自我小测
1．△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )．
A．3
B．6
C．9
D．不确定
2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为( )．
A．13
B．
C．
D．
3．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，则∠APB等于( )．
A．60°
B．120°
C．135°
D．150°
4．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有________个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
5．已知：图中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.
6．如图，已知ABCD中，，S△AFD＝16
cm2，则S△CEF＝__________，ABCD的面积为__________．
7．如图，已知∠ACB＝∠ADE，∠ABC＝∠AED．求证：∠ABE＝∠ACD．
8．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
求证：△ABC∽△FCD．
参考答案
1.
答案：A
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴.
∴.∴A′B′＝3.
2.
答案：C
解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.
所以∠ABE＋∠BAH＝90°.
因为∠BAH＋∠DAH＝90°，
所以∠ABE＝∠DAH.因为∠BAE＝∠ADH＝90°，
所以△ABE∽△DAH.
所以.
因为AB＝12，，AD＝10，
所以.
所以.所以.
3.
答案：B
解析：∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝(∠PBD＋∠DPB)＋60°＝∠CDP＋60°＝60°＋60°＝120°.4.
答案：C
解析：如图所示，DE1∥BC，
则△ADE1∽△ABC；
在AC上若存在点E2，使∠AE2D＝∠B，又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有两个．
5.
答案：6
解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.
易证△CDF∽△CAB，
所以，即，AC＝6.
6.
答案：4
cm2 48
cm2
解析：由题意得，△CEF∽△DAF，相似比为1∶2，
则S△CEF∶S△DAF＝1∶4.
所以S△CEF＝4
cm2.
又由题意可得，△CEF∽△BEA，相似比为1∶3，
则S△CEF∶S△BEA＝1∶9.所以S△ABE＝36
cm2.
所以S△ABE＋S△AFD－S△CEF＝36＋16－4＝48(cm2)，
即ABCD的面积为48
cm2.
7.
证明：∵∠ABC＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴△ABC∽△AED．
∴，∠BAC＝∠EAD．
∴.
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD．
∴△ABE∽△ACD．(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)∴∠ABE＝∠ACD．
8.
证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，
所以△BEC为等腰三角形．所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB．所以△ABC∽△FCD．自我小测
1．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果，那么FC是BF的( )．
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
2．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8
cm，高和上底相等，那么梯形中位线长为( )．
A．
B．10
cm
C．
D．
3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，E、D、F分别是三边中点，则四边形EDHF是( )．
A．一般梯形
B．等腰梯形
C．直角梯形
D．一般四边形
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E、F分别为对角线BD、AC的中点，则EF的长是__________．
5．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2
cm，则AC＝______；若BD＝10
cm，则EF＝______.
6．已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，则BF＝__________.
7．如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：.
9.用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图所示，想一想，为什么？
参考答案
1.
答案：A
解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点．
即BF＝FD．
又，∴.
∴.
2．答案：C
解析：易求得梯形的高和上底均为4
cm，
则下底为，
故梯形中位线长为.3.
答案：B
解析：根据题图，由E、F、D分别是三边中点，知EF∥BC，ED∥AC，．
而HF是Rt△AHC斜边的中线，∴，即ED＝HF.
∴四边形EDHF为等腰梯形．
4.
答案：2
解析：如图，延长EF和FE，交AB于G，交CD于H，则GEAD，FHAD，
∴GE＝FH＝1.
又由平行线等分线段定理，知GH为梯形ABCD的中位线，则GH＝(AD＋BC)＝4.
∴EF＝2.
5.
答案：6
cm 5
cm
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，可得F是AD的中点，EG＝AD＝FD＝2(cm)，结合CD＝AD，可以得到F、D是AC的三等分点，则AC＝3EG＝6(cm)．由EF∥BD，可得EF等于BD的一半，即EF＝BD＝5(cm)．
6.
答案：FC
解析：根据D是AC的中点，利用平行线等分线段定理的推论，得到E是AB的中点，再利用EF∥AC即可得到F是BC的中点．
7.
证明：连接AE交DC于O，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB．
在△EAB中，OF∥AB，又O是AE的中点，
∴F是EB的中点．∴EF＝BF.
8.
证明：如图，过点D作DE∥BN，交AC于E，
∵D为BC的中点，∴NE＝EC．
又M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE＝EC．
∴.
9.
分析：本题可以利用平行线等分线段定理的推论2来解决．
解：∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵AB⊥EF，∴AE＝AF.
∴由折叠过程可知∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.
在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°.∴△AEF为等边三角形．
