1.5 平方差公式 学案（含答案）

1.5
平方差公式
【学习目标】
会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算
【重点难点】
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算
【学习过程】
情境导入
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些数学公式，若能根据已知条件的构造出表示数量关系的图形，则会使公式变得直观明朗，说明过程变得清新简捷，请欣赏小亮和小红的拼图：
如图1，在边长为a的正方形纸片中剪去一个长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是
（用字母表示）.
自主学习
一、乘法公式的结构特征
1．平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2的结构特征
等式的左边是两个数的______乘以这两个数的____的形式；等式的右边是这两个数的_____的形式．
二、乘法公式的推导　　
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2.
导学解疑：
一、展示点拨，归纳新知：
二、典例分析
平方差公式的变化形式．
在运用平方差公式时，要注意是否符合(a+b)(a-b)＝a2-
b2的模型，要紧扣“相同项”和“互为相反数”这两点，时刻观察运用平方差公式的各种变形，那么平方差公式常有哪几种变形呢
三、巩固练习
1、计算．
(1)；
(2)（-3x-2y）(3x-2y).
2、
用平方差公式计算下列各题．
(1)103×97；
(2)118×122．
3、化简下列各式．
(1)(1+xy2)
(1-xy2)
(-1-x2y4)；
(2)(a+b+c)(a+b-c)．
成果检验
一、达标测评
1、当x＝3时，y=1时代数式(x+y)(
x-y)+
y2的值是
.
2、先化简，再求值：(a-
2)(
a
+2)-
a
(a-2)，其中a＝-1．
二、总结延伸:
1.
本节课的收获：先由学生总结，老师启发补充
2.
本节课渗透的数学思想方法
3.
关于这一课的知识你还有不明白的地方吗？如果有请提出来，让老师和同学帮你解决。
答案
自主学习
和；差；平方差；
典例分析
解析
(1)位置变化：(b+a)(-b+a)＝a2-
b2．
(2)符号变化：(-a-b)(a-b)＝b2-
a2．
(3)系数变化：.
(4)指数变化：(a2+
b2)(
a2-
b2)＝(a2)
2-(
b2)
2．
(5)增项变化：(a-b-c)(a-b+c)＝(a-b)
2-
c2．
(6)增因式变化：(a+
b)(
a-
b)(-
a-
b)(
-a+
b)＝(a2-
b2)
2．
(7)连用公式变化：(a-b)(a+b)(
a2+
b2)(
a4+
b4)＝a8-
b8．
(8)逆用公式变化：(a-b+c-d)
2-(a+b-c+d)
2＝2
a
(-2b+2
c-2
d)．
只有注意到这些变形，才能使整式乘法运算符合平方差公式，给运算带来方便．
典例分析
1、分析
(1)中完全相同的项是，与-是只有符号不同的项，符合平方差公式的结构特征．(2)中-2y是完全相同的项，-3x与3x是只有符号不同的项．
解：(1)
=
=
=.
(2)(-3x-2y）(3x-2y)
＝(-2y
+3x）(-2y
-3x)
＝(-2y)
2-(3
x)
2
=4
y2-9
x2．
规律·方法
（1）学习平方差公式，必须把握其特征，但不要对其特征搞机械记忆，本题“分析”中的用词，就与前面讲解中的语言有所差异．
（2）这个公式的特征还可以这样概括：一项相同，另一项互为相反数的两个二项式的积，等于相同项的平方与互为相反数的项的平方的差．
2、分析
把103改写成(100+3)，把97改写成(100-3)；把118改写成(120-2)，把122改写成(120+2).即必须写成(a+b)(a-b)的形式，才能应用平方差公式．
解：(1)103×97＝(100+3)(100-3)＝1002-32＝9991．
(2)118×122＝(120-2)(120+2)＝1202-22＝14396．
【解题策略】解此题的关键是把题中的两个因数写成相同两数的和与差的积的形式，即(a+b)(a-b)的形式，再运用平方差公式计算．这样使计算简便．3、分析
本题是单项式和多项式的混合乘法，应用整式的乘法法则计算后合并同类项，最后求值．
解：原式＝x3+
x2-3x-
x3
+x2-2(2
x2-
x-1)+2
x2＝-
x+2．
当x＝100时，原式＝-100+2＝-98．
【解题策略】
括号前面带“-”号的因式与括号内各项相乘时，要注意括号内的各项都要变号．
3、解：(1)原式＝[1-(
xy2)2](-1-
x2y4)＝(x2y4-1)
(1+x2y4)＝(x2y4)
2-1＝x4y8-1．
(2)原式＝[(a+b)+c]
[(a+b)-c]＝(a+b)
2-c2＝(a+b)(a+b)-c2
＝a2+ab+ab+b2-c2＝a2+2ab+b2-
c2．
【解题策略】掌握平方差公式的特征．(1)两次运用平方差公式，注意公式中a，b的确定，两因式中相同的项作为公式中的a，互为相反数的项作为公式中的b，再套用公式计算．(2)的两因式中有三项，则可把相同的项合并在一起作为公式中的a，互为相反的项合并在一起作为公式中的b，再运用平方差公式计算．
达标测评
1、分析
本题考查平方差公式在整式运算中的运用，(x+y)(
x-y)+
y2＝x2-
y2+y2=x2=32=9.故填9．
2、分析
本题考查利用平方差公式及整式乘法法则将代数式化简、求值．
解：(a-
2)(
a
+2)-
a
(a-2)＝a2-4-
a2+2
a＝2
a-4，
当a＝-l时，原式＝2×(-1)-4＝-6．
【解题策略】
注意括号前面的“-”号．