函数的标准形式，我们就可以得出相关的方程（组），求出m，n的值
解：（1）由题意得，
故当时，该函数为一次函数．
（2）由题意得，
故当时，该函数为正比例函数．
例5.
为了保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度．
第一套
第二套
椅子高度x/cm
40.0
37.0
桌子高度y/cm
75.0
70.2
（1）请确定y与x的函数关系式．
（2）现有一把高度为39cm的椅子和一张高度为78.2cm的课桌，它们是否配套 为什么
分析：解答本题的关键是将实际问题抽象成数学问题，既考查了用待定系数法求函数关系式，又考查了函数对应值的知识．求解时要认真审题，准确理解配套的意义．
解：（1）设y与x的函数关系式为．
由表格可知，当x＝40.0时，y＝75.0；当x＝37.0时，y＝70.2．
所以
所以，y与x的函数关系式为
（2）当椅子高度为x＝39cm时，相配套的桌子的高度应为
．
所以，一把高度为39cm的椅子和一张高度为78.2cm的课桌不配套．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.
池中有水600m3，每小时抽出50
m3，则池中剩余水量Q与时间t的函数关系式
；
2.
一蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，剩余高度l（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系式
；
3.
已知等腰三角形的面积为20cm2，底上的高h（cm）与底边为x（cm）之间的函数关系式
；
4.
某新生办理月票卡时一次存入50元，每次乘车刷卡扣费0.5元，则卡内剩余金额y（元）与刷卡次数x的关系式为
；
5.
一根弹簧原长18cm，挂重不超过24kg时，每增加1kg，弹簧就拉长0.5cm，弹簧的长度y（cm）与所挂物重x（kg）之间的函数关系式
；
6.
某公司业务员到A市出差，，打车从火车站到分公司的车费，起步价为8元（3km以内），超过3km每增加1km加收2.4元（不足1km按1km计算），车费P（元）与路程x（km）之间的函数关系式
；
7.
某移动公司为用户提供两种资费方式拨打市话.甲：拨打和接听市话0.20元/min，但每月要交10元月租费；乙：拨打和接听市话0.40元/min，不收月租费．甲，乙两种方式下的费用y1，y2（元）与拨打或接听电话时间t（min）之间的关系式
；
8.
某市民用电收费标准为每千瓦时0.52元，电费y（元）与用电千瓦时数x（千瓦时）之间的关系式
；
9.
某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费．设月用电x千瓦时时，应交电费y元，当0≤x≤100时，
y＝
，当x＞100时，y＝
10.
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是（
）
11.
小刚和他的爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一个目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行，三人步行的速度不等，小刚与爷爷的骑车的速度相等，每个人的行走路程S与时间t的关系分别是图中三个图象中的一个．走完一个往返，小刚用了
分钟；爷爷用了
分钟；爸爸用了
分钟．
12.
随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨的销售价x（万元）的一次函数，且当x＝0.6时，y＝2.4；当x＝1时，y＝2．
（1）求出销售量y（吨）与每吨的销售价x（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为（万元），写出与x之间的函数关系式．
13.
地表以下岩层的温度y（℃）随着所处的深度x变化而变化，在一定范围内，y可以近似地看作是x的一次函数，并且当岩层所处深度是7km和10km时，它的温度分别是263℃和370℃，求这个函数的关系式．
【试题答案】
1.
Q
＝600－50t
2.
l＝20－5t
3.
4.
y＝50－0.5x
5.
y＝18＋0.5x（0≤x≤24）
6.
7.
8.
y＝0.52x
9.
y＝0.57x，y＝57＋0.5（x－100）
10.
D
11.
21，26，24
12.
（1）y＝－x＋3，（2）ω＝－x2＋3.5x－1.5
13.勾股定理与平方根
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
勾股定理与平方根
勾股定理及逆定理揭示了形和数之间的紧密联系，在现实生活中也有着广泛的应用，体现了数学的价值。而且，在数学发展史上有着重要的地位，对人类的发展也起着重要的作用。
平方根、算术平方根、立方根概念的引入，体现了引入新数的必要性。从而把对数的认识上升到“实数”上。
二.
重点、难点：
1.
勾股定理及逆定理的理解与应用。
2.
无理数和实数的概念，实数与数轴上的点一一对应。
3.
近似数字与有效数字的概念。
三.
知识要点：
1.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形。（判定三角形是直角三角形的一种方法）
满足的三个正整数称为勾股数。如：3、4、5；5、12、13等
3.
平方根与算术平方根
（1）平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称二次方根。
即：若，那么x就叫做a的平方根。
用表示，读作：“正、负根号a”
如：
［注意］一个正数有两个平方根，它们互为相反数；如：2的平方根为
0只有一个平方根，它是0本身；即
负数没有平方根。
（2）算术平方根
正数有两个平方根，其中正的平方根，也叫做的算术平方根。
如：15的平方根是；算术平方根是
（3）平方与开平方
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方的结果是唯一的。
在开平方的运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。
4.
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称三次方根。
即：若，那么x就叫做a的立方根。
用表示，读作：“三次根号a”。
如：
［注意］正数的立方根是正数；
0的立方根是0；即
负数的立方根是负数。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
5.
实数
（1）无理数：无限不循环小数，如：
（2）实数：有理数和无理数统称为实数。
a）分类
b）实数和数轴
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。
6.
近似数与有效数字
（1）由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
如：某人的体重约为62公斤，这里的62就是近似数。
（2）一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数算起，到这一位数字止，都叫做这个数的有效数字。
如：3.1415926……3.14有三个有效数字3，1，4
又如：3488030000（精确到千位）
（3）科学记数法
把一个数记为
如：696000记为6.96
（4）取近似值的方法——四舍五入法
指定舍去一个数的某一数位后边的数时，如果舍去的数里最左边的一位数字是5，6，7，8，9，就在留下的数字里被指定的数位上+1；如果舍去的数里最左边的一位数字是0，1，2，3，4，留下的数不变，舍去整数时，要用0替代舍去的每一个数字。
如：用四舍五入法截取462.3845到百分位，得到近似数462.38；到十分位，得近似数462.4；到十位，得4.6
【典型例题】
例1.
已知等边三角形的边长是6cm。求：
（1）高的长；
（2）求。
解：（1）在中，
∴
（2）
答：高AD的长为，为
例2.
已知：如图，△ABD中∠B=90°，∠D=15°，C是BD上一点，AC=CD=8cm，则AB=
cm，BC=
cm。
解：∵∴是等腰三角形
∴
∵
∴中，，
说明：三角形的外角等于两个不相邻的内角和。
例3.
若，求（1）
（2）中的x
解：（1）∵
∴
又∵
∴3x
=
4.115
x≈1.372
（2）∵
∴
又∵
∴1－2
x
=
41150
x≈－20574.5
例4.
已知一个正方体的棱长是4厘米，再做一个正方体，使它的体积是原正方体体积的3倍，求所做正方体棱长（精确到0.1cm）
解：设所做正方体棱长为xcm
则
∴
x≈5.8cm
答：所做正方体棱长为5.8cm
说明：按照近似计算的要求，在解题过程中应比要求的精确度多保留一位小数，最后结果再四舍五入到要求的形式。
例5.
用科学记数法表示91800000，正确的是（
）
（A）918×
（B）91.8×
（C）9.18×
（D）9.18×
解：选D
说明：紧扣科学记数法的定义，其中。
例6.
（1）一个数用科学记数法记为6×，这个数原来怎么记？它是几位整数？
（2）一个数用科学记数法记为6.09×，这个数原来怎么记？它是几位整数？
（3）一个数用科学记数法记为6.00009×，这个数原来怎么记？它有几位整数？
答：（1）60000，它是五位整数；
（2）60900，它是五位整数；
（3）60000.9，它有五位整数
例7.
如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC长160米，BC长128米。问从点A穿过湖到点B有多远？
解：在直角三角形ABC中，AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米。
例8.
印度一作者所写的莲花问题，是用诗文形式写成的：平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何见深浅。
解：如图，，
由已知，在
又
∴
解得
答：湖水深尺。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
（1）已知在Rt△ABC中∠C=90°。
①若a=6，c=10，则b=______；
②若a=40，b=9，则c=______。
（2）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=______；
②若∠A=45°，则BC=______，AC=______。
2.
若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（
）
（A）
（B）或
（C）
（D）或
3.
一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为6米，如梯子顶部下滑1米，那么梯子的底端滑动_____________________米？
4.
用科学记数法记以下的数:
（1）第五次人口普查时，中国人口约为1
300
000
000人，记为______；
（2）太阳的半径约为696
000
000
米，记为___________；
（3）光的速度约为300
000
000米/秒，记为_____________；
（4）人体中约有2
500
000
000
000个红细胞，记为_____________；
（5）我国的陆地面积居世界第三位，约为9
597
000平方千米，记为_______________。
5.
已知的值是（
）
（A）1.096
（B）0.1096
（C）0.346
（D）3.46
6.
已知
求的值。
7.
某人从A处沿直线到达B处，在图中，每个小方格的边长为1km，试求该人通过的路程。
8.
一个正常人的平均心跳速率约为70次/分，一年大约跳几次？
9.
在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（
）
（A）3，3，3
（B）+1，－１，2
（C）8，15，17
（D）3.5，4.5，5.5
10.
感受勾股定理的美
【试题答案】
1.（1）①8
②41
（2）①5，5
②5，5
2.
D
当腰为4，底为6时，高为；当腰为6，底为4时，高为
3.
解：根据勾股定理，开始的时候梯子底端距离墙面8米
当下滑1米
，则高为5米，斜边为10米。
所以底面为，所以底端滑动米
4.
（1）人
（2）米
（3）3×108米/秒
（4）个
（5）平方千米
5.
A.
6.
解：∵
∴
∵
∴
7.
解：
8.
解：约为次
9.
D
10.
略一次函数
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
一次函数复习
【学习目标】
1.
理解一次函数的概念，掌握一次函数的图像及简单性质，并利用一次函数解决简单的实际问题.
2.
会用待定系数法求一次函数的关系式，学会分析实际问题中量与量之间的关系，能利用图像的直观性得到二元一次方程组的解，体会数形结合的数学思想方法.
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.
关于函数，下列结论正确的是……………………………………………（
）
A.
函数图象必经过点（1，2）
B.
函数图象经过第二、四象限
C.
y随x
的增大而增大
　　　
D.
不论x
取何值，总有
2.
一次函数y＝－2x＋3的图象与两坐标轴的交点是…………………………（
）
A.
（3，1）（1，）
B.
（1，3）（，1）
C.
（3，0）（0，）
D.
（0，3）（，0）
3.
要从的图象得到直线，就要将直线………（
）
A.
向上平移
个单位
B.
向下平移
个单位
C.
向上平移
2个单位
D.
向下平移
2个单位
4.
甲、乙两辆摩托车分别从、两地出发相向而行，图中、分别表示两辆摩托车与地的距离(千米)与行驶时间（小时）之间的函数关系，则下列说法:①、两地相距24千米；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；③甲车的速度比乙车慢8千米／小时；④两车出发后，经过小时，两车相遇.
其中正确的有……………………（
）
A.
1个
B.
2个
　　C.
3个
D.
4个
5.
如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最
大深度h与时间t之间的关系的图像是………………（
）
6、如果ab>0，
bc<0，
则一次函数的图象的大致形状是（
）
7.
汽车由南京驶往相距300千米的上海，当它的平均速度是100千米/时时，下面哪个图形表示汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系……………（
）
二、填空题
1.
若点（3，）在一次函数的图像上，则
。
2.
直线y=－5x－3与x轴的交点坐标是_____
__，与y轴的交点坐标是____
____，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为_________.
3.
已知y与4x－1成正比例，且当x=3时，y=6，写出y与x的函数关系式
。
4.
直线与平行，且经过（2，1），则k=
，b=
.
5.
老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确地指出了这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一象限；
乙：函数的图象经过第二象限
丙：在每个象限内，y随着x的增大而减小。
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：
。
三、解答题
1.
如图，lA
lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系。
（1）B出发时与A相距
千米。
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是
小时。
（3）B出发后
小时与A相遇。
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
小时与A相遇，相遇点离B的出发点
千米。
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式。
2.
已知正比例函数图象（记为直线l1）经过（1，－1）点，现将它沿着y轴的正方向向上平移1个单位得到直线l2。
（1）求直线l2的表达式；
（2）若直线l2与x轴、y轴的交点分别为A点、B点，问：在x轴上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出它的坐标；若不存在，请说明理由。
3.
某医药研究所发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2
h时血液中含药量最高达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10
h时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（h）的变化情况如图所示（成人按规定服药后）
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含量4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间有多长？
【试题答案】
一、选择题
1.
C
2.
D
3.
A
4.
D
5.
C
6.
B
7.
B
二、填空题
1.
10。
2.
()
，(0，-3)，.
3.
4.
k=-5，b=
11.
5.
y=-x+1
三、解答题
1.
（1）
10
。
（2）
1
小时。
（3）
3
小时与A相遇。
（4）
1
小时与A相遇，相遇点离B的出发点
15
千米。
（5）路程S与时间t的函数关系式。S=5t+10
2.
（1）y=－x+1
（2）共存在四个点，其坐标分别是(0，0)，(-1，0);();(
)
3.
（1）x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式分别:；y=3x;
（2）6h你的判断对吗；说理
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
二、教学目标
1、学会观察、操作，并对获得的数学猜想进行试验、验证．
2、理解直观判断有时不一定正确．从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出说理.
3、学会有条理思考和有条理表达，尝试用说理的方法解决问题，体验说理必须步步有据.
4、了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论．
三、教学重点、难点：
重点：通过试验、观察、操作，感受“说理”的必要性．掌握“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具．
难点：理解命题的组成，能说出一个命题的条件和结论，掌握真假命题的判断．
四、课堂教学
（一）知识要点
知识点1
观察、实验、操作：
通过观察、实验、操作等可以寻找规律、但由于观察有可能有误差，实验可能受到干扰，操作可能有错误，考察对象不具一般性等原因，一般说来由观察、实验、操作等所产生的结论未必正确．
知识点2
定义：
规定一个名称和术语的含义的句子叫定义．
例如，“两点之间的线段的长度，叫两点的距离”
．
“符号不同，绝对值相等的两个数叫做互为相反数”，
“能够完全互相重合的图形叫做全等形”．
知识点3
命题：
判断一个事情的句子叫做命题
例如：熊猫没有翅膀，小华喜欢踢足球，等角的余角相等．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
知识点4
命题的条件与结论：
每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
例如命题“如果a=b，b=c，那么a=c中”“a=b，b=c”是条件，”“a=c”是结论．命题中的条件有时也叫“题设”．
知识点5
真命题与假命题：
真命题：正确的命题叫真命题．
假命题：不正确的命题叫假命题
例如：“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题．“菱形的四个角都相等”是假命题．
【典型例题】
例1、你的判断对吗？
（1）图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.
（2）下图的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.
（3）图中有曲线吗？
（4）如图，是一张边长为8cm正方形纸片，把它们剪成4块，按右图重新拼合，这4块碎片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方形吗？
本例题应主要让学生自己通过分组合作共同研究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理
（5）下面图1中的四边形是正方形吗？图2中的两条直线a、b平行吗？
图1
图2
例2、假如用一根比地球赤道长1
m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设铁丝与地球赤道之间的间隙为x米
2π（R+x）=2πR
x≈0.15
所以能放进一个拳头
思路点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.
例3、某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：
（1）如果去A地，那么也必须去B地；
（2）D、E两地至少去一处；
（3）B、C两地只去一处；
（4）C、D两地都去或都不去；
（5）如果去E地，那么A、D两地也必须去
依据上述条件，你认为参观团只能去__________________
解：由（2）知，D、E两地至少去一地，若去E地，则由（5）也必须去A、D地，于是由于（1）和（4）必须去B、C两地，但与（3）矛盾，所以不能去E地，因此必须去D地．
由（4）也必须去C地，再由（3）知，不能去B地，从而由（1）知也不能去A地．
故参观团只能去C、D两地．
例4、如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA、OB交于C、D
（1）在甲图中试说明PC=PD
（2）在乙图中点G是CD与OP交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比
解：（1）过P点分别向OA、OB边作垂线段PE、PF，由角平分线的性质得PE=PF，从而△PCE≌△PDF，所以PC=PD；
（2）由PC=PD可知∠PDC=∠POD=45°，则△PDG∽△POD，所以△POD与△PDG的面积之比为对应边之比的平方．
例5、下面的句子哪些是命题，哪些不是命题，为什么？
（1）我是北京人；（2）你吃饭了吗？（3）对顶角相等；（4）内错角相等；
（5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2，则a>b.
解：命题是判断一件事情的句子，所谓判断就是肯定一件事物是什么或不是什么．判断可以是错误的，比如语句（4），它作出了判断，因此它是命题．而语句（2）、（5）没有作出判断，语句（6）是猜测，没有作出肯定也没有否定，所以它们都不是命题．
因此命题有：（1）、（3）、（4）、（7），不是命题的有（2）、（5）、（6）
例6、已知下列命题，判断其中的真命题与假命题．
（1）同角的余角相等；
（2）鸦片战争是中国近代史的开端；
（3）等腰梯形是轴对称图形；
（4）异号两数相加得零；
（5）平行于同一条直线的两直线平行；
（6）函数的自变量x的取值范围是；
（7）在三角形中，两边之和小于第三边．
解：其中真命题是：（1）、（2）、（3）、（5）、（6），其余的为假命题．
例7、下列命题的条件是什么？结论是什么？并指出真假命题.
（1）能被2整除的数也能被4整除；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）若xy=0，则x=0；
（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等
（5）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
（6）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；
（7）两条直线相交，只有一个交点；
（8）直角三角形的两个锐角互余；
（9）垂直于同一条直线的两条直线平行.
解：（1）条件：一个数能被2整除，结论：它能被4整除；假命题
（2）条件：两个角是相等的角，结论：它们是对顶角；假命题
（3）条件：xy=0结论：x=0；假命题
（4）条件：一个点在角的角平分线上，结论：它到这个角两边的距离相等．真命题
（5）条件：一个三角形是等腰三角形，结论：这个三角形的两个底角相等．真命题
（6）条件：一个四边形的对角线相等，结论：
这个四边形是矩形.假命题
（7）条件：两条直线相交，结论：这两条直线只有一个交点．真命题
（8）条件：两个角是直角三角形的两个锐角，结论：这两个锐角互余．真命题
（9）条件：两条直线垂直于同一条直线，结论：这两条直线平行．真命题
例8、举反例说明“同位角相等”是假命题
分析：在举反例时，一定要满足条件，但不满足结论即可
解：如图∠1与∠2时同位角，但是∠1是锐角∠2是钝角，显然∠1≠∠2，所以
“同位角相等”是假命题
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1、下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（
）
A、只需观察得出
B、只需依靠经验获得
C、通过亲自实验得出
D、必须进行有根据地推理
2、通过观察你能肯定的是（
）
A、图形中线段是否相等；
B、图形中线段是否平行
C、图形中线段是否相交；
D、图形中线段是否垂直
3、下列问题用到推理的是（
）
A、根据x=1，y=1
得x=y；
B、观察得到四边形有四个内角；
C、老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘；
D、由公理知道过两点有且只有一条直线
4、下列语句错误的是（
）
A、同角的补角相等；
B、同位角相等．
C、垂直于同一条直线的两直线平行；
D、两条直线相交有且只有一个交点．
5、满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（
）
A、∠B+∠A=∠C
B、∠A：∠B：∠C=1：2：3
C、∠A=2∠B=3∠C
D、一个外角等于和它相邻的一个内角
6、下列句子中，不是命题的是（
）
A、三角形的内角和等于180度；
B、对顶角相等；
C、过一点作已知直线的垂线；
D、两点确定一条直线.
7、下列句子中，是命题的是（
）
A、今天的天气好吗
B、作线段AB∥CD；
C、连结A、B两点
D、正数大于负数
8、下列命题是真命题的是（
）
A、如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
B、两互补的角一定是邻补角
C、如果a2=b2，那么a=b；
D、如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等
9、下列命题是假命题的是（
）
A、如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
D、矩形的对角线相等且互相平分
10、下列命题中，真命题有（
）
①如果△A1B1C1∽△A2B2C2，△A2B2C2∽△A3B3C3，那么△A1B1C1∽△A3B3C3；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
③如果
=0，那么x=±2；
④如果a=b，那么a3=b3
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、填空题
1、小明三天没来上学了，明天他肯定还不会来，这种判断是否合理 答：______．
2、要判断两条线段是否平行，仅靠观察是________的．（行或不行）
3、有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f．有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为
，b的对面为
，c的对面为
．
4、用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是____
5、下面的判断是否正确，（1）对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2．
（2）当n=0，1，2，3，4，5时，n2+n的值是偶数，你能否得到结论：对于所有的自然数n，n2+n的值都是偶数
三、解答题
1、地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：
甲：3号是欧洲，2号是美洲；
乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；
丙：1号是亚洲，5号是非洲；
丁：4号是非洲，3号是大洋洲；
戊：2号是欧洲，5号是美洲；
地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，每个号码各代表什么洲呢？
2、小明的爸爸告诉小明“高空中距离地面越远温度越低”，并给小明出示了下面的表格
距离地面高度（km）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
－4
－10
根据上表，小明的爸爸还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎样变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空，温度是多少吗？
（4）你能猜测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
3、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质，只要善于观察，乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）如图中，四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两个三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗 试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．
试说明：S△OBC·
S△OAD
=
S△OAB·S△OCD
（2）如图，在△ABC中，你能否归纳出类似的结论 若能，写出你猜想的结论，并说明理由，若不能，说明理由．
4、写出下列命题的条件和结论：
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等；
（3）绝对值等于3的数是3；
（4）如果∠DOE=2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．
5、判断下列命题的真假：
（1）一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果│a│=│b│，那么a3=b3．
（3）如果AC=BC，那么点C是AB的中点
6、指出下面命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题，请举出反例．如果等腰三角形的两条边长为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17．
【试题答案】
一、选择题
1、D
2、C
3、A
4、B
5、C
6、C
7、D
8、A
9、C
10
B
二、填空题
1、不合理
2、不行
3、a对面是e；
b对面是d；
c对面是f
4、平行四边形
5、（1）对（2）能
三、解答题
1、1号是亚洲；2号是大洋洲；3号是欧洲；4号是非洲；5号是美洲
2、（1）上表反映了距离地面的高度与温度的关系．距离地面的高度是自变量，温度是因变量．
（2）t=20－6h
（3）距离地面5千米的高空的温度是－10度（4）距离地面6千米的高空温度是20－6×6=－16（度）
3、（1）思路分析：要想说明S△OBC·S△OAD
=
S△OAB·S△OCD
只要说明S△OBC：S△OCD=S△OAB
：S△OAD
而S△OBC：S△OCD=OB：OD
S△OAB
：S△OAD=OB：OD所以原命题成立
说明：（1）因为S△OBC
：S△OCD=OB：OD
S△OAB
：
S△OAD=OB：OD
所以S△OBC：S△OCD
=S△OAB
：S△OAD
所以S△OBC·S△OAD
=
S△OAB·S△OCD
（2）S△OAB·S△OCD
=
S△OAD·S△OCB
说明与（1）类似，从略
4、解：（1）条件是：两条直线被第三条直线所截，结论是：同旁内角互补．
（2）条件是：两个三角形全等，结论是：这两个三角形对应边上的高也相等．
（3）条件是：一个数的绝对值等于3，结论是：这个数是3．
（4）条件是：∠DOE=2∠EOF，结论是：
OF是∠DOE平分线．
5、解：（1）真命题
（2）假命题
（3）假命题
6、解：这个命题的条件是：
一个等腰三角形的两条边长为5和7，结论是：
这个等腰三角形的周长为17
这个命题是假命题
例如：一个等腰三角形的三边分别是5、7和7，那么这个等腰三角形的周长为19．所以原命题是假命题一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组的图像解法
[学习目标]
1.
理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质，会画一次函数的图像.
2.
会应用一次函数的性质解决实际问题，能够用图像法解二元一次方程组.
3.
通过学习，进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.
二.
重点、难点：
能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像，用图像法解二元一次方程组，理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点；难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题.
三.
知识要点：
1.
一次函数与正比例函数的图像
一般地，一次函数的图像是过（），（0，b）的一条直线；特殊的，正比例函数的图像是过（0，0），（1，k）的一条直线.
直线是由直线向上或向下平移单位得到的.或者说直线是由直线向右或向左平移单位得到的.
2.
一次函数的性质
（1）增减性：如果，那么y的值随x值的增大而增大；
如果，那么y的值随x值的增大而减小
（2）所通过的象限如下表
k，b的符号
k>0，b>0
k>0，b<0
k<0，b>0
k<0，b<0
图像
所通过的象限
一，二，三
一，三，四
一，二，四
二，三，四
3.
一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系：
一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；
以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数图像上.
4.
数形结合及数学建模思想方法的体会与应用也是本章的一个重要知识点.
【典型例题】
例1.
如图所示，两条直线分别表示函数和，请根据图像，回答下列问题：
（1）直线AB表示
的图像，直线OB表示
的图像.
（2）函数随x的增大而
，函数随x的减小而
.
分析
（1）观察图像可知，直线AB与直线OB的区别是直线OB经过原点，而正比例函数的图像是经过原点的一条直线，所以直线OB表示，直线AB表示.
（2）从左向右看两个图像的变化趋势可知，函数随x的增大而增大；函数随x的减小而增大
解
（1）；
（2）增大；增大
方法指导
经过原点的直线是正比例函数的图像，不经过原点的直线是一般是一次函数的图像.
例2.
直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致为（
）
分
析
解决此题有效的方法是排除法.如我们以B为例，可以看出正比例函数kb>0，即k，b为同号；另外从一次函数y＝kx+b的图像可以看出k<0，b>0，即k，b异号，所以出现矛盾情况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握.
解
A
例3
一次函数的图像过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式.
分析
要求一次函数的函数关系式，必须知道函数图像经过两点的坐标，由条件知一个点的坐标，必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为9”可求得另一个点的坐标.最后用待定系数法去求关系式.
解
如图，设一次函数的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，b），则OA＝3，OB＝.又，故B的坐标为（0，6）或（0，－6）.
设一次函数的函数关系式为，则
得
所以一次函数的解析式为y＝－2x+6或y＝2x－6
评析
解决面积问题结合图形考虑，不但对问题容易把握，而且可以使问题解决的更全面.
例4
如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）变化的图像（全程）.根据图像回答下列问题：
（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；
（2）求这次比赛的全程是多少千米；
（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.
分析
认真读图，通过图像上的一些特殊点，如图像与坐标轴的交点，图像的起、终点，图像上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口，如本题以A，B两点为突破口.
解
（1）当
把（15，5）和（33，7）代入得
当y＝6时，有
∴比赛开始24min两人第一次相遇.
（2）设
∴
∴比赛的全程为12km.
（3）当
解得
解方程组
∴比赛开始38min两人第二次相遇.
评析
本题体现了从形到数的转化，是数形结合的具体运用，也是待定系数法的具体应用，此方法与方程、方程组的解法密不可分.
例5
在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是
，从点燃到燃尽所用的时间分别是
；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
分析
（1）纵轴表示蜡烛的高度.
（2）因为图像都是线段，所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用待定系数法分别求解.
（3）求出两条线段的交点坐标，结合图像的位置求解.
解
（1）30cm，
25cm；
2h，
2.5h
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x函数关系式为
观察可知，它的图像经过点（2，0），
（0，30）
所以
解得
所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为
设乙蜡烛燃烧时y与x函数关系式为
观察可知，它的图像经过点（2.5，0），
（0，25）
所以
解得
∴乙蜡烛燃烧时函数关系式为：
（3）当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时，则
所以x＝1时，甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等.
观察图像可知，当甲蜡烛比乙蜡烛低.
方法指导
第（3）小问要抓住交点的意义，并结合图像求解.
例6
学校有一批复印任务，原来有甲复印社承接，按每100页40元计费.现在乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图
根据图像回答下列问题：
（1）乙复印社的每月承包费是多少
（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么学校应选择哪个复印社比较合算
分析
由图像可知，乙的图像与y轴的交点坐标为（0，200），说明乙每月的承包费为200元；而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置；对于选择哪家复印社比较合算，那就要看当x＝1200时，哪条直线的位置“较低”了.
解
（1）乙复印社的每月承包费为200元；
（2）从图像上观察可知，当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；
（3）如果每月复印页数在1200页左右，也就是当x＝1200时，其在乙图像上的点低于甲图像上的点，故说明学校应选择乙复印社比较合算.
评析
根据条件，本题还可以依据图像写出收费y（元）与复印页数x（页）之间的函数关系式，甲为y＝0.4x，乙为y＝0.15x+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第（2），（3）问了.
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.
若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是
（写出一个即可）
2.
一次函数y＝kx+b满足kb＞0且y随x的增大而减小，则此函数图象不经过
（
）
A、第1象限
B、第2象限
C、第3象限
D、第4象限
3.
两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的
（
）
4.
在函数y＝－2x+3中，当自变量x满足
时，图象在第一象限.
5.
已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）且不经过第四象限，则满足以上条件的一个一次函数的解析式为
6.
某污水处理厂的一个净化池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个，每个进水口进水速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水也不出水.其中正确的是
（
）
A、（1）
B、（1）（2）
C、（1）（3）
D、（1）（2）（3）
7.
如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数的解析式为
（
）
A.
2x－y+3＝0
B.
x－y－3＝0
C.
2y－x+3＝0
D.
x+y－3＝0
8.
如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行驶的路程与经过的时间的函数关系，请根据图象填空：
出发早，早了
小时，
先到达，先到
小时，电动自行车的速度为
km/h，汽车的速度为
km/h.
9.
已知正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝
k2x－9的图象相交于点P（3，－6）.
（1）求k1、k2的值；
（2）如果一次函数y＝
k1x－9的图象与x轴交于点A，求A的坐标.
10.
某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本y（元）
28500
36000
41000
53500
……
（1）经过对上表数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果出版社投入48000元，那么能印读物多少册？
11.
某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y1、y2的解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？
12.
电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集.
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式；
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值.
【试题答案】
1.
y
＝2x
2.
A
3.
B
4.
5.
y＝x+1
6.
C
7.
D
8.
电动车，
2
，
汽车，
2
，
18
km/h，
60
km/h.
9.
（1）k1＝－2，k2＝1；
（2）（9，0）
10.
（1）
（2）12800
11.
（1）
（2）第一种情况是按照推销的件数提成；第二种情况是先付给推销员300元，然后再按推销的件数提成.
（3）当推销产品的件数等于30件时，两种方案一样，
然后再分大于30件和小于30件来考虑
12.
（1）y＝5x+105
（2）略反比例函数
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
反比例函数
二.
教学目标：
1.
能体会反比例函数的意义，会根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2.
了解反比例函数图象的形状特征，会画反比例函数的图象。
3.
掌握反比例函数的性质，会用反比例函数的性质，处理简单的实际问题
4.
综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
5.
通过看图（象）、识图（象）、读图（象），体会用“数、形”结合思想解答反比例函数应用题.
三.
教学重点与难点：
教学重点：反比例函数的概念及反比例函数的性质
教学难点：待定系数法求反比例函数的表达式及反比例函数的性质的应用
四.
课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：反比例函数的概念
一般的，形如y=（k不等于零的常数）的函数叫反比例函数
反比例函数的解析式又可以写成：（
k是不等于零的常数）
知识点2：正比例函数与反比例函数比较
（1）从形式上看，正比例函数y=kx是关于自变量的整式，反比例函数y=是关于自变量的分式；
（2）从内涵上看，正比例函数y=kx的两个变量的商是非零常数，即，（k是常数，且k≠0）；反比例函数y=的两个变量积是一个非零常数；即xy＝k，（k是常数，且k≠0.
）
（3）从自变量和函数值取值范围来看，正比例函数y=kx中的自变量和函数值都可以为零，反比例函数y=中的自变量和函数值都不能为零。
知识点3：反比例函数的图象和画法
（1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。它与x轴和y轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴
（2）画出函数y
=
的图象。
列表：这个函数自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出ｘ与ｙ的对应值表：
X
…
－3
－2
－1
…
1
2
3
…
Y
…
－2
－3
－6
…
6
3
2
…
描点：由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点（－1，－6）等。
连线：用光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图象y
=
。
知识点4：反比例函数的性质
反比例函数y=图象的两个分支位居的象限与k的正负有关，
当k>0时，函数的图象分布在第
一、三象限；
函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y的值随x的增加而
减小；
当k<0时，函数的图象分布在第
二、四
象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y的值随x的增大而增大。
注：
1.
双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2.
双曲线既是中心对称图形.
也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线
知识点5：反比例函数中的比例系数k的几何意义
过反比例函数上的任意一点P作x轴和y轴的垂线段PM，PN所得的矩形PMON的面积就是│K│
知识点6：反比例函数在实际问题中的应用
在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y=中的k不等于零这一条件，结合图像说出性质，根据性质画出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点
【典型例题】
例1.
下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）；（2）；（3）；（4）（5）
解：（1）是反比例函数，比例系数是4
（2）是反比例函数，比例系数是
（3）不是
（4）不是
（5）是反比例函数，比例系数是1
例2.
写出下列各题中y与x的函数关系。
（1），z与x成正比例；
答：
y与x成反比例函数
（2）y与z成反比例，z与3x成反比例；答：
y与x成正比例函数
（3）y与2z成反比例，z与成正比例；答：
y与x成反比例函数
例3.
已知y＝y1＋y2，
y1与成正比例，y2与x2成反比例.
当x＝1时，y＝－12；当x＝4时，y＝7.
（1）求y与x的函数关系式和x的取值范围；（2）当x＝时，求y的值.
解：（1）设y1＝k1，y2=所以y＝k1＋
y＝4－
（
x>0
）
（2）当x＝时，
y=－254
例4.
画出反比例函数
y
=
与y
=
－的图象，通过观察函数y
=
与y
=
－的图象，讨论并回答下列问题。
（1）对于反比例函数y
=
，其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的？y的值随x的变化将怎样变化？
答：
下降
y随x的增大而减小
。
（2）对于反比例函数y
=
－，其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的？y的值随x的变化将怎样变化？
答：
上升
，
y随x的增大而增大
。
列表：这个函数自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出ｘ与ｙ的对应值表：
X
…
－3
－2
－1
…
1
2
3
…
Y
…
－2
－3
－6
…
6
3
2
…
描点：由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点（－1，－6）等。
连线：用光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图象y
=
。
列表：这个函数自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出ｘ与ｙ的对应值表：
X
…
－3
－2
－1
…
1
2
3
…
Y
…
2
3
6
…
－6
－3
－2
…
描点：由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点（－1，6）等。
连线：用光滑曲线将各点依次连起来，即可得到反比例函数的图象y
=
—
。
例5.
已知反比例函数的图象过点（1，－2）.
（1）求这个函数的解析式，并画出图象；
（2）若点A（－5，m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析：（1）
反比例函数的图象过点（1，－2），即当x＝1时，y＝－2.
由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
（2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
解：（1）∵－2＝
∴k=－2
∴
图略
（2）点A（－5，m）在图象上∴－5m=－2∴m=点A关于x，y两坐标轴和原点的对称点分别是A1（－5，
－）；A2（5，
）；A3（5，
－）其中A1
；A2不在图像上。A3在图像上
例6.
已知函数为反比例函数.
（1）求m的值；
（2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
（3）当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值.
解：（1）
（2）它的图象在第二，三象限内，在各象限内y随x的增大而增大
（3）当－3≤x≤时，由于在第二象限内y随x的增大而增大，所以y大＝8
y小=
例7.
画出反比例函数y
=
在第一象限内的图象，点M、N是图象上的两个不同点，分别过点M、N作x垂线，垂足分别为A、B，试探索
△MOA的面积与△NOB的面积之间的大小关系。
解：面积相等
小结：过反比例函数图象上任意一点作x的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是：|k|
例8.
已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A（2，1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.
分析：（1）因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.
（2）把点A关于坐标原点的对称点A′的坐标代入一次函数和反比例函数解析式，可知A′是否在这两个函数图象上.
解：（1）∵1=
∴K1=2
∵1=2K2－1∴K2=1
∴这两个函数的解析式为y=
y=x－1
（2）
A点关于坐标原点的对称点A1（－2，－1）在y=上，而不在y=x－1上
例9.
如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2.
（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.
解：（1）∵点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2且A，B都在反比例函数上
∴
∴y=4，x=4
∴A（－2，4）
B（4，－2）
∴－2k+b=4
4k+b=－2
∴k=－1，b=2
∴一次函数的解析式y=－x+2
（2）y=0
∴x=2
∴S△AOB=
例10.
如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）。
（1）求这个反比例函数的解析式。
（2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标。
解：（1）∵y=－2×2＝－4
∴P（2，－4）
∴设反比例函数为
∴k=2×（－4）=－8
∴
（2）∵S△MPQ=
∴h=6
∴M到PQ的距离为6
∴M的横坐标为8或－4
∴M（8，－1）或M（－4，2）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（
）
A.
正比例
B.
反比例
C.
一次函数
D.
无法确定
2.
已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（
）
A.
（2，－5）
B.
（－5，－2）
C.
（－3，4）
D.
（4，－3）
3.
已知矩形的面积为8，
那么它的长y与宽x之间的关系用图像大致可表示为
（
）.
4.
分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？
（1）小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；
（2）体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；
（3）用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；
（4）小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米.
5.
（1）已知y与x－2成反比例，当x＝4时，y＝3，求当x＝5时，y的值.
（2）已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝2.
求x＝1.5时y的值.
（3）已知y＝y1＋y2，
y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19.
求y与x间的函数关系式.
6.
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）；
（2）.
7.
若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值.
8.
已知反比例函数经过点A（2，－m）和B（n，2n），求：
（1）m和n的值；
（2）若图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1＜0＜
x2，试比较y1和
y2的大小.
9.
如图，点P是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB＋PB＝9.
（1）求k的值；（2）求△PBC的面积.
10.
已知反比例函数（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限.
11.
已知：如图，在直角坐标系中，O为原点，点A、B的坐标分别为（3，0）、（3+3，0），
点C、D在一个反比例函数的图象上，且∠AOC=45 ，∠ABC=30°，AB=BC，DA=DB.
求：点C、D两点的坐标。
【试题答案】
1.
B
2.
B
3.
D
4.
解：（1）y=2x是正比例函数
（2）S=是反比例函数
（3）y=x（25－x）既不是正比例函数也不是反比例函数
（4）y=100－10x既不是正比例函数也不是反比例函数
5.
解：（1）当x＝5时，y的值为2.
（2）当x＝1.5时y的值为8
（3）
6.
略
7.
解：
∴n=－4
8.
解：（1）－m=
－2m=m+3
m=－1
∴
2n·n=2
∴n=±1
（2）∵x<0
∴y1<0
∵x2>0
∴y2>0
∴y2>y1
9.
解：∵A（－4，0），P在直线上
∴设P（m，）
∴AB=4+m
PB=
∴4+m+=9
∴m=2
∴p（2，3）
∴k=2×3＝6
（2）S△PBC
=S△PBA
－S△ABC
=
10.
解：∵反比例函数（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大
∴k<0
∴一次函数y＝kx－k的比例系数为k<0常数项为－k＞0
∴一次函数经过一、二、四象限
11.
解：
∵∠AOC=45°∠ABC=30°AB=BC
∴∠OCA=30°∴△OAC∽△OCB
∴OC2=OA·OB
∴OC=3
∴C（3，3）
∴反比例函数为
∴DA=DB，AB=6
∵D的横坐标为3
∴D的纵坐标为
∴D的坐标为（3，）分式的乘除、分式方程
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
分式的乘除、分式方程
二.
教学目标：
1.
使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题.
2.
掌握分式方程的概念，掌握分式的乘除运算，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.
3.
培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学类比转化的思想培养学生的应用意识。
三.
教学重点与难点：
重点：
1.
掌握分式的乘除运算
2.
分式方程的解法.
3.
将实际问题中的等量关系用分式方程表示
难点：
1.
分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
2.
列分式方程解应用题
四.
课堂教学：
（一）知识要点
知识点1：约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。约分一定要把公因式约完。
知识点2：最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。分式运算的结果一定要化为最简因式。
知识点3：分式乘法法则
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。即.=
.
知识点4：分式除法法则：
分式除以分式把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。即=
.
知识点5：分式的混合运算
与分数混合运算类似，分式的加，减，乘，除混合运算的顺序是：先乘除，后加减。如有括号，则先进行括号内的运算。
知识点6：分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。如：（1）（2）
知识点7：分式方程的解法
去分母，把分式方程转化为整式方程
解整式方程
检验
知识点8：解分式方程产生增根的原因
解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。
知识点9：列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列一元一次方程和二元一次方程组相似。但要特别注意检验。
【典型例题】
例1.
计算：
（1）
解：原式=
（2）
解：原式
例2.
先化简，再求值：。其中
解：原式=
=
当a=1，b=－2，c=－3时，原式=
例3.
解下列方程：
（1）
（2）
（1）解：30(x+1)=20x
10x=－30
∴x=－3
检验：当x=－3时x(x+1)≠0∴原方程的解为x=
－3
（2）(x－2)2－(x+2)2=16
∴－8x=16
x=
－2
检验：当x=
－2时x2－4=4－4=0
∴原方程无解
注意：解分式方程时必须要验根.
解分式方程的一般步骤：
去分母（注意防止漏乘）；去括号（注意先确定符号）有同类项及时的合并同类项；移项；未知数的系数化为1；验根（解分式方程必须要验根）.
例4.
解方程：
分析：若直接去分母，运算量很大且复杂，因本题的构成比较特殊，如果方程两边分别通分，则具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简化.
解：
∴(x－5)(x－6)=(x－8)(x－9)
x2－11x+30=x2－17x+72
∴6x=42
x=7
检验：当x=7时(x－5)(x－6)(x－8)(x－9)≠0
∴原方程的解为x=7
仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！
相信你能成功！思考后，你有什么收获？
例5.
已知.试说明不论x在许可范围内取何值，y的值都不变。
解：∵y=·
=x－x+1=1
∴y的值与x的取值无关
例6.
若解分式方程－＝产生增根，则m的值是（　）
（A）－1或－2
（B）－1或2
（C）1或2
（D）1或－2　
解：2x2(x+1)－(x－1)(m+1)=(x+1)2(x-1)
由于只有在x=0
、1时，或－1时才有可能产生增根
∴当x=0时
m+1=－1
∴m=－2
当x=1时
整式方程无解（舍去）
当x=－1时
2（m+1）=0
∴m=－1
∴在m=－2
或－1时，方程产生增根。
例7.
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行速度和骑自行车的速度。
解：设步行速度为x千米/小时，则骑车的速度为：4x千米/小时
根据题意得：
解之得x=5
经检验：
x=5符合题意
所以：步行速度为5千米/小时，骑车的速度为20千米/小时。
例8.
轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度
解：设轮船在静水中的速度为x千米/小时
据题意得：
解之得x=7.5符合题意
所以轮船的静水速度为7.5千米/小时.
例9.
根据分式方程编一道应用题，
解：略
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一.
选择题
1.
化简，其结果为（
）
A.
1
B.
xy
C.
D.
2.
化简，其结果为（
）
A.
B.
C
.
D.
3.
下列各式中，分式方程是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
分式方程解的情况是（
）
A.
有解，
B.
有解
C.
有解，
D.
无解
5.
某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（
）。
A.
千米
B.
千米
C.
千米
D无法确定
二.
计算：
（1）（－）.
(2).
(3)
(4)
三.
已知x=－2，
求的值
四.
解答下列问题：
1.
解下列方程
（1）
（2）
2.
当为何值时，分式方程无解？
3.
若方程会产生增根，试求k的值：
4.
从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600
km的普通公路，另一条是全长480
km
的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45
km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
【试题答案】
一.
选择题
1.
C
2.
A
3.
C
4.
C
5.
C
6.
C
二.
计算题
1.
2.
3.
4.
三.
化简求值
化简得
当x=－2时＝
四.
解答题
1.
（1）x=2是原方程的增根，原方程无解
（2）经检验x=3是原方程的增根，原方程无解
2.
1+m(x－2)=x－1
……①
(m－1)x=2(m－1)
当m≠1时
①有解为
x=2，但是x=2是原方程的增根
所以当m≠1时原方程无解
3.
解：x－2(x－3)=k
当x=3时，k=3。所以k=3时原方程会产生增根
4.
解设客车在普通公路上的速度为xkm/h
解得x=75
经检验x=75
符合题意
所以
（h）
答：该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为4小时拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
二.
重点、难点：
1.
理解拼图验证勾股定理的思维方法。
2.
体会勾股定理中的数学思想。
三.
知识要点：
1.
一种证明：拼图验证勾股定理
1）如图（1）一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。
图（2）中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形。
图（3）（4）中，剪了两刀，分成四块，拼成了一个大正方形
（1）你能判断出这两刀是如何剪的吗？
（2）你能否把图（1）剪三刀，把它分开，然后拼成一个大正方形？
答：（1）两刀互相垂直，且至少有一刀剪得的线段长是以两个正方形的边为直角三角形的两直角边的斜边的长；
（2）仿照（1）的规律，作法，如图（5）
2）勾股定理的面积证法：“赵爽弦图”如图（a）把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图（a）中左右两个直角三角形△移动，组成如图（b）的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c2
2002年8月20日北京国际数学大会的会标，就是“赵爽弦图”如图（b）
2.
几类思想：
①整体思想
②转换思想
③分类思想
④方程思想
⑤数形结合思想（含补形与分割的思想）
【典型例题】
整体思想
例1.
如图，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
即
又由已知得
所以
解得
所以
转换思想
例2.
如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？
分析：有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。
解：（1）剪开FG、GC、CB铺平得。
（2）剪开HG、GC、CD铺平得。
（3）剪开EF、FG、GH铺平得。
（4）剪开FB、FG、CG铺平得。
（5）剪开FG、GH、HE铺平得。
（6）剪开DH、HG、GC铺平得。
因此最短路程为，这样的路线有两条。
由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且时，最短路程就是。
分类思想
例3.
在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得
所以
（2）如图，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得
此时
综上所述，BC的长为25或7。
方程思想
例4.
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
因为△ABC的面积
即
所以
数形结合思想
例5.
如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：
　　（1）以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
解：（1）中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。
所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3
（2）类似于（1）：S1+S2=S3
（3）图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3
∴S阴影=S△ABC
例6.
某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A城受到这次风暴的影响。
如图，设AB=AC=200km
在Rt△ABD中，应用勾股定理，得
所以，A城遭受风暴影响的时间（小时）。
（补形与分割的思想）
例7.
若a，b为正数，且是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。
分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
解：作矩形ABCD，使E、F分别是AB、AD的中点。
由勾股定理知
从而可知，就是题目所要求的三角形面积，即
例8.
如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90o，则四边形ABCD的面积是_________。
解：连结AC，在△ABC中，
因为∠ABC=90°
，BC=4
所以
在△ACD中，因为
所以
可知△ACD也是直角三角形，
∠ACD＝90°
所以
于是
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.
你能将边长为5:1的长方形纸片，如图（1），剪几刀分成五块，拼出一个正方形，并用它来证明勾股定理？
2.
如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求。
3.
有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C'处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
4.
如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD=1，∠A＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。
5.
如图，长为3厘米，长为4厘米，长为13厘米。求正方形的面积。
分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长；要求出，先要求出。在中，，所以，在中，，为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为，何必去求，只要求出这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！
【试题答案】
1.
解：在剪拼的过程中面积没有发生变化，设原长方形边长为5a和a，则拼出的正方形面积为5，所以正方形边长为
所以须在长方形中分割出长度为
的线段，而线段
，应是边长为a和2a的直角三角形的斜边，因此构造出边长为a和2a的直角三角形即可。
图（3）中：
∴
2.
解：显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证
所以四边形BEPD是正方形
它的边长可由三角形的面积求得。
设PD=PE=PF=m，得
即
由勾股定理知
所以
故
3.
解：（1）若把礼盒的上底面A'B'C'D'竖立起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB'A'）在同一平面内，然后连结AC'，根据“两点间线段最短”知，线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且。
根据勾股定理，得
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
4.
解：延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。
因为∠A=60°
所以∠E=30°
又，CD=1
所以AE=2AB=4，CE=2CD=2
由勾股定理得
所以
5.
解略图上距离与实际距离、黄金分割
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
10.1—10.3
图上距离与实际距离、黄金分割
二.
教学目标：
1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段，理解并掌握比例的性质。
2、了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义，会找一条线段的黄金分割点，进一步感悟数学与生活的密切联系。
3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，能在诸多图形中找出相似图形。
三.
教学重点与难点：
重点：
1、成比例线段的意义和比例的性质。
2、相似三角形的概念与相似图形的识别。
难点：黄金分割的概念及其应用。
四.
课堂教学：
（一）知识要点
知识点1、两条线段的比：两条线段长度的比叫做两条线段的比。
两条线段的比值一定是没有单位的正数；两条线段的长度单位要一致，其比值与采用的长度单位无关。
知识点2、成比例的线段：在4条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这4条线段成比例。
知识点3、比例的性质
（1）基本性质：如果，那么ad＝bc;反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么。
（2）合比性质：①如果，那么
②如果，那么
（3）等比性质：如果＝…＝，且b＋d＋…＋n≠0，那么。
知识点4、比例中项：如果（或b2＝ac），那么我们把b叫做a和c的比例中项。
知识点5、黄金分割：点B在线段AC上，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比值约为0.618（精确值为），这个比值称为黄金比。
知识点6、黄金矩形：
若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形。
知识点7、黄金三角形：
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。黄金三角形具有如下性质：
（1）底边与腰的比值约为0.618
（2）底角的平分线与对边的交点是该边的黄金分割点。
知识点8、相似三角形：
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，其中对应边的比值叫做它的相似比。
知识点9、相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。
【典型例题】
例1.
线段a＝5，b＝1，那线段a＋b与a－b的比例中项是
。
解：设a＋b，a－b
的比例中项是x，则x2＝(a＋b)(a－b)，即x2＝6×4，x2＝24，由题意知x＞0，所以x＝
。
所以线段a＋b，a－b的比例中项是。
评析：比例中项若是线段则为正，若是数，则可正可负。
例2.
（1）如图，已知，求的值。
（2）如果，（k为常数），那么成立吗，为什么？
解：（1）由，得a＝3b，c＝3d
因此，
（2）成立
因为得a＝bk，c＝dk
所以
评析：该例题实际为我们展示了一个求比值的常用方法——设k法，将等比式化为等积式，用含一个字母的代数式表示另一个字母，再代入求比值。
例3.
已知三个数1，2，，请你再添上一个（只添一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是
。
解：从1：2＝：x，求出x＝
从1：x＝：2，求出x＝
从1：2＝x：，求出x＝
故这个数为，或
评析：这是一道开放创新题，由于题中未明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性。本题只要求添一个数，因此在解题时，不要被这种灵活性所困扰，而应避繁变简。
例4.
（1）如图，两个矩形是否相似？
（2）已知四边形ABCD∽四边形A＇B＇C＇D＇，且AB：BC：CD：DA＝7：6：5：4，若四边形A＇B＇C＇D＇的周长为44，则A＇B＇＝
，B＇C＇=
，C＇D＇=
，D＇A＇=
解：（1），∴不相似。
（2）四边形A＇B＇C＇D＇的四边长的比为7：6：5：4，分别设7x，6x，5x，4x，
∴7x＋6x＋5x＋4x＝44
22x＝44
x＝2
∴A＇B＇＝14，B＇C＇＝12，C＇D＇＝10，D＇A＇＝8。
评析：从定义的角度出发是我们解决问题一个重要的方法，应加以重视。
例5.
如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，求∠H的大小及BC、EH的长度。
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似
∴∠B＝∠F＝100°∠C＝∠G＝50°
∴∠H＝∠D＝360°－（∠A＋∠B＋∠C）
＝360°－（45°＋100°＋50°）
＝165°
∵，由，得BC＝
由，得EH＝
∴∠H＝165°，BC＝，EH＝
评析：本例在求角度时，不但用到了相似多边形性质，还要结合四边形的内角和才可求出∠H，这就需要正确运用多边形的内角和公式，n边形的内角和＝（n－2）·180°，求对应边的长时，必须先由已知求出对应边的长，再根据相似多边形的对应边成比例这一性质，列出比例式或方程，从而求出未知边的长度。
例6.
科学研究表明：当人的下肢长与身高之比约为0.618时，能使人看起来感到匀称美，某成年女士身高153cm，下肢长92cm，据上述观点，她所选高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为多少 (精确到0.1cm)
解：设该女士穿高跟鞋时，鞋跟的最佳高度为xcm，根据题意得：
(92＋x)∶(153＋x)＝0.618∶1
0.618(153＋x)＝92＋x
x≈6.7(cm)
评析：应该特别值得注意的是，该女士穿高跟鞋以后，身高和下肢的长都增加了，其增加的高度均为鞋跟的高度。
例7.
古希腊时期的巴农台神庙，把它的正面放在一个矩形ABCD内，以矩形的宽为边在其内部作正方形AEFD，如图，那么我们惊奇地发现：，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
解：∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFD是正方形
∴AD＝BC＝AE
又∵∴
即因此点E是线段AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
评析：在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这样的矩形叫黄金矩形，
黄金矩形给人以美感。另外还有黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等。
例8.
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，则DE＝
。
解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形
∴设DE＝X
则DC＝X，≈0.618
则DE≈0.618×0.618AB≈0.382
评析：用比例式解题很有效，还可以用方程的思想来解。
例9.
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，试求未知边A′B′，
B′C′的长度以及∠C的度数。
解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，它们的对应边成比例，对应角相等；
∴＝
解得A′B′＝27，B′C′＝31.5
又∵∠D＝∠D′＝134°
∴∠C＝360°－(70°＋83°＋134°)＝73°
评析：在利用相似多边形的基本特征解题时，要注意边和角的对应顺序.
例10.
如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，DF∶FC＝3∶1图中有哪些相似三角形？请说明理由。
解：△ABE∽△ECF∽△AEF
理由如下：
设正方形的边长为4K，
根据题意，得BE＝CE＝2K，CF＝K，
所以，
又因为∠B＝∠C＝90°，
所以△ABE∽△ECF
因为AE2＝AB2＋BE2，EF2＝EC2＋CF2，AF2＝AD2＋DF2，
所以AE2＝（4K）2＋（2K）2＝20K2，
EF2＝（2K）2＋K2＝5K2，
AF2＝（4K）2＋（3K）2＝25K2，
所以AE2＋EF2＝AF2，即∠AEF＝90°，
又因为，
所以
所以△AEF∽△ABE，
综上所述，△ABE∽△ECF∽△AEF
评析：利用代数计算的方法得到几何论证，也是说理的一种重要方法。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）选择题
1、已知A、B两地的实际距离是250cm，若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是（
）
A、1∶50
B、1∶5000
C、1∶500
D、1∶50000
2、若点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则下列式子错误的是（
）
A、AP2＝AB·PB
B、
C、BP2＝AB·PA
D、AP＝
3、已知线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（
）
A、
B、
C、
D、以上结论都不对
4、下列说法中，正确的是（
）
A、所有的矩形都相似
B、所有的等腰三角形都相似
C、所有的正方形都相似
D、所有的等腰梯形都相似
5、有甲、乙两张同样的地图，若它们的比例尺分别为：1∶100和1∶300，则甲地图与乙地图的相似比为（
）
A、1∶3
B、3∶1
C、9∶1
D、1∶9
（二）填空题：
6、正方形的边长与对角线长的比是
。
7、已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么AC是线段
与
的比例中项；如果AB＝12cm，那么AC＝
cm，BC＝
cm。
8、若两个相似多边形的相似比为2∶3，且周长的和为50cm，那么这两个相似多边形的周长分别为
和
。
9、如图所示，在△ABC中，BC＝a，B1，B2，B3，B4是AB边的五等分点，C1，C2，C3，C4是AC边的五等分点，
B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4＝
。
10、如图所示，E为平行四边形ABCD的边长AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点；即AD＝AE，BE交DC于点F，若AB＝，则CF的长为
（三）解答题：
11、已知x∶y∶z＝2∶3∶5，求的值。
12、已知：a∶b＝c∶d，证明：＝。
13、科学研究表明，当人的上肢长与下肢长之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，上肢长为61cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少厘米（精确到0.1cm）
14、如图，
（1）若，求的值
（2）若AO＝30，AB＝70，CD＝105，求OD的长？
15、如图，在△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC，分别取PA、AB、AC的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△DEF与△PBC相似吗？请说明理由。
【试题答案】
（一）选择：
1、A
2、C
3、C
4、C
5、B
（二）填空：
6、∶2
7、AB
BC(BC
AB)
7.416
4.584
8、20cm
30cm
9、2a
10、2
（三）解答题：
11、0（设x＝2K，y＝3K，z＝5K）
12、设a＝bk，c＝dk，
则左边＝
13、6.7cm（提示：设高跟鞋的鞋跟高为xcm，则上肢长：下肢长＝0.618）
14、（1）
（2）OD＝60
15、相似，理由提示，说明它们的对应边成比例，对应角相等。轴对称性的应用
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
轴对称性的应用
［目标］
研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。
二.
重点、难点：
深刻体会轴对称性，来解决现实中的实际问题。
常用知识点：
①线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
②三角形两边之和大于第三边。
【典型例题】
例1.
请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后在横线上设计一个恰当的图形。（哈佛大学77年入学考试试题）
分析：这几幅图分别是阿拉伯数字1、2、3、4、7在右半边，然后，通过轴对称画出左半边的图像。你看出来了吗？那么横线上就应该是6，然后按照轴对称性画出左半边的图。那么按照这种规律，接下来还有什么样的图像呢？你会画吗？
例2.
如图，有20根钉子，相邻两个钉子间的距离等于1cm，请从1号钉子开始到2号钉子为止绷上一根19cm长的线，使得这根线通过所有的钉子。
解：如图所示。
例3.
如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且，若到河岸CD的中点的距离为500m。
（1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短 在图中作出该处，并说明理由；
（2）最短路程是多少
解：（1）已知直线同侧两点、。求作：上一点，使最小。
作法：①作点关于的对称点；
②连结交于点，则点即为所求的点。
证明：在上任取一点，连结，
∵直线是、的对称轴，、在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，即最小。
（2）由（1）可得：，
∴≌，∴，
即为的中点且，
∵，
∴最短路程为。
例4.
如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
作法：①作点P关于直线AO的对称点M，作点P关于直线BO的对称点N；
②连结MN分别交AO、BO于E、F；
③连接EF、PE、PF，△PEF即为所求三角形。
证明：在AO上任取一点E'，连结ME'、FE'、PE'。
∵M是P关于直线AO的轴对称点，
∴PE=ME，PE'=ME'。
在中，
∴
即的周长的周长。
同理，在BO上任取一点F'亦可证的周长的周长。
∴的周长最小。
例5.
如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
作法：设a、b的距离为r。
①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；
②连接AB'，交a于C；
③过C作CDb于D；
④连接AC、BD。
证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，
∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD
∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B
在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'
同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B
而AC'＋C'B'>A
B'
∴AC＋CD＋DB最短。
例6.
在正方形ABCD上，P在AC上，E是AB上一定点，则当点P运动到何处时，△PBE的周长最小
作法：连接DE交AC于Q，当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。
证明：连接BQ。
∵P、Q都在正方形对角线AC上，
∴PB=PD，QB=QD
∴BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE
而DP+PE>
DE
∴BP+PE>
BQ+QE
又△PBE的周长=BE+
BP+PE，△QBE的周长=BE+
BQ+QE
∴△PBE的周长>△QBE的周长
即当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿MN裁剪，则可得（
）
（A）多个等腰直角三角形
（B）一个等腰直角三角形和一个正方形
（C）两个相同的正方形
（D）四个相同的正方形
2.
请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形（至少4块），然后将它们重新组合，拼成轴对称图案。
3.
设正三角形ABC的边长为2，M是AB上的中点，在BC边上找一点，使PA+PM的值最小
4.
如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
5.
如图，P为△AOB内一点，试在OA，OB上各找一点M、N。使△PMN周长最小。
【试题答案】
1.
D。动手做做看
2.
如图所示。长方形是轴对称图案。
3.
解：取点A关于BC的对称点A'，连接MA’交BC于P，连接PA、PM
证明：在BC上任取一点P'，连接P'A、P'M
由对称性知：PA=PA'，P'A=P'A'
∴PA+PM=
PA'+
PM=MA'，P'A+P'M=
P'A'+
P'M
又MA'<
P'A'+
P'M
∴PA+PM最小。
4.
作法：①作BB'∥CD且BB'＝PQ
②作点A关于a的对称点A'
③连接A'B'交a于P，在a上向右取定长PQ。
则此时的位置，AP+PQ+QB的长最短。
证明（略）
5.
分析：若能在OA，OB找到点M、N，使PM+MN+NP为某一线段的长，而另找到的OA、OB上的点与P构成的三角形周长都大于该线段长，则M、N为所求两点，故可考虑分别作P关于OA的对称点P1、P关于OB的对称点P2。连P1P2与OA、OB分别交于M、N。△PMN即为所求。
解：分别作P关于OA、OB的对称点P1，P2，连P1、P2交OA于M，OB于N。△PMN即为所求。
证：在OA上任取一点M1，OB上任取一点N1（M1N1中至少有一点异于M、N），连MP1、N1P2。
OA为P1P中垂线，OB为P2P中垂线
∴MP=MP1
M1P=M1P1
PN=P2N
PN1=P2N1。
△PMN周长为PM+PN+MN=P1M+MN+NP2=P1P2
△PM1N1周长为PM1+PN1+M1N1=P1M1+M1N1+N1P2＞P1P2=PM+PN+MN
∴△PMN周长最小，M、N为所求的点。轴对称图形复习
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
轴对称图形复习测试卷
【学习目标】
1.
掌握轴对称及轴对称图形的概念及性质，能够理解它们之间的区别与联系；
2.
理解并掌握几种图形（线段，角，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形）的轴对称性，并掌握这几种图形的性质和判定；
3.
能够利用所学的知识解决问题，提高分析问题和解决问题的能力.
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填空题
1.
如图1，在△ABC中，AM垂直平分BC，若AB＝12，BM＝10，则△ABC的周长为
.
2.
如图2，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若DE＝3cm，则DF＝
cm.
3.
如图3，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA交AB于点E，已知BE＝2，DA＝4，则△CEB的周长为
.
4.
等腰三角形一边长为2，周长为8，则腰长为
.
5.
如果等腰梯形的两底之差为6，腰长为6，那么该等腰梯形较小的内角为
，较大的内角为
.
二、选择题
6.
如图4，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交BC于D，如果AC＝4，BC＝5，那么△ADC的周长为（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
7.
如图5，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，DE⊥AC，F为BC上的一点，且∠DFC＝100°，则（
）
A.
DE>DF
B.
DE＝DF
C.
DED.
不确定
8.
如图6，是由两个形状完全相同且一个角为60°的直角三角形所拼而成，则图中等腰三角形的个数为（
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
9.
如图7，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF＝（
）
A.
90°
B.
75°
C.
70°
D.
60°
10.
若等腰△ABC的底BC＝8cm，且那么腰长为（
）
A.
10cm或6cm
B.
10cm
C.
6cm
D.
8cm或6cm
三、解答题
11.
如图8，在△ABC中，BD，CE是高，M，N分别是BC，DE的中点，（1）试判断DM，EM的大小关系，并说明理由.（2）试判断MN与ED的位置关系，并说明理由.
12.
如图9，等腰梯形的较小的底和腰相等，而一条对角线和它较大的底相等，你能求出各内角的度数吗
13.
如图10，一长方形纸片，请你用折叠的方法将其中一个直角分成三等分.写出或画出你折叠的过程或方法.
【试题答案】
1.
44
2.
3
3.
10
4.
3
5.
60°，120°
6.
D
7.
C
8.
B
9.
D
10.
A
11.
（1）DM＝EM.（2）MN⊥DE
12.
等腰梯形的各个角的度数为72°，72°，108°，108°
13.
如图，先将长方形沿中间PQ对折，放开后再沿BM折叠，使点A落在折痕PQ上的点E处，然后放开再沿BE对折，此时折痕BF，BM将直角ABC三等分.证明；互逆命题
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
二、教学目标：
1、了解证明的基本步骤和书写格式．
2、能从“同位角相等，两直线平行”
“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、性质定理，三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．
3、感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
4、正确的理解互逆命题和逆命题的概念，会根据已知命题写出它的逆命题，会举反例证明一个命题是假命题
三、教学重点：
1、从“同位角相等，两直线平行”
“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．
2、理解逆命题的意义
教学难点：
1、证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力．
2、证明一个命题是假命题
四、课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：公理、证明
公理：在《原本》里欧几里得创建了公理体系——在众多的数学名词和数学命题中，挑选了数学名词和真命题，其中的数学名词称为原名，真命题作为公理．本教材有如下公理：
（1）同位角相等，两直线平行．
（2）两直线平行，同位角相等．
（3）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
（5）三边对应相等的两个三角形全等．
（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（7）等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实．可以看作公理．
证明：
用推理的方法证实真命题的过程叫做证明．
证明与图形有关的命题的步骤：
（1）根据命题，画出图形；
（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证．已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的事项（即命题的结论）；
（3）写出证明过程．
说明：证明的步骤主要适应于有文字叙述的证明题，而那些已经给出已知，求证和图形的证明题，只需要写出过程即可．
知识点2：定理
经过证明的真命题称为定理．
本节的定理有：
（1）内错角相等，两直线平行．
（2）同旁内角互补，两直线平行．
（3）两直线平行，内错角相等．
（4）两直线平行，同旁内角互补．
（5）三角形三个内角的和等于180°．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
已经证明的定理也可以作为以后推理的依据．
知识点3：互逆命题，逆命题．
两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
一个命题条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有它的逆命题
知识点4：反例
举出一个例子说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例
例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？
不正确，反例如：当a=2，b=－2时，虽然a2=b2，但是a≠b，这样的例子称为反例．
在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需要举一个反例即可．而要说明一个命题是真命题，就必须经过证明．几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的．证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要的方法．
【典型例题】
例1、填空题
（1）命题：“两直线平行，内错角相等．”的条件是
，结论是____________________________，这个命题的逆命题的条件是
，结论是
．
（2）命题：“等边三角形是锐角三角形”是
命题；写出其逆命题
，该命题是
命题．
解：略
例2、判断下列命题：
①等腰三角形是轴对称图形；
②若a>1且b>1，则a+b>2
③全等三角形对应角的平分线相等；
④直角三角形的两锐角互余
其中逆命题正确的有（A）
A、1个
B、2个
C、3个
D、0个
解：①，②，③的逆命题不正确
④的逆命题正确
例3、如图，AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D．
问题：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？
解：结论是
DE∥BF
证明：
因为AB∥CD（已知）
所以∠EGA=∠D（两直线平行，同位角相等
）
又因为∠B=∠D
（已知）
所以∠EGA=∠B（等量代换
）
所以DE∥BF（
同位角相等
，
两直线平行
）
上面的推理过程用符号“”表达为：
AB∥CD∥BF
问题1：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？
问题2：在图中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论．
说明：问题2构造了原命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理的．
例4、试判断命题：“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等．”的真假性，若为假命题，请举反例说明．
解：这是一个假命题．
虽然第一个图满足条件，也满足结论
但是第二个图也满足条件却不满足结论
例5、写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
（1）若ac2＞bc2，则a＞b；
（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
（3）若ab=0，则a=0．
分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下就行．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然．
解答：（1）逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2
假命题，如c=0，ac2=bc2
（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题．
（3）逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题．
例6、如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数．
分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理．体会在解答求解中的推理及书写格式．
解：∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA．
设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，
∴∠ADC=2x°，
∠CAD=2x°．
在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°．
∴x°+2
x°+
2x°=180
°．
∴x°=36
°．
答：∠B的度数为36°．
例7、给下面的证明过程注明理由
已知AB=DC，∠BAD=∠CDA
求证：∠ABC=∠DCB
证明：连结AC、BD交点为O
在△ADB与△DAC中
因为∠BAD=∠ADC（已知）
AD=DA（公共边）
AB=DC（已知）
所以△ADB≌△DAC（SAS）
所以BD=CA（全等三角形对应边相等）
又在△ABC与△DCB中
因为BD=CA（已证）
AB=DC（已知）
BC=BC（公共边）
所以△ABC≌△DCB（SSS）
所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）
说明：要体验在证明题中的推理及书写格式
例8、如图，⊿ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于O，给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定⊿ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中一种情形，证明⊿ABC是等腰三角形．
分析：本题第（1）小题属于条件开放性问题，也是制造命题的问题，经过探索补全条件，然后写出证明；第（2）小题若选择情形一，即条件①③，由于条件都集中在⊿BOE和⊿COD中，故可通过⊿BOE≌⊿COD，证得OB=OC，这样∠OBC=∠OCB，从而可证得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC．
解：（1）可判定⊿ABC是等腰三角形的两个条件是①③或①④或②③或②④
（2）选择情形一，即条件①③
在⊿BOE和⊿COD中
∠BOE=∠COD，∠EBO=∠DCO，BE=CD，
∴⊿BOE≌⊿COD（AAS）．
∴OB=OC．
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
即⊿ABC是等腰三角形．
说明：本题第（1）小题是开放性问题，
属于条件开放型，需解题者经过探索补全条件，然后完成解答，本题还着重考查了全等三角形的识别﹑等腰三角形的识别与性质，以及数学中的分类思想．
例9、已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和．如图，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证
EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到．
证明：过点E作EF∥AB，（已作图），则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）．
例10、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）．
分析：此题与例9的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例9的结论是一致的．因此，我们模仿例9作辅助线，不难解决此题．
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）．
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）．
∴∠BED=360°－（∠B+∠D）（等式的性质）．
例11、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B．
分析：此题与例9的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例9作辅助线的方法，可以解决此题．
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵∠BED=∠FED－∠FEB，
∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）．
例12、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D．
分析：此题与例9类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1+∠2+∠D=180°．
∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）．
∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）．
即∠BED=∠B－∠D．
例13、已知：如图1，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．
图1
证法一：过F点作FG∥AB
，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）．
过E点作EH∥CD
，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）．
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
又∵EH∥CD
（已知），
∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠BFE=∠FEC．
证法二：如图2，延长BF、DC相交于G点．
∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠1=∠DCE（等量代换）．
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．
图2
证法三：（如图3）连结BC．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC－∠ABF
=∠BCD－∠DCE（等式的性质）．
即∠FBC=∠BCE．
∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．
图3
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、填空题
1、命题：①直角都相等；
②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0；
③一个角的补角大于这个角；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中原命题和逆命题都为真命题的有
．
2、△ABC中，∠B=45 ，∠C=72 ，那么与∠A相邻的一个外角等于
．
3、如下图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=50 ，∠C=70 ，则∠EAD=
．
4、△ABC中，BP平分∠B，CP平分∠C，若∠A=60 ，则∠BPC=
．
5、⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A
+
∠B还大，那么∠A
=
度
6、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是
三角形．
7、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是
8、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的积是
cm2．
二、选择题
1、下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（）．
（A）①
（B）③
（C）②③
（D）②
2、下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．其中正确的有（）．
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
3、一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（）．
（A）直角三角形
（B）锐角三角形
（C）钝角三角形
（D）何类三角形不能确定
4、已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（）．
（A）北偏东50°方向
（B）南偏西50°方向
（C）南偏东40°方向
（D）南偏西40°方向
5、如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）．
（A）50°
（B）30°
（C）20°
（D）60°
6、如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2－∠A=（）．
（A）90°
（B）135°
（C）150°
（D）180°
7、下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（）．
（A）只有（1）
（B）只有（2）
（C）只有（1）和（2）
（D）一个也没有
8、锐角三角形中，最大角α的取值范围是（
）
A、0 ＜α＜90
B、60 ＜α＜90
C、60 ＜α＜180
D、60 ≤α＜90
9、下列命题中的真命题是（
）
A、锐角大于它的余角
B、锐角大于它的补角
C、钝角大于它的补角
D、锐角与钝角之和等于平角
10、已知下列命题：
①相等的角是对顶角；
②互补的角就是平角；
③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；
④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．
其中，正确命题的个数为（
）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
11、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（
）
A、α＋β＋γ=360
B、α－β＋γ=180
C、α＋β＋γ=180
D、α＋β－γ=180
三、解答题
1、如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．
①AB=DE，②AC
=
DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．
已知：
求证：
证明：
2、写出下列命题的逆命题，并指出其真假
（1）若ab=0，则a=0
（2）角平分线上的点到这个角的两边相等
（3）等腰三角形两底角相等
（4）四边相等的四边形是菱形
3、用符号“”写出下题的证明过程：
已知：CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于E．求证：∠BAC＞∠B
4、举反例说明下列命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（2）面积相等的三角形是全等三角形．
（3）4条边相等的四边形是正方形．
（4）相等的角是对顶角．
（5）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
【试题答案】
一、填空题
1、②，④
2、117°
3、10°
4、120°
5、56
6、等腰
7、PA=PB=PC
8、24
二、选择题
1、D
2、C
3、A
4、D
5、C
6、D
7、B
8、D
9、C
10、C
11、D
三、解答题
1、已知：AB=DE，AC=DF，BE=CF
求证：∠ABC=∠DEF
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE，AC=DF（已知）BC=EF（已证）
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
2、（1）若
a＝0则ab=0，真命题
（2）到一个角的两边相等的点在这个角的平分线上，真命题
（3）两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题
（4）菱形的四边相等，真命题
3、证明：
4、（1）当a=2，时，虽然a+b＞0
但是
b=0
（2）如图
虽然S△ABD=S△ADC，但是△ABD与△ADC不全等
（3）如图，菱形四条边相等但是不是正方形
（4）如图，∠AOC=∠PQR，但是它们不是对顶角
（5）AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，但是△ABD与△ABC不全等
1数据的集中程度
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
数据的集中程度
[学习目标]
1.
在具体情境中理解并会熟练计算平均数，加权平均数，众数，中位数；
2.
知道平均数，众数，中位数三者的联系和区别，根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度；
3.
通过实例，体会用样本估计总体的思想；以及养成用数据说话的良好习惯.
二.
重点、难点：
1.
平均数，中位数，众数的概念及求法是重点；
2.
能结合不同的统计量的意义从不同的角度对信息进行评判.
三.
知识要点：
1.
本章的知识结构
2.
三个统计量的区别与联系：
概
念
求
法
作
用
平均数
对于n个数叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数
衡量一组数据的平均水平
中位数
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数
1.
先把一组数据排序2.
若一组数据是奇数个，取中间那个数，若是偶数个，取中间两个的平均数
可以反映一组数据的集中趋势
众数
一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数
出现次数最多的一个或几个数，一组数据可能无众数
可以反映一组数据的集中程度
3.
三个统计量的应用：
（1）利用平均数去衡量一组数据或一件事情的平均水平，利用样本平均数去估计总体平均数；
（2）利用中位数去探寻数据的集中趋势，以及它们的平均水平；
（3）利用众数可以反映一组数据的集中程度，以及它们的平均水平和稳定程度.
【典型例题】
例1.
一组数据1，2，2，3，3，3，…，
…的中位数与众数分别是（
）
A.
5，9
B.
6，9
C.
7，9
D.
8，9
分析：由于每个数字出现的次数等于这个数，所以共有1+2+…+9=45（个）数，因此中位数是第23个数7，由于9出现的次数最多，所以众数是9.
解：C
方法指导：本题由于数字排列具有一定的规律，所以首先要找出排序后最中间的数，再由出现次数最多的数来确定众数，所以此题完全是利用中位数和众数的定义来解决问题.
例2.
一组数据5，3，x，4，2的众数是5，则x=
，中位数是
，平均数是
.
分析：由于5个数中无重复的数，而众数是5，所以x为5，因此中位数为4，平均数为5.8
解：5，4，5.8
例3.
某次校园歌手大奖赛，最后3名选手的成绩统计如下：
测
试
项
目
测
试
成
绩
姓
名
小华
小明
小文
唱
功
98分
95分
80分
音乐常识
80分
90分
100分
综合知识
80分
90分
100分
（1）若按算术平均数计算平均分排出冠军、亚军、季军，则冠、亚、季军各是谁
（2）若按6：3：1的加权平均数计算平均分排出冠军、亚军、季军，则冠、亚、季军各是谁
（3）若最后排出冠军、亚军、季军分别是小华、小明、小文，则权重可能是多少
解：
（1）小华的平均分为，小明的平均分为，小文的平均分为，因此，冠军，亚军，季军分别应该是小文，小明，小华.
（2）小华的平均分为分，小明的平均分为
分，
小文的平均分为分，
因此，冠军，亚军，季军分别应该是小明，小华，小文.
（3）因为最后排出的冠军，亚军，季军分别应该是小华，小明，小文，而小华的唱功分数最高，小明的第二，小文的唱功分数最低，即唱功分值的高低与最后排名一致，所以唱功权重应远远大于其他两项，猜测权重8：1：1（答案不唯一）
此时，小华的平均分为94.4分，小明的平均分为94分，小文的平均分为84分.
评析：显然，权重的不同，对最终结果影响很大.你能写出一组比值，确保小文得第一名吗 如果仍按照6：3：1来计算3人的平均成绩，在已知唱功和音乐常识成绩的情况下，小华要超过小明的分数，小华的综合知识成绩应该高于小明多少分
例4.
为了给车间18名工人确定生产任务，对上月生产进行统计，结果如下表：
人数
1
1
5
8
3
产量
40
30
10
9
8
（1）计算他们月产量的平均数、众数及中位数；
（2）以平均数为他们月生产任务合理吗 为什么
（3）他们的月生产任务定为多少时较为合理
分析：由于个别数据对平均数的影响很大，所以平均数不能完全代表“平均水平”，所以，以平均数作为他们的月生产任务是不合理的，而以中位数众数作为月生产任务较为合理.
解：（1）月产量的平均数（件），众数9（件），中位数9（件）；
（2）由于平均数较中位数、众数大很多，这是由数据40及30引起的，所以平均数作为他们的月生产任务不合理；
（3）由于众数为9件，中位数也为9件.所以他们的月生产任务定为9件较为合理.
评析：在实际问题中运用平均数、众数、中位数的例子很多，但选择哪一个量为标准更科学更合适，应视实际情况和需要而定.
例5.
2005年爱华中学八年级（1）班同学在学完“数据的集中程度”这一章后，
对本校学生会组织的“献爱心捐款”活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为2：4：5：8：6，又知此次调查中捐款20元和25元的学生一共28人.
（1）他们一共调查了多少人
（2）这组数据的众数、中位数是多少
（3）若该校共有2000名学生，估计全校学生大约捐款多少元
解：（1）设捐款25元的有6x人，则捎款20元的有8x人。则8x+6x=28，所以x=2，因此捐款人数共有：2x+4x+5x+8x+6x=50（人）.
（2）由图像可知：众数为20（元），中位数为20（元）；
（3）因为平均数，所以全校共捐款：（元）
方法指导：本题的信息是由条形统计图提供的，所以要学会从图中获取必要的信息，由小长方形的高之比再加上已知条件可以求出每一份的人数，从而可知不同捐款的人数，由此可分别求出众数与中位数的多少，同时也可推知全校的捐款总数.
例6.
某年北京与巴黎的年降水量都是630毫米，它们的月降水量占全年降水量百分比如下表：
（1）计算两个城市的月平均降水量；
（2）写出两个城市的年降水量的众数和中位数；
（3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因.
分析：（1）直接根据平均数公式计算；（2）只要找出表中北京与巴黎的月降水量占全年降水量的百分比的众数和中位数即可.（3）根据平均数，众数和中位数的性质特点结合题意作答，说法不惟一，只要达到意思即可.
解：（1）两个城市的月平均降水量=
（2）北京的月平均降水量的众数是
巴黎的月降水量的众数是
北京的月降水量的中位数是
巴黎的月降水量的中位数是
（3）根据众数，中位数的比较，以及表中的数据可以看出北京在7，8两个月份的降水量最高，其他月份的降水量相对很低，特别是春冬季节的降水量更少，这样导致7，8两个月份的降水量过于集中，流失过大，而其他月份降水量很少，这就是造成北京每年干旱和缺水的主要原因.
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1.
期中考试后，园园同学想知道自己在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学成绩的（
）
A.
平均分
B.
中位数
C.
众数
D.
最低分
2.
青年桥某商店准备进一批保暖鞋销售，店主最关心的是（
）
A.
保暖鞋尺码的平均数
B.
保暖鞋尺码的中位数
C.
保暖鞋尺码的众数
D.
最大的保暖鞋尺码
3.
学校食堂销售1元，2元，3元3种价格的盒饭，上月的销售情况如图所示，则上月销售盒饭价格的众数和中位数分别是（
）
A.
3元，3元
B.3元，2元
C.
3元，1元
D.2元，3元
4.
某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人，得90分的6人，得80分的2人，70分的16人，60分的5人，则该班这次语文测验的众数是
（　　）
A.
70分
B.
80分
C.
16人
D.
10人
5.
在一次射击中，运动员命中的环数是7，9，9，10，10，其中9是
（　　）
A.
平均数
B.
中位数
C.
众数
D.
既是平均数又是中位数
二、填空题
6.
5
个数据的和是476，其中一个数为96，那么其余4个数据的平均数为
7.
5个数据，各数都减去200，所得的差分别是8，6，－2，3，0，这5
个数的平均数=
.
8.
一个样本，各个数据的和为404，如果样本平均数为4，则样本容量是
.
9.
如果一组数据6，x，2，4的平均数为5，那么x＝
.
10.
有3个数据其平均数是6，有7个数据其平均数是9，则这10个数据的平均数是
.
11.
数据8，9，9，8，10，8，9，9，8，10，7，9，9，8，10，7的众数是
，中位数是
.
12.
已知数据x1，x2，x3，……，
xn，的平均数是m，中位数是n，那么数据3x1＋7，3x2＋7，3x3＋7，……，
3xn＋7的平均数等于
，中位数是
.
三、解答题
13.
甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食单价不同），甲每次购买粮食100公斤，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元/公斤，第二次购买粮食的单价为y元/公斤.
（1）用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共要付粮款
元，乙两次共购买
_________公斤粮食，若甲两次购粮的平均单价为每公斤Q1元，乙两次购粮的平均单价为每公斤Q2元，则Q1＝
，Q2＝
.
（2）若规定两次购粮的平均单价低者，购粮方式合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.
14.
某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了10个成熟的西瓜，称重如下：
西瓜质量（单位：千克）
5.4
5.3
5.0
4.8
4.4
4.0
西瓜数量（单位：个）
1
2
3
2
1
1
（1）这10个西瓜质量的众数和中位数分别是
和
；
（2）计算这10个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地共可收获西瓜约多少千克？
15.
我市部分学生参加了2004年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩。已知竞赛分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的分数分布情况如下：
分数段
0－19
20－39
40－59
60－79
80－99
100－119
120－140
人
数
0
37
68
95
56
32
12
请根据以上信息解答下列问题：
（1）全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
（2）经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上（含60分）的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
（3）决赛分数的中位数落在哪个分数段内？
（4）上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等。请你再写出一条此表提供的信息.
16.
某班为了从甲乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与民主测评，结果如下表：
演讲答辩得分情况（单位：分）
民主测评票数统计表（单位：张）
A
B
C
D
E
好
较好
一般
甲
90
92
94
95
88
甲
40
7
3
乙
89
86
87
94
91
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；综合得分＝演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）.
（1）当a＝0.6时，两人的综合得分分别是多少？
（2）分别求出两人的综合得分关于a的函数表达式；
（3）倘若让甲做班长，请你确定a的取值范围.
【试题答案】
1.
B
2.
C
3.
A
4.
A
5.
D
6.
95
7.
203
8.
101
9.
8
10.
8.1
11.
9，9
12.
3m+7，3n+7
13.
（1）100（x+y），，，
（2）当x=y时，Q1=Q2；当x≠y时，Q1>Q2
14.
（1）5.0，
5.0
（2）
2940
15.
（1）300，20～39，
120～140
（2）65%
（3）
60～79
（4）
120～140分数段的学生占4％
16.
（1）89，88.4
（2）92－5a，89－a
（3）
0.5≤a<0.75