自我小测
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
2．对于函数y＝f(x)，下列命题正确的个数为( )
①y是x的函数；
②对于不同的x值，y值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示．
A.1
B．2
C．3
D．4
下列各组函数表示同一函数的是( )
A.y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x2＋1与s＝t2＋1
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
4．若一系列函数的关系式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数关系式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A.10个
B．9个
C．8个
D．4个
5．若函数y＝f(x)的定义域为(3,7]，则函数g(x)＝f(4x－1)的定义域为__________．
6．函数y＝的值域为__________．
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(f(x))
则第三个表格空白处的三个数依次为：__________，__________，__________.
8．求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝.
9．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值；
(4)求f(x2)．
10．(1)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)；
(2)已知f(3x＋1)＝3x2－x＋1，求f(x)．
参考答案
1.
答案：C
2.
解析：不同的x值可对应同一个y值，如y＝x2；f(x)不一定是函数关系式，也可以是图象、表格等形式．
答案：B
3.
解析：对于A，函数y＝与y＝x＋3的定义域不同；
对于B，函数y＝－1与y＝x－1的对应法则不同；
对于C，虽然自变量不同，但不改变意义，是同一函数；
对于D，函数y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z的对应法则不同．
综上可知故选C.
答案：C
4.
答案：B
5.
答案：(1,2]
6.
解析：∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴0＜≤.
∴值域为.
答案：
7.
答案：3 2 1
8.
解：(1)y＝＝＝3＋，
∵≠0，∴y≠3.
∴函数的值域为{y|y∈R，且y≠3}．
(2)y＝＝1－，
∵x2＋1≥1，∴0＜≤2.
∴－1≤1－＜1.
∴函数的值域为[－1,1)．
9.
解：(1)使根式有意义的实数x的取值集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的取值集合是{x|x≠－2}．
故这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f＝＋＝＋＝＋.
(3)∵a＞0，a－1＞－1，∴f(a)，f(a－1)有意义．
∴f(a)＝＋，
f(a－1)＝＋＝＋.
∵x2≥0，∴f(x2)有意义．∴f(x2)＝＋.
10.
解：(1)凑配法：
∵f(＋1)＝x－2＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
∴f(x)＝x2－4x＋3.
又∵＋1≥1，
∴f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)换元法：
∵f(3x＋1)＝3x2－x＋1，
令3x＋1＝t，∴x＝.
∴f(t)＝32－＋1
＝＝t2－t＋∴f(x)＝x2－x＋.自我小测
1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应法则不是A到B的映射的是( )
2．设f：x→x2是集合A上的函数，如果其值域为{1}，则集合A不可能是( )
A.{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．
3．下列对应法则f为A到B的函数的是( )
A＝R，B＝{x|x＞1}，f：x→y＝|x－3|＋1
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
4．已知集合M＝{x|0≤x≤9}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看作从M到P的映射的是( )
A.f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
5．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为( )
A.－1
B．0
C．1
D．±1
6．已知点C(x，y)在映射f下的象为，则点(2,0)在f作用下的原象是( )
A.(0,2)
B．(2,0)
C．(－，1)
D．(，1)
7．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是__________．
8．设M＝{a，b}，N＝{－2,0,2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为__________．
9．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若8和14的原象分别是1和3，求5在f作用下的象．
10．已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求映射f：A→B的个数．11．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{2,5，a3，a4－2}，且a∈N＋，x∈A，y∈B，映射f：A→B使B中元素y＝3x－1与A中元素x对应，求a和k的值及集合A，B.
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
解析：在选项A，B中：集合A中的个别元素在对应法则作用下，在集合B中没有与之相对应的象；C中当x＜0时没有意义．选项D表示无论x取A中的何值，y都等于0.所以选D.
答案：D
4.
解析：首先对于四个对应关系，给一个x值都有唯一的y值与之对应，但需考查y值是否在集合P中，对于A，由0≤x≤9，得x∈[0,3] P，所以A是映射．
同理B，D都是映射，对于C，显然y＝x∈[0,9] P，所以C不是映射，故选C.
答案：C
5.
答案：C
6.
解析：由题意知解得
所以原象为(，1)，故选D.
答案：D
7.
解析：∵y＝－x2＋2x＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，∴y≤1.
∵k∈R，且在集合A中不存在原象，∴k＞1.
答案：k＞1
8.
解析：由f(a)≥f(b)知，f(a)＞f(b)或f(a)＝f(b)，当f(a)＞f(b)时，有或或共3种可能；
当f(a)＝f(b)时，有f(a)＝f(b)＝0,2，－2，共3种可能．
综上所述，满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个．
答案：6
9.
解：∵8和14的原象分别为1和3，
即解得
∴f：x→y＝3x＋5.
又∵x＝5，∴y＝3×5＋5＝20.
故5在f作用下的象为20.
10.
解：当A中的三个元素都对应0时，f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，有一个映射．
当A中的三个元素对应B中的两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，它们分别是
f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；
f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1；
f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1；
f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.
当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0；
f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0.
综上，满足条件的映射有7个．
11.
解：∵从集合A到B的映射为f：x→y＝3x－1，且A＝{1,2,3，k}，B＝{2,5，a3，a4－2}，∴a3＝8或a4－2＝8.
又∵a∈N＋，∴a3＝8，即a＝2.
∴a4－2＝14，∴3k－1＝14，∴k＝5.
故a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,5,8,14}．
