课题：4.1函数
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否为函数关系.
2.了解函数的三种表示方法，引导学生通过对比不同表示方法，从而理解函数概念的实质.
3.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.
教学重、难点：
重点：理解函数的概念，会判断两个变量间的关系是否是函数关系.
难点：函数概念的形成过程，能把实际问题抽象概括为函数问题．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、复习回顾，引入新课
活动内容：
我们生活在一个变化的世界中，很多东西都在悄悄地发生着变化着，那么我们前面已经学习了变量及因变量和自变量，你还记得它们的概念吗？让我们一起来回顾一下吧！
课件展示：
处理方式：由于问题较简单，采用抢答的方式进行，再让学生举例来说明这几个概念的联系，从而达到了学生巩固知识的目的，同时为下一步学习函数问题作了知识铺垫.
设计意图：以填空的形式引导学生回顾知识，更好地加深学生对概念的理解，同时为后面的学习作好铺垫．
函数是刻画变量之间关系的常用模型，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界，服务于我们的生活.因此，让我们一起走进函数天地吧！（板书课题：4.1函数）
二、自主探究，合作交流
问题提出：你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？（多媒体展示摩天轮动画）
处理方式：对于农村的孩子来说，大多数没见过摩天轮，更没有坐过，通过动画演示让学生看出摩天轮是怎样运动的.老师也可由经历过的学生介绍，或自制教具演示摩天轮的运动过程.
设计意图：通过动画演示摩天轮的运动过程，让学生体会高度h（米）与旋转时间t（分）之间的变化规律，从而为下一步解决问题做好铺垫，让学生感受数学就在我们身边.
课件展示：
处理方式：引导学生弄清楚题意，动画演示让学生感受高度h（米）与旋转时间t（分）之间的变化规律，体会对于t的每一个值，h都有唯一确定的值与之对应.
温馨提示：学生回答问题之前一定要强调：横轴表示的是时间，纵轴表示的是高度.
设计意图：让学生感受图象表示变量之间的关系及结合图象解决问题，同时理解横轴表示自变量，纵轴表示因变量，为研究函数的图像和性质做好铺垫.
你还知道生活中有哪些用图象来表示变量之间的关系的吗？
处理方式：学生结合自己的生活经验作出回答，比如：做过心电图的学生可能说心电图，父母做股票的同学可能说股票的每天价格变动图象，………….
设计意图：通过让学生自己找出生活中图象表示变量之间的关系，体会数学知识就在外面身边，数学知识运用到生活中的方方面面，提高学生学好数学的信心.
课件展示：
处理方式：学生可以仿照七年级探索规律完成表格，通过表格反映两个变量之间的关系，体会因变量的唯一确定性.
温馨提示：本题只需结合图形解答所提出的问题，不需要学生写出探索规律的表达式，这样既节省了时间也降低了难度.
设计意图：本例通过列表法的形式，使学生体会变量之间的相依关系，通过追问让学生明确给定一个层数n，唯一确定一个物体总数y.
课件展示：
处理方式：首先理解题意，通过表达式找出两个变量之间的关系，结合变量之间的关系找出自变量和因变量，并求出它们的对应值.
温馨提示：通过给出自变量求因变量的值或给出因变量求自变量的值，让学生理解解决问题的方法，为下一步学习画函数的图象作好铺垫.
设计意图：会判断情境问题中的常量和变量，感受关系式表示变量之间的关系，给定一个自变量，能求它的因变量的值，同时体会因变量的唯一确定性.
三、合作探究，生成概念
1、在上面的三个探究过程中，分别运用了哪些方法表达了变量之间的关系？
2、在变化过程中有几个变量，自变量能取哪些值？在自变量的取值范围内，给定一个自变量的值，那么因变量的值是否唯一确定？
处理方式：通过前面的探究活动，学生很容易用自己的语言表达、交流，教师给予必要的引导，为下一步用自己的语言概括函数的概念作铺垫.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（function），其中x是自变量，y是因变量.
温馨提示：函数概念应把握三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的值随着另一个变量的数值变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有唯一确定的值与之对应.
设计意图：通过学生分析探究活动中的例子的共同特点，让学生用自己的语言概括函数的概念，加深学生对函数概念本质特征的理解.
我们七年级学习了变量之间的关系，你还记得有哪些方式表示变量之间关系吗？
.
前面的“探究活动一”中是用
表示，前面的“探究活动二”中是用
表示，前面的“探究活动三”中是用
表示.
处理方式：回顾两个变量之间关系的表示方法，小组合作交流，找出三个探究活动中所反映的表示变量关系的方法.
表示函数的方法一般有：（1）图象法；（2）列表法；（3）关系式法.（解析式法）
设计意图：让学生回顾变量之间关系的表示方法，并结合探究活动判断表示方法来加深学生对三种表示方法的理解，促进了新旧认知结构的顺利转化，又培养了学生良好的“回顾与反思”的意识.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
设计意图：让学生理解自变量的取值是有范围的，能根据自变量的值求出函数值，体会与代数式的值的区别与联系.
四、练习提高，巩固新知
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
2.下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝±（x＞0）
B．y=x2
C．y＝
(x＞0)
D．y＝()2(x＞0)
参考答案：【1.C
2.B
3.A】
处理方式：学生独立解答，然后让学生纠错，留给学生充分的时间与空间进行独立练习，对本节知识进行巩固．
设计意图：通过练习，学生基本都能根据函数的概念进行判断，取得了较好的教学效果，加深了学生对“函数概念”的理解．
五、合作探究，知识沉淀
一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y
(单位：L)随行驶里程x
(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
问题1：写出表示y与x的函数关系的式子；
问题2：指出自变量x的取值范围；
问题3：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
处理方式：根据题意列出关系式，在确定自变量的取值范围时，不仅要考虑到函数关系式必须有意义，而且还要注意问题的实际意义.
设计意图：通过问题情境的探究，让学生用函数关系式的方法来反映两个变量之间的变化关系，培养学生运用数学知识解决问题的能力.
六、课堂小结，归纳感悟
1.对自己说，你有什么收获：
；
2.对同学说，你有什么温馨提示：
；
3.对老师说，你还有什么困惑：
.
处理方式：学生畅所欲言，教师给予鼓励.
设计意图：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，培养学生及时总结回顾的习惯，锻炼学生的语言表达能力，增强学生的自信心，激励学生展示自我.
七、分层评价，当堂达标
1.在下表中，设x表示乘公共汽车的站数，y表示应付的票价（元）
x（站）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y（元）
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
根据此表，下列说法正确的是（ ）
A．y是x的函数
B．y不是x的函数
C．x是y的函数
D．以上说法都不对
2.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t(分)之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量.
3.
如图是弹簧挂上重物后，弹簧的长度
y(厘米)与所挂物体的质量
x(千克)之间的变化关系图．根据图象，回答问题：
(1)不挂重物时，弹簧长多少厘米？
(2)当所挂物体的质量分别为
5千克，10千克，15千克，20千克时弹簧的长度分别是多少厘米？
(3)弹簧长度
y
可以看成是物体质量
x
的函数吗？若能，请你用关系式法来表示？
参考答案：【(1)不挂重物时，弹簧长
15
cm；(2)所挂重物质量分别是5
kg,10
kg,15
kg,20
kg
时，弹簧的长度分别为
17.5
cm,20
cm,22.5
cm,25
cm；(3)y
可以看成是
x
的函数．y=1.5x+15.】
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
八、布置作业，课后促学
必做题：课本
77页
习题4.1
第1、2题．
选做题：课本
78页
习题4.1
第3题．
板书设计：
§4.1 函数
自主探究，合作交流
合作探究，生成概念
合作探究，知识沉淀
在一个变化过程中数值可以取不同数值的量叫做
；如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做
，另一个量叫做
；在一个变化过程中数值可以保持不变的量叫做
.
探究尝试一
右图，反映了摩天轮上一点的高度h
（米）与旋转时间t（分）之间的关系.
结合图象解决下列问题.
问题1、图象表示的是哪些量之间的关系？
其中哪个量是自变量，哪个是因变量？
问题2、根据图像填写下表:
问题3、对于给定的时间
t
，相应的高度h
确定吗？
问题4、对于t的每一个值，h都有唯一确定的值与之对应吗？
探究尝试二
做一做：罐头盒等圆柱形的物体，
常常如右图这样堆放，随着层数的
增加，物体的总数是如何变化的？
问题1、根据图形，填写表格：
问题2、在这个问题中的变量有几个？分别是什么？通过表格你能看出自变量和因变量吗？
问题3、每当n给定一个值的时候，y的值有几个？
探究尝试三
做一做：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
问题1：在上述关系式中，哪些是变量？哪些是常量？并指出自变量和因变量.
问题2：当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
问题3：给定一个大于-273
℃的t值，你能求出相应的T值吗？
提出问题
形成概念
表示方法
函数值
投影区
学生板演区(共27张PPT)
所谓科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数，所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。
——穆尔
在一个变化过程中数值可以取不同数值的量叫做
；如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做
，另一个量叫做
；在一个变化过程中数值可以保持不变的量叫做
.
复习回顾，引入新课
变量
因变量
自变量
常量
函数是刻画变量之间关系的常用模型，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界，服务于我们的生活.因此，让我们一起走进函数天地吧！
你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
自主探究，合作交流
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
45
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
45
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
45
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
45
h（米）
t（分）
探究尝试一
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
11
37
45
h（米）
t（分）
探究尝试一
图象表示的是哪些量之间的关系？
其中哪个量是自变量，哪个是因变量？
高度h（米）与旋转时间之间的关系
旋转时间
高度
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
t/分
0
1
2
3
4
5
······
h/米
······
3
11
37
45
37
11
根据上图填表
对于t的每一个值，h都有唯一确定的值与之对应吗？
对于给定的时间
t
，相应的高度h
确定吗？
瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
层数n
1
2
3
4
5
······
物体总数y
······
1
3
6
10
15
探究尝试二
2
3
4
5
瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
探究尝试二
每当n给定一个值的时候，y的值有几个？
在这个问题中的变量有几个？分别是什么？通过表格你能看出自变量和因变量吗？
两个变量
物体的总数和层数
层数
物体的总数
唯一一个
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
探究尝试三
（1）在上述关系式中，哪些是变量？哪些是常量？
热力学温度、摄氏温度
摄氏温度
热力学温度
并指出自变量和因变量.
273
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
探究尝试三
（2）当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
（3）给定一个大于-273
℃的t值，你能求出相应的T值吗？
T=-43+273
T=-27+273
T=0+273
T=18+273
2、在变化过程中有几个变量，自变量能取哪些值？在自变量的取值范围内，给定一个自变量的值，那么因变量的值是否唯一确定？
关系式
提出问题
1、在上面的三个探究过程中，分别运用了哪些方法表达了变量之间的关系？
图象
表格
T=t+273
合作探究，生成概念
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（function），其中x是自变量，y是因变量。
形成概念
注意：（1）有两个变量；
（2）一个变量的值随着另一个变量的数值变化而变化；
（3）自变量每确定一个值，因变量就有唯一确定的值与之对应.
表示方法
表示函数的方法一般有：
（1）图象法；
（2）列表法；
（3）关系式法.（解析式法）
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
练习提高，巩固新知
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B
．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
2.下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
B
3.下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
A
一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油
量y
(单位：L)随行驶里程x
(单位：km)的增加而减少，平
均耗油量为0.1L/km.
问题1：写出表示y与x的函数关系的式子；
y=50-0.1x
合作探究，知识沉淀
一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y
(单位：L)随行驶里程x
(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
深入探究
问题2：指出自变量x的取值范围；
问题3：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
0≤x≤500
y=50-0.1×200=30L
课堂小结，归纳感悟
1.
对自己说，你有什么收获？
2.
对同学说，你有什么温馨提示？
3.
对老师说，你还有什么困惑？
分层评价，当堂达标
1.在下表中，设x表示乘公共汽车的站数，y表示应付的票价（元）
根据此表，下列说法正确的是（ ）
A．y是x的函数
B．y不是x的函数
C．x是y的函数
D．以上说法都不对
2.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t(分)之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量.
C
函数关系
时间
轮子的转数
分层评价，当堂达标
3.
如图是弹簧挂上重物后，弹簧的长度
y(厘米)与所挂物体的质量
x(千克)之间的变化关系图．根据图象，回答问题：
(1)不挂重物时，弹簧长多少厘米？
(2)当所挂物体的质量分别为
5千克，
10千克，15千克，20千克时弹簧的
长度分别是多少厘米？
(3)弹簧长度
y
可以看成是物体质量
x
的函数吗？若能，请你用关系式法来表示？
(1)不挂重物时，弹簧长
15
cm；
(2)
弹簧的长度分别为
17.5
cm,20
cm,22.5
cm,25
cm；
(3)y
可以看成是
x
的函数；y=1.5x+15.
必做题：课本
77页
习题4.1
第1、2题．
选做题：课本
78页
习题4.1
第3题．
布置作业，课后促学
