自我小测
1．如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝3，DE＝，则EF等于( )
A．
B．15
C．
D．12
2．如图所示，在△ABC中，DE∥AB，＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，E是ABCD的边AB的延长线上一点，且＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．如图，DE∥AB，DF∥BC，若AF∶FB＝m∶n，BC＝a，则CE＝( )
A．
B．
C．
D．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的延长线上一点，AE分别交BD，BC于点G，F，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，AB∥CD，＝，且CB＝7，则OC＝__________.
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AE∶AC＝3∶5，BC＝10，AB＝6，则四边形DBFE的周长是__________．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为__________．
9．如图所示，AB∥FG，AC∥EH，BG＝HC，求证：EF∥BC.
10．如图，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.
求证：(1)DG2＝GE·GF；
(2)＝.
参考答案
1．解析：∵l1∥l2∥l3，∴＝，
∴＝，∴EF＝.
答案：A
2．解析：∵＝，∴＝.
又∵DE∥AB，∴＝＝.
答案：D
3．解析：∵CD∥AB，∴＝＝.
又∵AD∥BF，∴＝.
由＝得＝，即＝.
∴＝＝.
答案：C
4．解析：∵DF∥BC，∴＝＝.
∵DE∥AB，
∴＝＝＝＝.
∴EC＝.
答案：D5．解析：在△ADE中，CF∥AD，则有①和④正确；
又由BF∥AD，则有②正确；
由BF∥AD，有＝，故③不正确．
答案：C6．解析：∵AB∥CD，∴＝＝.
又∵CB＝OB＋OC＝7，
∴＝，解得OC＝.
答案：
7．解析：∵DE∥BC，∴＝＝.
∵BC＝10，∴DE＝6.又∵EF∥AB，∴＝.
由＝，得＝，∴＝.
∵AB＝6，∴EF＝.
又四边形DBFE是平行四边形，
故其周长为2(DE＋EF)＝2×＝.
答案：
8．解析：由于DE∥BC，则∠DBC＝∠FDE.
由于EF∥CD，则∠BDC＝∠DFE，
所以△BDC∽△DFE，所以＝.
又BC＝3，DE＝2，DF＝1，所以＝，
所以DB＝.
由于DE∥BC，所以＝，即＝.
所以＝，解得AB＝.
答案：
9．分析：要证明EF∥BC，只需证明＝或＝或＝即可．
证明：因为AB∥FG，AC∥EH，
所以＝，＝.
又因为BG＝HC，所以＝.
所以EF∥BC.10．证明：(1)∵CD∥AE，∴＝.
又∵AD∥CF，∴＝.
∴＝，即DG2＝GE·GF.
(2)∵BF∥AD，∴＝.
又∵CD∥BE，∴＝.
由此可得＝.自我小测
1．如图，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，则GH的长是( )．
A．2.5
B．
C．
D．
2．如图，E是ABCD的边AB的延长线上的一点，且，则等于( )．
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，，，则等于( )．
A．3∶14
B．14∶3
C．17∶3
D．17∶14
4．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，则为( )．
A．
B．1
C．
D．
5．如图，△ABC中，，则OE∶OB＝__________.
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝__________.
7．如图所示，AB∥FG，AC∥EH，BG＝HC，求证：EF∥BC．
8．如图，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于G，交BC于F.
求证：(1)DG2＝GE·GF；
(2)
.
参考答案
1.
答案：C
解析：∵AB∥GH，∴.
∵GH∥CD，∴，
∴，∴.
2.
答案：C解析：∵CD∥AB，∴，
又AD∥BF，∴.
由得，即.
∴.
3.
答案：B
解析：如图，过点Q作QM∥AP，与BC交于点M，
则.
又∵，
∴，
∴，
即，∴，.
4.
答案：B
解析：由CD∥BN得，又四边形ABCD为平行四边形，故AB＝CD，∴，
∴.
5.
答案：1∶2
解析：∵，
∴DE为△ABC的中位线，则OE∶OB＝DE∶BC＝1∶2.
6.
答案：6解析：由AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC
可得AE＝DE＝CF.
设DE＝x，则AE＝x，BE＝15－x，AC＝4＋x.
又DE∥AC，所以，即.
整理得x2＋4x－60＝0.
解得x1＝6，x2＝－10(舍去)．所以DE＝6.7.
分析：要证明EF∥BC，只需证明或或即可．
证明：因为AB∥FG，AC∥EH，
所以，.
又因为BG＝HC，
所以.所以EF∥BC．
8.
证明：(1)∵CD∥AE，∴.
又∵AD∥CF，∴.
∴，即DG2＝GE·GF.
(2)∵BF∥AD，∴.
又∵CD∥BE，∴.
由此可得.自我小测
1．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果，那么FC是BF的( )．
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
2．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8
cm，高和上底相等，那么梯形中位线长为( )．
A．
B．10
cm
C．
D．
3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，E、D、F分别是三边中点，则四边形EDHF是( )．
A．一般梯形
B．等腰梯形
C．直角梯形
D．一般四边形
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E、F分别为对角线BD、AC的中点，则EF的长是__________．
5．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2
cm，则AC＝______；若BD＝10
cm，则EF＝______.
6．已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，则BF＝__________.
7．如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：.
9.用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图所示，想一想，为什么？
参考答案
1.
答案：A
解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点．
即BF＝FD．
又，∴.
∴.
2．答案：C
解析：易求得梯形的高和上底均为4
cm，
则下底为，
故梯形中位线长为.
3.
答案：B
解析：根据题图，由E、F、D分别是三边中点，知EF∥BC，ED∥AC，．
而HF是Rt△AHC斜边的中线，
∴，即ED＝HF.
∴四边形EDHF为等腰梯形．
4.
答案：2
解析：如图，延长EF和FE，交AB于G，交CD于H，
则GEAD，FHAD，
∴GE＝FH＝1.
又由平行线等分线段定理，知GH为梯形ABCD的中位线，则GH＝(AD＋BC)＝4.
∴EF＝2.
5.
答案：6
cm 5
cm
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，可得F是AD的中点，EG＝AD＝FD＝2(cm)，结合CD＝AD，可以得到F、D是AC的三等分点，则AC＝3EG＝6(cm)．由EF∥BD，可得EF等于BD的一半，即EF＝BD＝5(cm)．
6.
答案：FC
解析：根据D是AC的中点，利用平行线等分线段定理的推论，得到E是AB的中点，再利用EF∥AC即可得到F是BC的中点．
7.
证明：连接AE交DC于O，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB．
在△EAB中，OF∥AB，又O是AE的中点，
∴F是EB的中点．∴EF＝BF.
8.
证明：如图，过点D作DE∥BN，交AC于E，
∵D为BC的中点，∴NE＝EC．又M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE＝EC．
∴.
9.
分析：本题可以利用平行线等分线段定理的推论2来解决．
解：∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵AB⊥EF，∴AE＝AF.
∴由折叠过程可知∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°.
∴△AEF为等边三角形．自我小测
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．不确定
2．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且BC＝8，则DE＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3．已知三角形的三条中位线分别为3
cm,4
cm,6
cm，则这个三角形的周长是( )
A．13
cm
B．26
cm
C．24
cm
D．6.5
cm
4．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，E，D，F分别是三边的中点，则四边形EDHF是( )
A．一般梯形
B．等腰梯形
C．直角梯形
D．一般四边形
5．如图所示，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4
cm，则CO等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．不确定
6．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP，若AB＝9
cm，则AP＝________；若PM＝1
cm，则PC＝________.
7．如图，在正方形A′B′C′D′中，O′是两条对角线A′C′与B′D′的交点，作O′F′∥C′D′交A′D′于点F′，且正方形边长等于12，则A′F′＝________.
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，AN＝4
cm，则CN＝__________cm.
9．如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于点F.求证：EF＝BF.
10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图所示，想一想，为什么？
参考答案1．解析：由梯形中位线定理，知选B.
答案：B
2．解析：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4.
答案：C
3．解析：由题知，三条中位线所对的三边的长分别为6
cm，8
cm，12
cm，故三角形的周长为6＋8＋12＝26(cm)．
答案：B
4．解析：根据题图，由E，F，D分别是三边的中点，知EF∥BC，ED∥AC，ED＝AC.
而HF是Rt△AHC斜边的中线，
所以HF＝AC，即ED＝HF，
因此四边形EDHF为等腰梯形．
答案：B
5．解析：过O作l∥AB，则l∥AB∥CD，
∵AO＝OD，∴BO＝OC，
∴CO＝BC＝2
cm.
答案：B
6．解析：由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，可得D是BC的中点，再由DN∥CP，可得N是BP的中点，同理可得P是AN的中点，由此可得答案．根据三角形中位线性质可得PC＝4PM＝4
cm.
答案：3
cm 4
cm
7．解析：因为四边形A′B′C′D′是正方形，O′是A′C′与B′D′的交点，所以A′O′＝O′C′.
又因为O′F′∥C′D′，所以A′F′＝F′D′，
即A′F′＝A′D′＝×12＝6.
答案：6
8．解析：如图，过点D作DE∥BN，交AC于E.
∵D为BC的中点，∴NE＝EC.
又∵M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC.∴CN＝2AN＝8
cm.
答案：8
9．证明：如图，连接AE交DC于点O.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.
在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点，∴EF＝BF.
10．解：∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点．
在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵AB⊥EF，∴AE＝AF.
∴由折叠过程可知∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.
在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°，∴△AEF为等边三角形．
