课题:3.7切线长定理
课型:新授课
年级:九年级
教学目标:
1.理解切线长的概念,掌握切线长定理.
2.利用切线长定理进行有关的计算;并在运用切线长定理的解题过程中,进一步渗透方程的思想.
3.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,调动学生的学习积极性,激发学生的学习兴趣,树立科学的学习态度.
教学重点与难点:
重点:理解切线长定理.
难点:应用切线长定理解决问题.
教学过程:
一、知识回顾,引入新课
活动内容:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?试试看
处理方式:学生前后四人一组,分工合作,
互相帮助,动手画圆的切线,让学生明白
过圆外一点画圆的切线能画出两条.
设计意图:在教师的引导下探究如何画圆的切线,
体会圆的切线的判定和性质,给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流.
二、观察思考,猜想验证
活动内容:如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点
这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由.
处理方式:学生前后四人一组,分工合作,互相帮助,动手画圆,按轴对称图形的探究方法探究,寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流,教师要深入到小组中讨论、指导.
学生明白:过圆外一点画圆的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.知道切线是用线段的长来定义的,定义中的“线段”具有什么特征?
①
在圆的切线上;②两个端点一个是切点,一个是圆外已知点.
我们组将这个图沿着射线PO折叠,发现PA与PB重合,∠APO与∠BPO重合(板书)结合这个图形,该定理的符号语言如何叙述?
切线长定理:从圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
设计意图:定理教学的方式是学生自主探索,相互交流相结合.首先探索猜想出结论后,再明确仅凭观察、度量、
利用圆的对称性,通过折叠,猜想并不能说明结论的正确性,还需证明结论的正确性,同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后,再让学生探索更多的结论,定理的剖析以对话形式进行.
三、例题讲解,尝试成功
已知:PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点
求证PA=PB;
证明:连接OA,OB;
∵PA,PB是⊙O的两条切线,
∴
∠PAO=∠PBO=90.
在Rt△PAO和Rt△PBO中
,
∵OA=OB,OP=OP,
∴
Rt△PAO≌
Rt△PBO.
∴PA=PB.
处理方式:引导学生有意识的归纳、总结证明的方法,通过充分交流,让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思,体会解决这类问题的基本思路,形成个人的解决问题的风格.并板书过程.
设计意图:让学生理解证明的方法,培养学生熟练证明的能力,提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.
四、学以致用,探究创新
活动内容:
请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O
的四条切线,再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.
结论:圆的外切四边形的两组对边的和相等.
处理方式:类比圆的内接四边形的性质:对角互补。利用切线长定理的结论,让学生先独立思考,然后让学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.完后教师在课件上展示解题思路,让学生明白圆的外切四边形的两组对边的和相等.
设计意图:学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形,总结出圆外切四边形的性质,学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学,教师不只是让学生“见到树木,也看到了他们所在的森林”
五、例题示范,讲练结合
活动内容:
例题:已知如图,Rt△ABC的两条直角边AC=10,BC=24,⊙O
是△ABC
的内切圆,切点分别为D,E,F,求⊙O
的半径.
处理方式:让学生分析问题后,提出问题:
1、从图中可得出哪些结论?请说明理由.
2、求⊙O
的半径时,应如何利用已知条件?
解决本题的关键,可以引导学生寻找思路,请一学生板演完成此题,并让学生进行题后小结.
设计意图:引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题,感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答,讲解时注意强调学生容易出错的地方.
六、巩固提升
展示自我
1.填空:如图10,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
(1)若PB=12,PO=13,则AO=
(2)若PO=10,AO=6,则PB=
;
(3)若PA=4,AO=3,则PO=
;PD=
;
2.如图,P是⊙O外一点,PA与PB分别⊙O切于A、B两点,DE也是⊙O的切线,切点为C,PA=PB=5cm,求△PDE的周长.
处理方式:学先让学生思考,完成练习后,再用课件展示图例,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.
设计意图:通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈,发现学生在解决这类问题是存在的不足之处,如果学生感觉到困难,可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨.
七、总结概括,整理知识
通过本节课的学习,哪些是你记忆深刻的?本节课的学习值得思考的还有是什么?
处理方式:由学生进行课堂小结,要给学生充足的时间进行思考,得出结论后,再进行集体交流和课件展示.
设计意图:充分交流学习心得,可以从知识与技能,过程与方法,情感态度价值观等方面进行,有利于学生总结概括所学的知识,形成完整的知识体系,有利于学生相互交流,相互学习,达到共同提高的目的,有利于学生明确自身的优点与不足,便于今后扬长避短.
八、达标测试,反馈纠正
活动内容:
A层:1.已知:如图5,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,
(1)图中共有几对相等线段?
(2)若AF=4,BD=6,CE=8,则△ABC的周长是
;
(3)若AB=9,BC=15,AC=12,则AF=
,BD=
,CE=
.
2.如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,C是上任意一点,过C作⊙O的切线,交PA及PB于D、E两点,已知∠P=50°,PA=PB=6cm,则∠DOE=
,△PDE的周长是
.
B层:
1、如图,过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB,A、B为切点,C为
上一点,设∠APB=
.
求证:∠ACB=.
处理方式:学生在学案上做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.
设计意图:在题目的设计上,我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则.通过这3个题目达到落实新知的目的,又将知识进一步延伸,拓广学生的思维.
九、布置作业,落实目标
课本习题P96
习题3.9
1,2,3
板书设计:
§3.7切线长定理
切线长定理
例:
O
A
B
D
C
E
P
第1题
第2题
A
B
P
D
O
E
C
第2题
A
B
P
C
O
学生板演区(共16张PPT)
第三章
圆
50°
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?
2.这样的切线能画出几条?
如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
130°
画一画
B
A
O
P
在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
·
O
P
A
B
切线与切线长有什么区别与联系呢?
·
·
切线和切线长是两个不同的概念:
1.切线是一条与圆相切的直线;
2.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
O
P
A
B
比一比
O
A
B
P
思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
1
2
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA
=
PB
证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°.
∵
OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.(HL)
∴
PA
=
PB.
试用文字语言叙述你所发现的结论
证一证
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA
=
PB
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
几何语言:
反思:切线长定理为证明线段相等提供了新的方法.
O
P
A
B
切线长定理
。
P
B
A
O
(3)连结圆心和圆外一点。
(2)连结两切点;
(1)分别连结圆心和切点;
反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.
想一想
AB+CD=AD+BC
思考:作出有关已知圆O
的四条切线,图中的线段之间有那些等量关系?再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.
探究创新
结论:圆的外切四边形的两组对边的和相等.
已知:如图,Rt△ABC的两条直角边AC=10,BC=24,⊙O
是△ABC
的内切圆,切点分别为D,E,F,求⊙O
的半径.
例题示范
1.如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
(1)若PB=12,PO=13,则AO=
_____;
2.如图,P是⊙O外一点,PA与PB分别⊙O切于
A、B两点,DE也是⊙O的切线,切点为C,
PA=PB=5cm,求△PDE的周长.
(2)若PO=10,AO=6,则PB=
;
(3)若PA=4,AO=3,则PO=
,PD=
.
巩固提升
第1题
O
A
B
D
C
E
P
第2题
你通过本节课的学习,哪些是记忆深刻的?值得思考的还有什么?
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.
A层:
1.已知:如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分
别为D、E、F,
(1)图中共有几对相等线段?
(2)若AF=4,BD=6,CE=8,则△ABC的周
长是
;
(3)若AB=9,BC=15,AC=12,AF=
,
BD=
,CE=
.
达标测试
O
F
E
D
C
B
A
2.如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,C是上任意一点,过C作⊙O的切线,交PA及PB于D、E两点,已知∠P=50°,PA=PB=6cm,则∠DOE=
,△PDE的周长是
.
A
B
P
D
O
E
C
A
B
P
C
O
B层:
如图,过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB,A、B为切点,C为
上一点,设∠APB=α.
求证:
今日作业
课本
P96
习题3.9
第1,2,3题.