自我小测
1．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0,1)
B．(1,1)
C．(2,1)
D．(2,2)
2．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
3．f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值为( )
A.3
B．4
C．－4
D．－3
4．函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
5．，，的大小关系是( )
A.
>
>
B.
>>
C.
>
>
D.
>>
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
7．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是__________．
8．方程2|x|＋x＝2的实数根的个数为__________．
9．已知函数f(x)满足：对任意实数x1
10．已知0.
11．已知函数f(x)＝ax－2(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
12．设a是实数，f(x)＝a－
(x∈R)．
(1)试证明对于任意a，f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
参考答案
1．答案：D
2．答案：D
3．解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即30＋b＝0，得b＝－1.
∴f(－1)＝－f(1)＝－(31＋2－1)＝－4.
答案：C
4．解析：方法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.
方法二：当a>1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位长度，且过(1,0)，排除选项A，B；
当0答案：C
5．解析：画出y=和y=的大致图象，如图所示．由图可知>>.故选A.
答案：A
6．解析：由f(x)是R上的增函数，知解此不等式组，得a∈[4,8)．
答案：D
7．解析：∵当x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，
∴a2－1>1.∴a2>2，解得a>或a<－.
答案：a<－或a>
8．解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.
在同一平面直角坐标系中作出y21世纪教育网＝2|x|与y＝2－x的图象，如图所示，两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根．
答案：2
9．解析：由题意知，f(x)为增函数且满足指数幂的运算性质，所以此函数可认为是指数函数f(x)＝ax(a>1)．
答案：f(x)＝2x(答案不唯一)
10．解：∵0∵>，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，∴x>1.
11．解：(1)函数图象经过点，所以a4－2＝＝，∴a＝.
(2)f(x)＝
(x≥0)，由x≥0，得x－2≥－2，∴0<≤＝9.
∴函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,9]．
12．(1)证明：设x1，x2∈R，且x10.
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝.
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x10.
又由2x>0，得＋1>0,
＋1>0.所以f(x2)－f(x1)>0.
所以对于任意实数a，f(x)为增函数．
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－，
变形得2a＝＋＝，
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．自我小测
1．下列函数中①y＝3x2，②y＝4x，③y＝22x，④y＝3×2x，⑤y＝3x＋1.一定为指数函数的个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设y1＝40.9，y2＝80.48，，则( )．
A．y3＞y1＞y2
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y23．f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )．
A．是奇函数
B．是偶函数
C．可能是奇函数也可能是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
4．函数
(a＞1)的图象的大致形状为( )．
5．函数
则f(－3)的值为________．
6．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
7．关于x的方程有负根，求a的取值范围．
8．求
(a＞0且a≠1)的值域．
9.已知函数
(a∈R)．
(1)判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)要使f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
解析：②③是指数函数．
2.
答案：D
解析：y1＝21.8，y2＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，
∵1.8＞1.5＞1.44，
∴y1＞y3＞y2.
3.
答案：A
解析：令.
∵，
∴是奇函数．
∵f(x)不恒等于零，
∴f(x)是奇函数．
4.
答案：C
5.
答案：
解析：f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝2－3＝.
6.
答案：
解析：当a＞1时，在同一坐标系中作出y＝2a和y＝|ax－1|的图象，显然只有一个公共点，不合题意．
当1≤2a＜2时，即时，两图象也只有一个交点，不合题意．
当0＜2a＜1时，即时，如图所示，两图象有两个交点，适合题意．
7.
解：∵在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴当x＜0时，.
∵有负根，
∴，即.
该不等式与(4a－3)(5－a)＞0等价，
解得.
8.
解：方法一：由，
又∵ax＞0，
∴ax＋1＞1.∴.
∴，即.
∴y∈(－1,1)．
方法二：由得y·ax＋y＝ax－1.
∴(y－1)·ax＝－y－1，
∴.
∵ax＞0，
∴，即.
∴(y－1)(y＋1)＜0.∴－1＜y＜1，即函数的值域是(－1,1)．
9.
解：(1)显然对任意x∈R，有2x＋1≠0.
∴f(x)的定义域为R.设x1、x2∈R且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)
.
∵y＝2x为增函数，且x2＞x1，
∴，且恒成立，
于是f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)．
故f(x)是R上的增函数．
(2)由f(x)≥0恒成立，可得恒成立．
∵对任意的x∈R,2x＞0，
∴2x＋1＞1，
∴，
∴.
要使恒成立，只需a≥2即可，故a的取值范围是[2，＋∞).