自我小测
1．给定函数：①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( )
A.①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．已知函数f(x)＝1－2x，若a＝f(log30.8)，b＝f，c＝f（2－），则( )
A.a
B．bC．cD．a3．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是( )
4．已知函数f(x)＝(2x2＋x)，则f(x)的单调增区间为( )
A.
B.
C．(0，＋∞)
D.
5．方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的实数解的个数为( )
A.0
B．1
C．2
D．3
6．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为( )
A.2
B.
C.
D．1
7．若a>0，且a≠1，则函数f(x)＝loga(5x－10)＋2恒过定点P的坐标是__________．
8．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为__________．
9．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
10．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B C，求a的取值范围．
11．作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
12．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)的值域．
参考答案
1．解析：y＝在(0,1)上为增函数；y＝(x＋1)在(0,1)上为减函数；y＝|x－1|在(0,1)上为减函数；y＝2x＋1在(0,1)上为增函数．故选B.
答案：B
2．解析：f(x)＝1－2x在定义域上为减函数，由>＝2－，得b答案：B
3．解析：因为f(x)＝2|log2x|＝故选C.
答案：C
4．解析：结合二次函数y＝2x2＋x的图象(如图)、复合函数的单调性以及对数函数的定义域可知f(x)的单调增区间为.
答案：B
5．解析：本例可用数形结合的方法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0当a>1时，在同一平面直角坐标系中画出y＝logax的图象和y＝a－x的图象，如图(1)，由图象知两个函数图象只有一个交点；同理，当0图(1)
图(2)
答案：B
6．解析：由题知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时，x＝1；当f(x)＝1时，x＝3或x＝.
所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3]，也可以为(1≤x≤3)，所以b－a的最小值为.故选B.
答案：B
7．解析：令5x－10＝1，解得x＝，
所以函数f(x)恒过定点.
答案：
8．解析：当0当a>1时，y＝ax和y＝loga(x＋1)在[0,1]上都是增函数．
所以f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为f(0)＋f(1)．
而f(0)＋f(1)＝(a0＋loga1)＋(a1＋loga2)＝a，
即1＋loga2＝0，故a＝.
答案：
9．解析：由函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值可知a>1，
所以x－1>1，即x>2.
答案：(2，＋∞)
10．解：(1)由题意知，解得x≥2.
∴A＝{x|x≥2}．易知B＝{y|1≤y≤2}，
∴A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，若要使B C，则有a－1≥2.∴a≥3.
11．解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②.
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③.
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.
12．解：(1)由题知即
∴－1∴函数f(x)的定义域为{x|－1(2)∵函数定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)∵f(x)＝lg(1－x2)，令t＝1－x2，
∵－1∴y＝lg
t，t∈(0,1]．∴y∈(－∞，0]．∴函数f(x)的值域为(－∞，0]．自我小测
1．已知对数函数y＝logax的图象，若a的值分别取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是( )．
A.
，，，
B.
，，，
C.
，，，
D.
，，，
2．a取大于0且不等于1的任意值，函数的图象恒过定点P，则P的坐标为( )．
A．(1,1) B．(－2,0)C．(2,0)
D．(－1,0)
3．已知0＜a＜1，，，，则( )．
A．x＞y＞z
B．z＞y＞x
C．y＞x＞z
D．z＞x＞y
4．函数的定义域为( )．
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0]∪(0,1]
D．[－4,0)∪(0,1)
5．若函数y＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)图象过点(－1,0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.
6．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x取值范围是________．
7．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)log2π与log20.9；
(3)log712与log812；
(4)log0.76,0.76与60.7.
8．设满足f(－x)＝－f(x)，a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
9．求函数的定义域、值域和单调区间．
参考答案
1.
答案：A
解析：由规律可知，曲线C1，C2，C3，C4的底数a1，a2，a3，a4满足0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1，故选A.2.
答案：B
解析：令
得x＝－2，∴P的坐标为(－2,0)．
3.
答案：C
解析：，，
，
∵0＜a＜1，∴y＞x＞z.
4.
答案：D
解析：不等式组的解集为[－4,0)∪(0,1]
当x＝1时，，不满足题意，舍去．
当x＝－4时，，
所以函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．
5.
答案：2 2
解析：由得a＝b＝2.
6.
答案：
解析：由题意得
解得.
又由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，得logx(2x3＋x2－x)＞logx2，
则得或
解得0＜x＜1或x＞1，
所以x的取值范围为.
7.
解：(1)因为函数在(0，＋∞)上是减函数，且5.24＜6，
所以.
(2)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且π＞0.9.
所以log2π＞log20.9.
(3)利用换底公式，可得，.
因为函数y＝log12x在(0，＋∞)上单调递增，且1＜7＜8，所以0＜log127＜log128.
所以，即log712＞log812.
(4)因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1，
又log0.76＜log0.71＝0，所以60.7＞0.76＞log0.76.
8.
解：(1)∵f(－x)＝－f(x)．
∴
.
检验a＝1(舍)，
∴a＝－1.
(2)证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.
∴
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
9解：由对数函数的定义知：－x2＋2x＋3＞0，解得－1＜x＜3，所以函数的定义域为(－1,3)．
设t＝－x2＋2x＋3，由0＜－x2＋2x＋3≤4，知0＜t≤4.
又因为对数函数是单调减函数，所以y≥－2，即原函数的值域为[－2，＋∞)．
因为函数t＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在(－1,1]上递增，而在[1,3)上递减，函数是单调减函数，
所以函数的单调减区间为(－1,1]，单调增区间为[1,3)．