1.6 完全平方公式 学案（含答案）

1.6
完全平方公式
【学习目标】
1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算
2、了解（a+b） =a +2ab+b 的几何背景
3、完全平方公式的应用
【重点难点】
完全平方公式的推导及其应用
【学习过程】
情境导入
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些数学公式，若能根据已知条件的构造出表示数量关系的图形，则会使公式变得直观明朗，说明过程变得清新简捷，请欣赏小亮和小红的拼图：
如图2，有三种不同型号的卡片用1张A型、2张B型和1张C型纸片拼出了一个新图形，请根据这个图形的面积关系写一个你熟悉的乘法公式是
.
亲爱的同学，试一试通过拼图你能得出结论吗？读了本文，你一定会有一个满意的答案.
自主学习
一、乘法公式的结构特征
2．完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2的结构特征
这两个等式的左边分别是两个数的和和差的___的形式；等式的右边都有___项，其中，首、末两项分别是这两个数的____，且符号____，中间项是这两个数的乘积的__倍，且符号与等式左边连接这两个数的符号____．
二、乘法公式的推导　　
完全平方公式:（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2；
（a－b）2＝（a－b）（a－b）＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2．由此可见，理解乘法公式要与整式的乘法联系起来，这样才能将公式理解得深、记得准、记得牢.一旦把公式忘了，自己也可以把公式推导出来．
导学解疑：
一、展示点拨，归纳新知：
二、典例分析
(a+b)2与a2+b2有什么区别
三、巩固练习
1、有如下运算：
①(2a-3b)2＝4
a2-9b2；
②(a+2
b)2＝a2+2ab+4b2；
③=；
④(0.3a-0.2b)=．
其中正确的有
(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2、运用乘法公式计算.
3、某农场为了鼓励小学生集体到农场去劳动，许诺学生到农场劳动后，每人得到的苹果数将等于参加劳动的人数，第一天去农场劳动的有x人，第二天去了y人，第三天去了(x+y)人，第四天去了(x+2y)人，则在这四天中，农场送出去的苹果有多少个
成果检验
一、达标测评
1、用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是
(
)
A．(a+2)
2-1
B．(a+2)
2-5
C．(a+2)
2+4
D．(a+2)
2-9
2、先化简，再求值：(a+
b)
(a-b)
+(a+b)
2-2a2，其中a＝3，b＝-.
二、总结延伸:
1.
本节课的收获：先由学生总结，老师启发补充
2.
本节课渗透的数学思想方法
3.
关于这一课的知识你还有不明白的地方吗？如果有请提出来，让老师和同学帮你解决。
答案
自主学方；三；平方；为正；
2.
相同
典例分析
(1)读法不同：(a+b)2读作“a与b两数的和的平方”；
a2+b2读作“a与b两数的平方和”．
(2)运算顺序不同：(a+b)2是先求和然后再平方，而a2+b2是先平方再求和。
(3)几何意义不同：如图1-12所示，大正方形的面积是
(a+b)2，而图中阴影部分的面积是a2+b2．
(4)项数不同：(a+b)2是二项式的千方，它的展开式是a2+2ab+b2，是一个二次三项式；a2+b2是二次二项式，有a2+b2＝(a+b)2-2ab．
(5)只有当a＝0或b＝0时，才有a2+b2＝(a+b)2．
巩固练习
1、分析
本题需利用完全平方公式进行判断，要掌握完全平方公式的特征．完全平方公式的右端是三项而不是两项，由此可断定①式不正确．由公式的符号特征(右边“乘积项”与左边表示两数和还是两数差的符号一致)断定④式中含ab的项的系数应为“-”，而不能为“+”，从而断定④式不正确．计算(a+2b)
2的结果为a2+4ab+4
b2，可见②式也不对．③式是正确的．故选B．
【解题策略】
解这类题目要特别注意利用完全平方公式的特征．对于上面第④式，利用公式的符号特征，其不正确可谓一目了然，这比按公式展开计算要快得多．
2、方法1：同时利用公式(a+b)2＝a2+2ab+b2与公式(a-b)2＝a2-2ab+b2把两个括号展开，然后合并同类项．方法2：从整体上观察题目，能发现符合a2-b2的形式，若由此联想到平方差公式，则可以逆用平方差公式解决此题．
解法l：
=+2··5+25-
=+5
x
+25-+5
x
-25=10x
解法2：
=
=
=(5+5)=10x.
3、分析
每人得到的苹果数相当于人数，当第一天去x人时，每人得苹果x个，共得苹果x2个；第二天去了y人，共得苹果y2个；第三天去了(x+
y)人，共得苹果(x+
y)2个；第四天去了(x+2y)人，共得苹果(x+2
y)2个．
解：四天中农场共送出去苹果：
x2+
y2+(
x+
y)2+(
x+2y)2
＝x2+
y2+
x2+2
xy+
y2+
x2+4
xy+4
y2
＝3
x2+6
xy+6y2
(个)．
达标测评
1、分析
变形后的式子整理的结果应与原式相等．故选D．
2、分析
根据平方差公式、完全平方公式将所求代数式进行化简．
解：原式＝a2-
b2+(
a2+2ab+b2)-2a2＝2ab，
当a＝3，b＝-时，原式＝2×3×＝-2．