自我小测
1．若抛物线y＝x2＋6x＋c的顶点恰好在x轴上，则c的值为( )．
A．0
B．3
C．6
D．9
2．如图所示，坐标系中抛物线是函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是( )．
A．abc＞0
B．b＜a＋c
C．a＋b＋c＜0
D．2c＜3b
3．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内是减函数，则实数a的取值范围是( )．
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．[－3，＋∞)
D．(－∞，－3]
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过点(1,4)和点(5,0)，则该抛物线的解析式为________．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
中/华-21世纪教育网中·华.21世纪教育网y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
6．已知f(x)＝ax2＋bx(ab≠0)，若f(m)＝f(n)，且m≠n，则f(m＋n)＝________.
7．已知函数.
(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程；
(2)已知，不计算函数值，求的值；
(3)不直接计算函数值，试比较与的大小．
8．已知函数f(x)＝x2＋2(a＋1)x＋2，x∈[－2,3]．
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－2,3]上是单调函数．
参考答案
1.
答案：D
解析：∵y＝x2＋6x＋c＝(x＋3)2＋c－9，
∴c－9＝0，c＝9.
2.
答案：D
解析：观察图象开口向下，∴a＜0.
又∵对称轴，∴b＝－2a＞0.由图象观察与y轴交点(0，c)在x轴上方
∴c＞0，∴abc＜0；
又∵f(1)＞0，∴a＋b＋c＞0；
又∵f(－1)＜0，∴a－b＋c＜0；
又∵f(3)＜0，∴9a＋3b＋c＜0.
又∵，∴代入9a＋3b＋c＜0，
∴，∴.即2c＜3b.
3.
答案：D
解析：f(x)＝x2＋4ax＋2＝(x＋2a)2＋2－4a2，
∵f(x)在(－∞，6)内是减函数，∴－2a≥6，∴a≤－3.
4.
答案：
解析：由题意知：解得
∴抛物线的解析式为.
5.
答案：{x|x＜－2或x＞3}
解析：由表中的二次函数对应值可得，二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，又根据f(0)＜f(－2)且f(0)＜f(3)可知a＞0.
∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x<－2或x>3}．
6.
答案：0
解析：f(m)－f(n)＝am2＋bm－an2－bn＝a(m＋n)(m－n)＋b(m－n)＝(m－n)[a(m＋n)＋b]＝0.
由于m≠n，所以a(m＋n)＋b＝0.从而f(m＋n)＝(m＋n)[a(m＋n)＋b]＝0.
7.
解：.
(1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别为(－3,2)和x＝－3.
(2)∵，
∴.
(3)∵．
又∵，∈[－3，＋∞)，
∵，∴y＝f(x)在[－3，＋∞)上是单调递减的．
∵，∴．即．
8.
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2＋1，∴f(x)的图象的对称轴是x＝1.
∴f(x)在[－2,1]上递减，在(1,3]上递增．
∴当x＝1时，ymin＝1.
∵f(－2)＝10，f(3)＝5，
∴f(－2)＞f(3)＞f(1)．
∴当x＝－2时，ymax＝10.(2)∵f(x)＝[x＋(a＋1)]2＋2－(a＋1)2，
∴函数f(x)的图象对称轴为x＝－(a＋1)．
当f(x)在[－2,3]上单调递减时，有－(a＋1)≥3，即a≤－4；
当f(x)在[－2,3]上单调递增时，有－(a＋1)≤－2，即a≥1.综上所述，当a≤－4或a≥1时，函数f(x)在[－2,3]上是单调函数．自我小测
1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A.f(x)＝(x－1)2
B．f(x)＝
C．f(x)＝2x2
D．f(x)＝
2．有下列说法：①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数．
其中正确的有( )
A.0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)＞f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C.
D.
4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A.f(3)＜f(－4)＜f(－π)
B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
D．f(3)＜f(－π)＜f(－4)
5．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是__________．
6．函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
7．已知f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．
8．证明函数y＝x＋在区间(0,3]上是减函数．
9．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．
分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．
10．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，y=f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y=f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需证明)
参考答案
1.
答案：B
2.
解析：①中没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；②y＝x2在x≥0时是增函数，在x＜0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；③y＝－在整个定义域内不具有单调性，故不正确．
答案：A
3.
解析：由已知得2x＜1，解得x＜.
答案：D
4.
解析：由于f(x)在R上的图象关于y轴对称，
因此f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)．
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由3＜π＜4，得f(3)＜f(π)＜f(4)，
即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
答案：D
5.
解析：由题意，知f(x)是R上的增函数，
又∵－3＞－π，∴f(－3)＞f(－π)．
答案：f(－3)＞f(－π)
6.
解析：当a＝0时，f(x)＝x，显然f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
当a≠0时，所以0＜a≤1.
综上所述，0≤a≤1.
答案：0≤a≤17.
解析：设x1，x2是(－2，＋∞)上的任意两个不相等的实数，且－2＜x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，(x1＋2)(x2＋2)＞0.
∴＞0.
又∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x2)－f(x1)＞0，∴2a－1＞0，即a＞.
即实数a的取值范围是.
答案：
8.
证明：任取0＜x1＜x2≤3，则有Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝y2－y1＝－
＝(x2－x1)－＝(x2－x1).
∵0＜x1＜x2≤3，
∴x2－x1＞0，＞1，即1－＜0.
∴Δy＝y2－y1＜0，
∴函数y＝x＋在(0,3]上是减函数．
9.
解：由题意可得
由①，得0＜a＜2，由②，得0＜a2＜2，∴0＜|a|＜.
∴－＜a＜，且a≠0.
由③，得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
∴或∴－2＜a＜1.
综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．
10.
解：(1)函数y＝x2－2x的单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；在对称轴两侧的单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0]，单调增区间是[0，＋∞)；对称轴是y轴，即直线x＝0；在对称轴两侧的单调性相反．(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如下图所示．
函数y＝f(x)的单调增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，单调性相反；区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，单调性相反．(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧的对称区间内的单调性相反．自我小测
1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )
A.(－∞，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－2，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )
A.4
B．－4
C．与m的取值有关
D．不存在
3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )
A.
B.
C．{9}
D．(－∞，9)
4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(－25)＜f(80)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A.(0,4]
B.
C.
D.
7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．
8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是__________．
9．若二次函数f(x)满足下列性质：
(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；
(2)图象关于x＝2对称；
(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．
请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．
10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.
(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；
(2)当实数k为何值时，图象经过原点？
(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.
(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．
(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．
参考答案
1.
解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．
答案：B
2.
解析：∵函数f(x)的图象开口向上，且对称轴x＝＞0，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝4.
答案：A
3.
解析：由题意，得Δ＝36－4×2m＜0，则m＞.
答案：B
4.
答案：D5.
解析：因为对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．
又因为11离2最近，80离2最远，所以f(11)最小，f(80)最大．
所以f(11)＜f(－25)＜f(80)．
答案：C
6.
解析：函数y＝x2－3x－4＝2－，作出图象如图所示：
由图象知对称轴为x＝，f(0)＝－4，f＝－，f(3)＝－4，
若函数在[0，m]上有最小值－，
所以m≥.
若函数在[0，m]上有最大值－4，因为f(0)＝f(3)＝－4，
所以m≤3.
综上可知，≤m≤3.
答案：C
7.
解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，
所以S△ABC＝×4×4＝8.
答案：88.
解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.
由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，
所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，
即m2－2m≤0，得0≤m≤2.
答案：[0,2]
9.
解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．
答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)
10.
解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．
(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．
(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则解得0＜k＜2.
11.
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.
(2)由(1)知f(x)＝
∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．
