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《简单的轴对称图形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）探索线段垂直平分线的性质，并利用性质解决问题。
（2）会利用尺规作图作角平分线。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索轴对称的性质。
【教学难点】
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在前两节课的学习中，我们学习了两 ( http: / / www.21cnjy.com )种简单的轴对称图形：等腰三角形和线段，并通过亲自动手，探索了这两种轴对称图形的性质。现在，大家一起来回忆一下这两张轴对称图形都有什么样的性质吧？21教育网
（学生回答）
等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】在性质的学习过程中，我们也练习了如 ( http: / / www.21cnjy.com )何正确的利用这些性质。今天，我们就来学习一下另一个简单的轴对称图形——角。究竟角都具有哪些性质呢？和之前的学习方法一样，我们一起来动手探究一下吧。21cnjy.com
二、新课教学
1．角平分线的性质
【过渡】现在，请大家拿出一张纸，任意画出一个角，并将其标为∠AOB，然后，我们用剪刀将其剪下。
【过渡】我们首先来思考第一个问题，角是轴对称图形吗？
根据轴对称图形的定义，以及我们前两节课的学习，大家知道该如何给出这个答案吗？
（学生回答）
【过渡】没错，就是对折。现在，请大家将手中的角进行对折，使角的两边重合，大家能得到什么样的结论呢？
【过渡】角是轴对称图形。
【过渡】现在，我们把刚刚的折痕画出来，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )发现，折痕将角分成了两个小角，我们将这两个角标为∠1和∠2，根据刚刚的对折，大家能说出这两个角的关系吗？21·cn·jy·com
（学生回答）
【过渡】根据刚刚的对折，我们知道，这两个角是重合的，也就是说∠1=∠2。因此，我们知道，对于一个角而言，对称轴所在的直线是角平分线。2·1·c·n·j·y
【过渡】通过刚刚的动手，我们可以得出这样的结论：
角是轴对称图形；
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
【过渡】接下来，我们继续进行探究。
在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与角两边垂直的直线，垂足分别为D、E，再次对折，线段CD与CE能重合吗？21·世纪*教育网
【过渡】通过对折，我们发现，CD=CE。
如果改变C的位置，还能得到同样的结论吗？
（学生动手，回答）
【过渡】通过刚刚的动手，我们得到关于角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
【过渡】那么在实际问题中，这个性质该如何运用呢？我们一起来看一个例题。
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB．垂足为E．求证：BE=DE=CD。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】要解决这个问题，我们首先想到三角形全等及角平分线。而题目中给出的有角平分线，因此，我们利用角平分线的性质来解决问题。21*cnjy*com
根据角平分线的性质，我们能够轻易的的得到CD=DE。
又由题意得到△ABC是等腰三角形，得到∠B=45°，进而得到△BDE是等腰三角形，得到BE=DE。由此，题目结论得以证明。【来源：21cnj*y.co*m】
课件展示证明过程。
【过渡】在学习线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的时候，我们学习了对于一个三角形而言，三条边对应的中垂线交于一点，那么对于角平分线来说，是否也交于一点呢？我们来看下边的问题。
如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
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（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
【过渡】大家一起动手来解决一下这个问题吧。
课件展示解题过程。
【过渡】从刚刚的问题中，我们学到了三角形三条角平分线相交于一点。
同时，对于第二个问题，我们也知道了，角平分线的判定作用：通过线段相等证明是否是角平分线。
【过渡】既然我们学习了角平分线的性质，那么我们利用尺规作图该如何作出一个角的平分线呢？
讲解课本例题。
【过渡】这节课呢，我们主要学习了角平分线的性质，大家来总结一下。
【过渡】现在，我们来学习一下如何利用角平分线解决实际问题。
如图，两条公路OA、OB相交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com )在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】结合角平分线的性质，要到两 ( http: / / www.21cnjy.com )条公路的距离相等，就需要作出角平分线，而到两点的距离相等，我们自然想到线段的垂直平分线，因此，作出这两条线的交点，就是我们需要的点。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】我们再来看一下课本想一想的内容。
如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
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【过渡】分析题目，我们看到有角平分线，同时又有两个垂直，自然根据角平分线的性质，得到DE=DC。
这个问题也给我们一定的启示。在解决问题时，若出现角平分线，可以考虑添加适当的辅助线，利用角平分线的性质。【来源：21·世纪·教育·网】
【学以致用】1、如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ D ）2-1-c-n-j-y
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A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ B ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．5 C．6 D．4
3、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=∠C，ED⊥AC于点D，且DE=BE，求∠AED的度数。【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵∠B=90°，∠BAC=∠C，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵DE=BE，∠B=90°，ED⊥AC，
∴∠BAE=∠DAE=22.5°，又ED⊥AC，
∴∠AED=67.5°。
4、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点．若AB+AC=18，S△ABC=36，求DF的长。www-2-1-cnjy-com
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解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点，
∴DF=DE，
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，
∴ ×AB×DF+ ×AC×DE=36，
又AB+AC=18，
∴DF=DE=4。
5、如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD，Q是OP上一点，QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，求证：QE=QF。21世纪教育网版权所有
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证明：∵PC=PD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OP是∠AOB的平分线，又QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，
∴QE=QF．
6、已知△ABC，请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等，并证明你的结论．
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（1）如图①，已知内角∠ABC，∠ACB的平分线交于点P；
（2）如图②，已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P；
（3）如图③，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP，CP交于点P。
解：（1）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（2）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是外角∠ACE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（3）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内外角∠DBC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是外角∠BCE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等。
【板书设计】
1、角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学反思】
通过大量的动手操作，力图让学生用自 ( http: / / www.21cnjy.com )己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造，使学生通过大量的感性经验形成表象，进一步体会轴对称的含义。通过动手探索，掌握角平分线的性质，感受对称图形的内在美，并通过大量的练习，巩固学生对于角平分线性质的掌握。
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《简单的轴对称图形》练习
一、选择——基础知识运用
1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条中线的交点
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）21教育网
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A．mn B．5mn C．7mn D．6mn21cnjy.com
3．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（ ）21·cn·jy·com
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A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
4．已知：△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，下列选项中不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．点O到△ABC的三顶点的距离一定相等
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O一定在△ABC的内部
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4 B．5 C．6 D．7
二、解答——知识提高运用
6．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离。
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7．已知，如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．若∠1=∠2，求证：OG=OE。
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8．如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
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9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长。
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10．已知：如图，PM⊥BD于BD中点M，PN⊥AD于AD中点N，PM=PN，试说明：OB=OA。
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11．已知如图，∠BAC=∠BPC，AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，求的值。
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故选：A。
2．【答案】A
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
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∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A。
3．【答案】C
【解析】∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.8，
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4。
故选C。
4．【答案】A
【解析】点O到△ABC的三顶点的距离不一定相等，A不正确；
∠C的平分线一定经过点O，B正确；
点O到△ABC的三边距离一定相等，C正确；
点O一定在△ABC的内部，D正确，
故选：A。
5．【答案】D
【解析】∵AC=BC，BC=7，
∴AC=7，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC＝DE
AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC=7，
故选：D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵BD：DC=9：7，BC=64，
∴CD= ×64=28，
∵AD为角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=28。
答：D到AB的距离为28。
7．【答案】∵∠1=∠2，OD⊥AD，OH⊥AE，
∴OD=OH，
在△DOG和△HOE中，
∠DOG＝∠HOE
OD＝OH
∠ODG＝∠OHE＝90°，
∴△DOG≌△HOE，
∴OG=OE。
8．【答案】（1）∵BM平分∠ABC，
∴点P到AB，BC两边的距离相等，
∵CN平分∠ACB，
∴点P到AC，BC两边的距离相等，
∴点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）∵点P到AB，CA两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
这说明三角形三条角平分线相交于一点。
9．【答案】∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°。
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°。
∴AD=2CD，AD=BD。
∴BC=3CD。
∴CD=BC=×6＝2。
∴DC的长为2cm。
10．【答案】在Rt△PMD和Rt△PND中，
PM＝PN
PD＝PD，
∴Rt△PMD≌Rt△PND，
∴∠BDO=∠ADO，DM=DN，又DM=BD，DN=DA，
∴DB=DA，
在△BOD和△AOD中，
DB＝DA
∠BDO＝∠ADO
DO＝DO，
∴△BOD≌△AOD，
∴OB=OA。
11．【答案】∵AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，
∴PM=PN，
∵∠BAC=∠BPC，
∴∠NBP=∠MCP，
在△NBP和△MCP中，
∠NBP＝∠MCP
∠BNP＝∠CMP
PN＝PM，
∴△NBP≌△MCP，
∴NB=CM，
∴AC+AB=2CM，
∴=2。
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北师大版 七年级下册
5.3 简单的轴对称图形
导入新课
等腰三角形的性质
线段垂直平分线的性质
等边对等角
三线合一
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
新课学习
画一个角，然后将其剪下来,标为∠AOB。
动动手
A
O
B
新课学习
（1）将∠AOB对折，你发现了什么？
A
O
B
角是轴对称图形。
（2）你还发现了什么？
∠1=∠2
1
2
角平分线所在的直线是角的对称轴。
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
新课学习
角是轴对称图形
结论：
新课学习
（3）在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与角两边垂直的直线，垂足分别为D、E，再次对折，线段CD与CE能重合吗？
A
O
B
CD=CE
C
D
E
改变C的位置，线段CD和CE还相等吗？
依然有CD=CE
新课学习
5
C
Ｄ
E
O
A
B
几何表达：
∵OC平分∠ AOB，
CD⊥OB, CE⊥OA
∴CD=CE
角平分线上的点到角两边的距离相等.
结论：
角平分线的性质作用通过角平分线证明线段相等
新课学习
1
2
3
4
5
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB．垂足为E．求证：BE=DE=CD．
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
又DE⊥AB，
∴ED=EB，
∴BE=DE=CD．
角平分线的性质
等腰三角形的性质
新课学习
1
2
3
4
5
如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
解：（1）∵BM平分∠ABC，
∴点P到AB，BC两边的距离相等，
∵CN平分∠ACB，
∴点P到AC，BC两边的距离相等，
∴点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
新课学习
1
2
3
4
5
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
解：（2）∵点P到AB，CA两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
这说明三角形三条角平分线相交于一点。
角平分线的判定作用：通过线段相等证明是否是角平分线。
新课学习
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线OC即为所求．
新课学习
如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。
解：作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求。
新课学习
如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
解：∵BD是∠ABC的平分线，
且DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=DC
角平分线的性质
课堂小结
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
学以致用
1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
D
解析：根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点
学以致用
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．5 C．6 D．4
B
解析：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，又AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=30°，∴CD= AD，又AD=10，∴CD=5，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=5，
故选：B。
有角平分线存在时，通常有作垂
直线，利用角平分线的性质。
学以致用
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=∠C，ED⊥AC于点D，且DE=BE，求∠AED的度数。
学以致用
解析：∵∠B=90°，∠BAC=∠C，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵DE=BE，∠B=90°，ED⊥AC，
∴∠BAE=∠DAE=22.5°，又ED⊥AC，
∴∠AED=67.5°。
学以致用
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点．若AB+AC=18，S△ABC=36，求DF的长。
学以致用
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点，
∴DF=DE，
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，
∴ ×AB×DF+ ×AC×DE=36，
又AB+AC=18，
∴DF=DE=4。
学以致用
5.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD，Q是OP上一点，QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，求证：QE=QF。
学以致用
证明：∵PC=PD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OP是∠AOB的平分线，又QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，
∴QE=QF．
学以致用
6.已知△ABC，请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等，并证明你的结论．
（1）如图①，已知内角∠ABC，∠ACB的平分线交于点P；
（2）如图②，已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P；
（3）如图③，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP，CP交于点P。
学以致用
解：（1）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
学以致用
（2）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是外角∠ACE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
学以致用
（3）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内外角∠DBC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是外角∠BCE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等。
