自我小测
1．函数y＝3x＋1(－1≤x＜0)的反函数是( )．
A．y＝1＋log3x(x＞0)
B．y＝－1＋log3x(x＞0)
C．y＝1＋log3x(1≤x＜3)
D．y＝－1＋log3x(1≤x＜3)
2．已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图象是( )．
3．已知函数f(x)的图象过点(0,1)，则f(4－x)的反函数的图象过点( )．
A．(1,4)
B．(4,1)
C．(3,0)
D．(0,3)
4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝( )．
A．6
B．5
C．4
D．3
5．下列关于反函数的说法中，正确的为________．
①二次函数一定有反函数；②反比例函数一定有反函数；③若函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)有公共点P，则点P一定在直线y＝x上；④单调函数在其单调区间上一定有反函数．6．若函数f(x)的反函数f－1(x)＝x2(x＞0)，则f(4)＝________.
7．已知函数，试求它的反函数以及反函数的定义域、值域．
8．已知f(x)＝x2，，设F(x)＝f[g－1(x)]－g－1[f(x)]，试求F(x)的最小值．
9.已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的值域．
参考答案
1.
答案：D
解析：y＝3x＋1 x＝log3y－1，其反函数解析式为y＝log3x－1.
－1≤x＜0 0≤x＋1＜1 1≤3x＋1＜3，其反函数定义域为[1,3)．
2.
答案：C
解析：f－1(x)＝log3x＋1.
3.
答案：A
解析：f(4－x)的图象过点(4,1)，故f(4－x)的反函数图象过点(1,4)．
4.
答案：C
解析：f(x)图象过点(2,1)，(8,2)，
∴f(8)＝loga(8＋b)＝2，f(2)＝loga(2＋b)＝1，
∴解得
∴a＋b＝4.
5.
答案：②④
6.
答案：2
解析：设f(4)＝b，则f－1(b)＝4，即b2＝4(b＞0)，
∴b＝2.
7.
解：由1＋10x≠0，可得x∈R.
又，
∴0＜f(x)＜1.∴函数f(x)的定义域为R，值域为(0,1)．
由，得y＋y·10x＝10x，
∴.
∴.
故f(x)的反函数为，定义域为(0,1)，值域为R.
8.
解：∵，
∴g－1(x)＝2x－10.
又∵f(x)＝x2，
∴F(x)＝f[g－1(x)]－g－1[f(x)]
＝(2x－10)2－(2x2－10)
＝4x2－40x＋100－2x2＋10
＝2x2－40x＋110
＝2(x2－20x＋55)
＝2(x－10)2－90≥－90.
∴F(x)的最小值为－90.
9解：(1)∵f(x)＝3x，
且f－1(18)＝a＋2，
∴f(a＋2)＝3a＋2＝18.∴3a＝2.
∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，
∴g(x)＝2x－4x(0≤x≤1)．
(2)令t＝2x(0≤x≤1)，
∴t∈[1,2]．
则
∴当t＝1，即x＝0时，g(x)max＝0；
当t＝2，即x＝1时，g(x)min＝－2.
故g(x)的值域为[－2,0].自我小测
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x
B．
C．
D．2x－2
2．函数y＝1＋ax(0
3．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝，＝log2c，则( )
A．aB．cC．cD．b4．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集
是( )
A．
B．
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
5．已知a>0，且a≠1，f(x)＝ax，g(x)＝logax，若f(1)·g(2)<0，那么f(x)与g(x)在同一平面直
角坐标系内的图象可能是( )
6．若函数f(x)＝
(0≤x<1)的反函数为f－1(x)，则( )
A．f－1(x)在定义域上是增函数，且最大值为1
B．f－1(x)在定义域上是减函数，且最小值为0
C．f－1(x)在定义域上是减函数，且最大值为1
D．f－1(x)在定义域上是增函数，且最小值为0
7．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝__________，
b＝__________.
8．函数y＝的反函数是__________．
9．已知函数f(x)与函数g(x)＝x的图象关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调增
区间是__________．
10．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
11．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
12．已知f(x)＝2x，设f(x)的反函数为f－1(x)，关于x的方程f－1(ax)·f－1(ax2)＝f－1(16)的解都在
(0,1)内，求实数a的取值范围．
参考答案
1．解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a
＝2，故f(x)＝log2x.
答案：A
2．解析：先画出y＝1＋ax的图象，由反函数的图象与原函数的图象关于直线y＝x对称可
画出反函数的图象．
答案：A
3．解析：方法一：由函数y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝的图象(如图)知，0故选A.
方法二：∵a>0，∴2a>1.∴>1.
∴00，∴0<<1.
∴0<<1.∴又∵c>0，∴0<<1.
∴0∴0答案：A
4．解析：由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．
当－1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.
故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪.
答案：C
5．解析：由f(1)·g(2)<0，f(1)＝a1>0，得g(2)<0，即loga2<0，
∴0故选C.
答案：C
6．解析：设x1，x2是区间[0,1)内的任意两个不相等的实数，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
由0≤x10,1－>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)所以函数f(x)在[0,1)上是增函数．
所以f－1(x)在其定义域上也是增函数，且值域为[0,1)，也就是说有最小值0.
答案：D
7．解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4；
由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
答案：3 1
8．解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln
x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
答案：y＝
9．解析：由题意得f(x)＝，f(x2＋2x)＝x2＋2x，
∵f(x)在R上是减函数，
∴由同增异减的原则知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，
－1]．
答案：(－∞，－1]
10．解：因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.
所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．
所以f－1(x)＝log2(x－1)(111．解：(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，设0故0∴loga(ax1－1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)．
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，
∴x＝loga2.
12．解：因为f(x)＝2x，
所以f－1(x)＝log2x(x>0)．
原方程可化为log2(ax)·log2(ax2)＝log216，
即(log2a＋log2x)(log2a＋2log2x)＝4，
故2(log2x)2＋3log2a·log2x＋(log2a)2－4＝0.
令log2x＝t，
则原方程为2t2＋3tlog2a＋(log2a)2－4＝0，当x∈(0,1)时，t<0.
所以该方程有两个负根．所以有
解得log2a>2，所以a>4.
即实数a的取值范围是(4，＋∞)．