北京市2017年中考专题复习资料--圆的有关计算

圆的有关计算
课标解读
考试内容
考
试
要
求
考查频度
A
B
C
点和圆的
位置关系
了解点和圆的位置关系
尺规作图(利用基本作图完成)：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题
★
直线和圆的位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念；能利用切线的判定与性质解决有关简单问题；能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题
运用切线的有关内容解决有关问题
★★★★★
知识要点
1.点和圆的位置关系
若圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外
；点在圆上
；点在圆内
.
2.直线和圆的位置关系
如果圆的半径是r，圆心到直线l的距离是d，那么直线l和⊙O相交
；直线l和⊙O相切
；直线l和⊙O相离
.
3.圆的切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有
公共点时，这条直线叫做圆的切线.
(2)切线的性质：圆的切线
于过切点的半径.
(3)判定：①和圆有
公共点的直线是圆的切线；
②圆心到直线的距离等于圆的
，那么这条直线是圆的切线(作垂直证半径)；
③经过半径外端并且
于这条半径的直线是圆的切线(作半径证垂直).
(4)切线长:①切线的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
，这点和圆心的连线
两条切线的夹角.
4.确定圆的条件：
的三个点确定一个圆.
5.尺规作图(利用基本作图完成)：如图1-12-20，过不在同一直线上的三点作圆.
已知：不在同一条直线上的三个点A，B，C.
求作：圆O，使它经过点A，B，C.
图1-12-20
典例诠释
考点一
确定圆的条件
例1
如图1-12-21，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(
)
图1-12-21
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
【答案】
B
【名师点评】
此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法，即作任意两条线段的垂直平分线，交点即为此圆的圆心.
考点二
点、直线和圆的位置关系
例2
在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(
)
A.与x轴相交，与y轴相切
B.与x轴相离，与y轴相交
C.与x轴相切，与y轴相交
D.与x轴相切，与y轴相离
【答案】
C
【名师点评】
此题要能画出图形，结合图形来判断直线和圆的位置关系，画图是解题关键.
考点三
圆的切线的性质与判定
例3
(2016·海淀一模)如图1-12-22，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=3，求AF的长.
图1-12-22
(1)【证明】
如图1-12-23，连接OD.
图1-12-23
∵
BC为⊙O的切线，
∴
∠CBO=90°.
∵
AO平分∠BAD，
∴
∠1=∠2.
∵
OA=OB=OD，∴
∠1=∠4=∠2=∠5，
∴
∠BOC=∠DOC,∴
△BOC≌△DOC，
∴
∠CBO=∠CDO=90°，
∴
CD为⊙O的切线.
(2)【解】
∵
AE=DE，∴
=,∴
∠3=∠4.
∵
∠1=∠2=∠4，∴
∠1=∠2=∠3.
∵
BE为⊙O的直径，
∴
∠BAE=90°,∴
∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴
∠AFE=90°.
在Rt△AFE中，∵
AE=3，∠3=30°，
∴
AF=.
【名师点评】
(1)要证明CD是⊙O的切线，连接半径OD，证明∠ODC=90°，结合角平分线和等腰三角形的知识，证明△BOC≌△DOC即可.
(2)利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°.又由BE为⊙O直径，可知∠BAE＝90°，即而∠BAF=60°，故∠AFE=90°，在△AFE中，AF可解.
考点四
切线长定理的应用
例4
如图1-12-24,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对劣弧的长度为(
)
图1-12-24
A.6π
B.5π
C.3π
D.2π
【答案】
D
【名师点评】
此题考查切线的性质和四边形内角和定理，先求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算弧AB的长.
基础精练
1.(2016·昌平期末)已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是(
)
A.OP＞5
B.OP=5
C.0＜OP＜5
D.0≤OP＜5
【答案】
D
2.(2016·通州一模)如图1-12-25，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是(－2，3)，点C的坐标是(1，2)，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是(
)
图1-12-25
A.(0，0)
B.(－1，1)
C.(－1，0)
D.(－1，－1)
【答案】
B
3.(2016·西城期末)如图1-12-26，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为(
)
图1-12-26
A.12
B.
12
C.6
D.6
【答案】
C
4.(2016·东城期末)如图1-12-27，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=,则⊙O半径的长为
.
图1-12-27
【答案】
1
5.(2016·东城期末)阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小涵的主要作法如下：
老师说：“小涵的作法正确.”
请回答：小涵的作图依据是
.
【答案】
直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
6.(2016·朝阳一模)如图1-12-30，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DC⊥AB于点C.
(1)求证：DB平分∠PDC；
(2)若DC=6，tan∠P=，求BC的长.
图1-12-30
(1)【证明】
如图1-12-31，连接OD.
图1-12-31
∵
DP是⊙O的切线，
∴
OD⊥DP，∴
∠ODP=90°，
∴
∠ODB+∠BDP=90°.
又∵
DC⊥OB，
∴
∠DCB=90°，
∴
∠BDC+∠OBD=90°.
∵
OD=OB，∴
∠ODB=∠OBD,
∴
∠OBD+∠BDP=90°,
∴
∠BDP=∠BDC,∴
DB平分∠PDC.
(2)【解】
如图1-12-32，过点B作BE⊥DP于点E.
图1-12-32
∵
∠BDP=∠BDC，BC⊥DC，
∴
BC=BE.
∵
DC=6，tan∠P=，
∴
DP=10，PC=8.
设BC=x，则BE=x，BP=8－x.
∵
△PEB∽△PCD，∴
=,
∴
x=3,∴
BC=3.
7.(2016·东城一模)如图1-12-33，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB.
(1)求证：PB是⊙O的切线.
(2)若PB=3，DB=4，求DE的长.
图1-12-33
(1)【证明】
∵
∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴
∠PBO=∠E=90°，
∴
PB是⊙O的切线.
(2)【解】
∵
PB=3，DB=4，
∴
PD=5.
设⊙O的半径的长是r，
如图1-12-34，连接OC.
图1-12-34
∵
PD切⊙O于点C，
∴
OC⊥PD.
∴
.
∴
.∴
r=.
可求出PO=.
易证△DEO∽△PBO,∴
=.
解得DE=.
8.(2016·石景山一模)如图1-12-35，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F.
(1)求证：EF⊥AB.
(2)若∠C=30°，EF=，求EB的长.
图1-12-35
(1)【证明】
如图1-12-36,连接OD，AD，
图1-12-36
∵
AC为⊙O的直径，
∴
∠ADC=90°.
又∵
AB=AC，
∴
CD=DB.又CO=AO，∴
OD∥AB.
∵
FD是⊙O的切线，
∴
OD⊥DF,∴
EF⊥AB.
(2)【解】
∵
∠C=30°，
∴
∠AOD=60°.
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，∴
∠F=30°.
∴
OA=OD=OF.
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°，
∵
EF=，∴
AE=.
∵
OD∥AB，OA=OC=AF，
∴
OD=2AE=2，AB=2OD=4.
∴
EB=AB－AE=3.
9.(2016·丰台一模)如图1-12-37，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
图1-12-37
(1)求证：∠CBF=∠CAB；
(2)连接BD，AE交于点H，若AB=5，tan∠CBF=，求BH的长.
(1)【证明】
连接AE，如图1-12-38.
图1-12-38
∵
AB是⊙O的直径，
∴
∠AEB=90°.
∵
AB=AC，
∴
∠EAB=∠CAB.
∵
BF是⊙O的切线，
∴
∠ABE+∠CBF=90°.
∵
∠ABE+∠EAB=90°.
∴
∠CBF=∠EAB,∴
∠CBF=∠CAB.
(2)【解】
如图1-12-39.
图1-12-39
∵
tan∠EAB=tan∠CBF=，
又∵
AB=5，
∴
在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=.
∵
=，
∴
∠EBD=∠EAC=∠EAB.
∴
tan∠EBD=tan∠EAB=,∴
=,
∴
EH=.∴
BH==.
10.(2016·西城一模)如图1-12-40，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D.点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF.
(1)求证：CF⊥AB；
(2)若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长.
图1-12-40
(1)【证明】
连接BD，如图1-12-41.
图1-12-41
∵
AB是⊙O的直径，
∴
∠ADB=90°.
∴
∠DAB+∠1=90°.
∵
∠1=∠2，∠2＝∠3，
∴
∠1＝∠3.∴
∠DAB+∠3=90°.
∴
∠CFA=180°－(∠DAB+∠3)=90°.
∴
CF⊥AB.
(2)【解】
连接OE，如图1-12-42.
图1-12-42
∵
∠ADB=90°，∴
∠CDB=180°－∠ADB=90°.
∵
在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，
∴
DB==8.
∵
∠1＝∠3，
∴
cos∠1=cos∠3=.
∵
在Rt△ABD中，cos∠1==，∴
AB=10.
∴
OA=OE=5，AD==6.
∵
CD=4，∴
AC=AD+CD=10.
∴
在Rt△ACF中，CF=AC·cos∠3=8.
∴
AF==6.∴
OF=AF－OA=1.
∴
在Rt△OEF中，EF==2.
11.(2016·西城二模)如图1-12-43，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°.
图1-12-43
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AB=AD，AC=2，tan∠ADC=3，求CD的长.
(1)【证明】
连接OA，OB，如图1-12-44.
图1-12-44
∵
∠ACB=45°，
∴
∠AOB=2∠ACB=90°.
∵
OA=OB，
∴
∠OAB=∠OBA=45°.
∵
∠BAE=45°，
∴
∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°.
∴
OA⊥AE.
∵
点A在⊙O上，∴
AE是⊙O的切线.
(2)【解】
过点A作AF⊥CD于点F，如图1-12-45.
图1-12-45
∵
AB=AD，∴
=.
∴
∠ACB=∠ACD=45°.
∵
AF⊥CD于点F，∴
∠AFC=∠AFD=90°.
∴
∠ACF=∠CAF=45°,∴
AF=CF.
∵
AC=2，
∴
在Rt△AFC中，AF=CF=AC·sin∠ACF=2.
∵
在Rt△AFD中，tan
D==3，
∴
DF=.
∴
CD=CF+DF=.
12.(2016·朝阳二模)如图1-12-46，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交
∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于点E.
图1-12-46
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，若∠EDA=30°，AE=1，求OE的长.
(1)【证明】
如图1-12-47,连接OD.
图1-12-47
∵
AD平分∠MAN，
∴
∠EAD=∠OAD.
∵
OA=OD，
∴
∠ODA=∠OAD.
∴
∠EAD=∠ODA.
∵
DE⊥AM于E，∴
∠AED=90°.
∴
∠EAD+∠EDA=90°.
∴
∠ODA+∠EDA=90°.
∴
OD⊥ED.∴
DE是⊙O的切线.
(2)【解】
如图1-12-48,
图1-12-48
∵
∠EDA=30°，
∴
∠ODA=60°.
∵
OA=OD，
∴
△ADO为等边三角形.
在Rt△AED中，AE=1，可得AD=2，ED=.
∴
OD=AD=2.
在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE=.
13.
(2016·东城二模)如图1-12-49，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证：∠ABC=2∠FAC；
(2)若AC=2，sin∠CAF=,求BE的长.
图1-12-49
(1)【证明】
如图1-12-50，连接BD.
图1-12-50
∵
AB是⊙O的直径，∴
∠ADB=90°.
∴
∠DAB+∠DBA=90°.
∵
BA=BC，∴
∠ABC=2∠DBA，AD=AC.
∵
AF为⊙O的切线，
∴
∠FAB=90°.
∴
∠FAC+∠CAB=90°.
∴
∠FAC=∠DBA.∴
∠ABC=2∠FAC.
(2)【解】
如图1-12-51,连接AE,
∴
∠AEB=∠AEC=90°.
图1-12-51
∵
sin∠CAF=，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE，
∴
sin∠ABD=sin∠CAF=.
∵
∠ADB=90°，AD=AC=,
∴
AB==10,∴
BC=BA=10.
∵
∠AEC=90°，AC=2，
∴
CE=AC·sin∠CAE=2.
∴
BE=BC－CE=10－2=8.
14.(2016·海淀二模)如图1-12-52，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD.
图1-12-52
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求BD的长.
(1)【证明】
如图1-12-53，连接OD.
∵
⊙O切BC于点D，∠C=90°，
∴
∠ODB=∠C=90°.
∴
OD∥AC.
∴
∠ODA=∠DAC.
∵
OA=OD，
∴
∠ODA=∠OAD.
∴
∠OAD=∠DAC.∴
AD平分∠BAC.
图1-12-53
(2)【解】
如图1-12-53,连接DE.
∵
AE为⊙O的直径，∴
∠ADE=90°.
∵
∠OAD=∠DAC，sin∠DAC=，
∴
sin∠EAD=sin∠OAD=.
∵
OA=5，∴
AE=10.
∴
AD=4.∴
CD=4，AC=8.
∵
OD∥AC，∴
△BOD∽△BAC.
∴
=.即=.∴
BD=.
15.(2016·石景山二模)如图1-12-54，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF.
(1)求证：DF=2CE；
(2)若BC=3，sin
B=，求线段BF的长.
图1-12-54
(1)【证明】
如图1-12-55，连接OE交DF于点G，
图1-12-55
∵
AC切⊙O于点E，
∴
∠CEO=90°.
又∵
BD为⊙O的直径，
∴
∠DFC=∠DFB=90°.
∵
∠C=90°，∴
四边形CEGF为矩形.
∴
CE=GF，∠EGF=90°.
∴
DG=GF.∴
DF=2CE.
(2)【解】
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵
BC=3，sin
B=，∴
AB=5.
设OE=x，∵
OE∥BC，∴
△AOE∽△ABC.
∴
=，∴
=，∴
x=.∴
BD=.
在Rt△BDF中，∠DFB=90°，∴
BF=.
真题演练
1.(2016·北京)如图1-12-56，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
(1)求证：AC∥DE；
(2)连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路.
图1-12-56
(1)【证明】
如图1-12-57,连接BC.
图1-12-57
∵
AB为⊙O的直径,∴
∠ACB=90°.
∵
DE为⊙O的切线,∴
∠EDO=90°.
∵
F是AC的中点且OA=OB,
∴
在△ABC中,FO是△ABC的一条中位线,
∴
FO∥BC∴
∠AFO=∠ACB=90°.
∴
∠AFO=∠EDO,∴
AC∥DE.
(2)【解法1】
思路:①如图1-12-58,连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
图1-12-58
②由∠EDO=90°,OA=AE,得AD=OA=DO,得△DAO为等边三角形.
③由OA=AE,AC∥DE得四边形ACDE为平行四边形.
④由△DAO为等边三角形,得DH=a.
⑤=AE·DH=.
求解过程:连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
在Rt△EDO中,∵
OA=AE,
∴
AD=OA=AE=a,∴
AD=OA=DO=a.
∴
△DAO为等边三角形,∴
DH=OA=a.
∵
AC∥DE,OA=AE,
∴
AF为△EOD的一条中位线,∴
ED=2AF.
∵
F为AC的中点,∴
AC=2AF.∴
AC=ED.
又∵
AC∥DE，∴
四边形ACDE为平行四边形.
=AE·DH=a×a=.
【解法2】
思路:①AF为△ODE的中位线.
②如图1-12-59,连接CD.△CDF≌△AOF(SAS).
图1-12-59
③在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=a.
④=.
求解过程:在△ODE中,AF∥DE,OA=AE,
∴
AF是△ODE的中位线,∴
OF=DF.
又∵
F为弦AC的中点,∴
AF=CF.
又∵
∠CFD和∠AFO互为对顶角,
∴
∠CFD=∠AFO.
在△CDF和△AOF中,
∴
△CDF≌△AOF(SAS).
∴
在⊙O中,OD=OA=AE=a,
∴
OE=2OD=2a.
在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=a.
∴
=OD·DE=.
【解法3】
思路:①如图1-12-60,连接AD,DC.
图1-12-60
②由直角三角形斜边中线的性质可得AD=a,进而可得△ADO是等边三角形.
③由∠AOD=60°可得ED=a,DF=a,AF=FC=a.
④=.
求解过程:由(1)可得∠EDO=90°,
又∵
OA=AE=a,∴
AD=OA=a.
又∵
OD=OA=a,∴
△ADO为等边三角形.
∴
∠AOD=60°.
又∵
AC∥DE,∴
∠DEO=∠CAO=30°.
∴
DE=a,OF=DF=a.∴
AF=FC=a.
∴
=DF·ED+DF·AF+DF·FC
=(ED+AF+FC)·DF=
·a=.
2.(2015·北京)如图1-12-61，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.
(1)求证：△ACD是等边三角形.
(2)连接OE，若DE=2，求OE的长.
图1-12-61
(1)【证明】
∵
AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴
AB⊥BM.
∵
CD∥BM，∴
CD⊥AB，∴
=.
∵
=,∴
==,
∴
AD=AC=CD，∴
△ACD是等边三角形.
(2)【解】
如图1-12-62，连接BD.
图1-12-62
∵
AB是⊙O的直径，∴
∠ADB=90°,∴
∠DAB+∠ABD=90°.
由(1)得△ACD是等边三角形，
∴
∠DAF=30°,∴
∠DBE＝∠DAB=30°.
在Rt△BDE中，∵
DE=2,∴
BE=2DE=4.
∴
BD===2.
在Rt△ADB中，∵
∠DAB=30°,
∴
AB=2BD=4,∴
OB=AB=2.
在Rt△BOE中，OE===2.
第三节
圆的有关计算
课标解读
考试内容
考
试
要
求
考查频度
A
B
C
多边形和圆
了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；了解三角形外心的概念；知道三角形的内切圆；了解三角形的内心；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
能利用圆内接四边形的对角互补解决有关简单问题；能利用正多边形解决有关简单问题；尺规作图(利用基本作图完成)：作三角形的外接圆、内切圆，作圆内接正方形和正六边形
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弧长、扇形
面积和圆锥
会计算圆的弧长和扇形的面积；会计算圆锥的侧面积和全面积
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题
★
知识要点
1.弧长公式：扇形面积公式：l=
(其中半径为r，弧所对的圆心角为n°).
2.扇形面积公式：=
=
(n是圆心角的度数，r是扇形的半径，l是扇形弧长).
3.圆锥的侧面积：=
=
(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径).
4.三角形的外接圆：
①经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆；这个三角形叫做圆的内接三角形；
②三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形
的交点，到三角形
的距离相等.
5.三角形的内切圆
①定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形；
②三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条
的交点，到
的距离相等.
6.圆内接四边形
①圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的
.
②圆内接四边形的对角
.
7.尺规作图：如图1-12-63，作三角形的外接圆、内切圆，作圆内接正方形和正六边形.
①作三角形的外接圆
已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆O.
图1-12-63
图1-12-64
②如图1-12-64，作三角形的内切圆.
已知：△ABC，求作：△ABC的内切圆O.
③如图1-12-65，作圆内接正方形.
已知：圆O，求作：圆O的内接正方形ABCD.
图1-12-65
图1-12-66
④如图1-12-66，作圆内接正六边形.
已知：圆O，求作：圆O的内接正六边形ABCDEF.
典例诠释
考点一
计算弧长、扇形面积
例1
如图1-12-67，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的长为(
)
图1-12-67
A.π
B.π
C.π
D.π
【答案】
A
【名师点评】
根据切线的性质，连接OB，OC，在△OBC中，可得∠BOA=60°，进而得到∠BOC=60°，再利用弧长公式计算劣弧的长.
考点二
圆锥的有关计算
例2
如图1-12-68，如果从半径为9
cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(
)
图1-12-68
A.6
cm
B.3
cm
C.8
cm
D.5
cm
【答案】
B
【名师点评】
此题先要根据弧长公式计算出圆锥底面圆半径的长，再利用勾股定理计算圆锥的高.
考点三
圆内接四边形及性质
例3
(2016·石景山一模)如图1-12-69，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为(
)
图1-12-69
A.45°
B.90°
C.100°
D.135°
【答案】
B
【名师点评】
根据圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的大小，再利用同弧的圆周角和圆心角的关系求出∠AOC的大小.
基础精练
1.(2016·昌平期末)如图1-12-70，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2,则阴影部分的面积为
.
图1-12-70
【答案】
π
2.(2016·朝阳期末)如图1-12-71，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
.
图1-12-71
【答案】
3.(2016·顺义二模)如图1-12-72，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD的度数是(
)
图1-12-72
A.70°
B.110°
C.120°
D.140°
【答案】
D
4.(2016·昌平二模)如图1-12-73，已知四个扇形的半径均为1，那么图中阴影部分面积的和是
.
图1-12-73
【答案】
π
5.(西城二模)一个扇形的半径长为5，且圆心角为72°，则此扇形的弧长为
.
【答案】
2π
6.(2016·朝阳一模)如图1-12-74，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为(
)
图1-12-74
A.2π
B.4π
C.6π
D.12π
【答案】
B
7.(怀柔二模)如图1-12-75，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF和6个半径为1米，圆心分别在正六边形ABCDEF的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F组合而成.现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为
.
图1-12-75
【答案】
2π
8.(2016·丰台期末)圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是
.
【答案】
6π
9.(门头沟二模)如图1-12-76，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么的长为(
)
A.6π
B.12π
C.2π
D.4π
图1-12-76
【答案】
D
10.(2016·朝阳一模)如图1-12-77，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，
∠A=50°，则∠BCE的度数为(
)
图1-12-77
A.40°
B.50°
C.60°
D.130°
【答案】
B
11.(2016·石景山期末)如图1-12-78，折扇的骨柄OA的长为5a，扇面的宽CA的长为3a，折扇张开的角度为n°，则扇面的面积为
(用代数式表示).
图1-12-78
【答案】
12.(2016·顺义一模)如图1-12-79，⊙O的半径为5，正五边形ABCDE内接于⊙O，则的长度为
.
图1-12-79
【答案】
2π
13.(西城一模)已知⊙O，如图1-12-80所示.
(1)求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为
.
图1-12-80
图1-12-81
【答案】
(1)如图1-12-81.
(2)4.
14.(西城一模)阅读下面材料：
如图1-12-82，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，求证：IG=FD.
小云发现连接已知点得到两条线段，便可证明IG=FD.请回答：小云所作的两条线段分别
是
和
，证明IG=FD的依据是
.
图1-12-82
【答案】
OH，OE，矩形的对角线相等；同圆的半径相等；等量代换
15.(2014·浙江舟山)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(
)
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
【答案】
D
16.(2014·河北)如图1-12-83，将长为8
cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2
cm的扇形，则＝
.
图1-12-83
【答案】
4
17.(2016·昌平期末)【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin
α=，求sin
2α的值.
小娟是这样给小芸讲解的：
如图1-12-84，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°.设∠BAC=α，则sin
α==，易得∠BOC=2α.设BC=x，则AB=3x，则AC=2x.作CD⊥AB于点D，求出CD
=
(用含x的式子表示)，可求得sin
2α==
.
图1-12-84
图1-12-85
【问题解决】已知，如图1-12-85，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sin
β=，求sin
2β的值.
【解】
[问题学习]
CD=x
sin
2α==.
[问题解决]
如图1-12-86，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥QN于点R.在⊙O中，∠NMQ=90°.
图1-12-86
∵
∠Q=∠P=β，∴
∠MON=2∠Q=2β.
在Rt△QMN中，
∵
sin
β==，∴
设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=k.
∴
MQ==4k.
∵
=MN·MQ=NQ·MR，∴
3k·4k=5k·MR，∴
MR=k.
在Rt△MRO中，sin
2β=sin∠MOR===.
真题演练
1.(2016·玉林)如图1-12-87，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为，则=(
)
图1-12-87
A.
B.
C.
D.1
【答案】
B
2.(2014·遵义)有一圆锥，它的高为8
cm,底面半径为6
cm，则这个圆锥的侧面积
是
.(结果保留π)
【答案】
60π
尺规作图：如图1-12-28，过圆外一点作圆的切线.
已知：⊙O和点P.
求作：过点P的⊙O的切线.
图1-12-28
如图1-12-29，(1)连接OP，作线段OP的中点A；
(2)以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
(3)作直线PB和PC，
所以PB和PC就是所求的切线.
图1-12-29