2016-2017学年高一数学人教B版必修1自我小测：2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

自我小测
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则(　　)．
A．f(0)＞0，f(2)＜0
B．f(0)·f(2)＜0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0
D．以上说法都不正确
2．函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数为(　　)．
A．0个　　
B．1个
C．2个　　
D．3个
3．函数y＝x与图象交点的横坐标的大致区间是(　　)．
A．(－1,0)　　
B．(0,1)
C．(1,2)　　
D．(2,3)
4．如图所示，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)．
5．设函数又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是________．
6．某方程有一个无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.
7．证明：函数
在区间(2,3)上至少有一个零点．
8．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
9.如图所示，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1
cm)
参考答案
1.
答案：D
解析：当f(x)＝|x－1|时，对于x∈(0,2)恒有f(x)≥0，故A、B、C排除．
2.
答案：D3.
答案：C
解析：依题意，令，问题转化为求该函数零点的大致区间：由于，，
∴f(1)f(2)＜0，且函数y＝f(x)的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y＝x与图象交点的横坐标的大致区间是(1,2)，故选C.
4.
答案：B
解析：只有变号零点才适合用二分法来求．
5.
答案：1，
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0得x＝1；当x＜0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，令g(x)＝0得.
∴g(x)的零点是1，.
6.
答案：5
解析：∵，得2n≥20，n＞4，
∴至少等分5次．
7.
解：∵函数的定义域为R，
∴函数f(x)的图象在区间(2,3)上是连续的．
又∵，，
∴f(2)·f(3)＜0.
∴函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点．
8.
解：(1)当m＋6＝0时，函数为y＝－14x－5显然有零点．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得.
∴当且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，.
(2)设x1、x2是函数的两个零点，则有
，.
∵，∴，即，解得m＝－3.
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0.
∴m＝－3.
9.
解析：(1)∵底面积为(15－2x)2，高为x，
又15－2x＞0且x＞0，∴0＜x＜7.5.
∴y＝(15－2x)2x，x∈(0,7.5)．(2)∵容积为150
cm3，
∴(15－2x)2·x＝150.
下面用二分法来求方程(15－2x)2x＝150在(0,7.5)内的近似解．
设f(x)＝(15－2x)2x－150，
∵f(0)·f(1)＜0，f(4)·f(5)＜0，
∴函数f(x)在[0,1]和[4,5]内各有一个零点，
即方程(15－2x)2·x＝150在[0,1]和[4,5]内各有一个解．
下面用二分法求出方程在(0,1)内的解，如下表：
端点或中点横坐标
计算端点或中点函数值
定区间
x1＝0.5
f(x1)＝－52
[0,1]
x2＝0.75
f(x2)＝－13.312
5
[0.5,1]
x3＝0.875
f(x3)＝3.617
2
[0.75,1]
x4＝0.812
5
f(x4)＝－4.651
4
[0.75,0.875]
中/华-21世纪教育网x5＝0.843
75
f(x5)＝－0.468
4
[0.812
5,0.875]
∵0.062
5＜0.1，
∴可在区间[0.812
5，0.875]内取0.843
75作为函数零点的近似值．同理可得，在区间[4,5]内的近似值为4.7.
即方程(15－2x)2·x＝150在[0,1]和[4,5]内解的近似值分别为0.8和4.7.
答：如果做成一个容积为150
cm3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8
cm或4.7
cm.