课件19张PPT。九年级数学上册·华师第24章 解直角三角形24. 1. 测量正在观看升旗仪式的小华很想知道旗杆的高度，但是旗杆的高度很难直接测量.现有一根标杆、一把皮尺、一个平面镜.你能利用所学知识来帮她测出旗杆的高度吗?情境引入要求 : （1）画出测量图形
（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量的数据)
（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式。
工具: 一根标杆、一把皮尺、一个平面镜.探索思考旗杆影长标杆影长影长法比例式:平面镜平面镜法比例式:标杆法人比例式:∴AB=AE+EB影长法Fxx比例式:比例式:x比例式:探索思考测量角的工具 假如现在只有皮尺和测量角的工具，那又该怎么办呢？使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。PQ度盘铅锤支杆探索思考PQ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成测量倾斜角可以用测倾器。探索思考2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。30°DABE1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；C2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3、量出测倾器的高度AD=1.5米。34°你能利用这些数据算出旗杆的高度吗？DABE1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；C2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3、量出测倾器的高度AD=1.5米。34°你能按比例将△ABC画在纸上吗？DABE1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；C2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3、量出测倾器的高度AD=1.5米。34°B′C′A′(精确到0.1米)你知道计算的方法吗？你们的结果都相同吗？你们所画的三角形都全等吗?为什么结果会相同呢？如果仰角为65°，BC的值还会相等吗？DABE 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．C 我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？34°本章主要探究的内容就是直角三角形中的边角关系1、为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）随堂练习CB若点B的位置选取适当，则有利于测量和计算.学习小结 1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。 2、我们也可借助于直角三角形来完成测量的方案。课件14张PPT。九年级数学上册·华师第24章 解直角三角形24. 2. 直角三角形的性质1、什么是直角三角形？
有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
直角三角形可表示为：Rt△ABCACB斜边直角边直角边想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？你知道我们学过了直角三角形
哪些性质？（1）直角三角形的两个锐角_________.互余（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.等于下面我们探索直角三角形的其他性质1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？
∠A＋∠B=90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90o ，那么△ABC是直角三角形吗？
是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
有什么关系？
AB2=AC2+BC2任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？
我们来验证一下！D在直角三角形中，斜边上的中线等于
斜边的一半。
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD＝AD＝BD＝ AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）直角三角形的性质定理之一?【证明】思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.∵ CD是斜边AB的中线，∴ AD=BD.又∵ DE=CD，∴ ACBE是平行四边形.又∵∠ACB=90?，∴ ACBE是矩形，∴ CE=AB.?1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上
的中线的长为______5cm50°40°例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：
BC= AB
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD= AB
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30°
∴ ∠B=60°
∴ △CDB是等边三角形
∴ BC=BD= AB
CBA1、如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
92、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,
BD=16cm，则AC的长为______
8cm例题讲解?思路引导：实际上，本题是计算AD的长.【解】过点A作AD⊥OB，则∠AOD=______________.?∴ AD=____________( ).?直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半∴ AD>20，∴ 该船没有触礁的危险.2、如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试说明：MN⊥DE.
解：连结EM、DM.
∵BD、CE是高，M是BC中点，
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
∴EM=DM.
又∵N是ED中点，
∴MN⊥ED我们学习了直角三角形哪些性质？性质1直角三角形两个锐角互余性质2直角三角形的勾股定理性质3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质4直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半课件28张PPT。九年级数学上册·华师第24章 解直角三角形24. 3. 锐角三角函数 直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？┓C斜边c邻边对边abC 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少? 在上面的问题中，如果高为10m ，扶梯的长度是多少？在Rt△ABC中, ∠C＝90°．
当∠A＝30°时,
当∠A＝45°时,固定值固定值Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 所以，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比是一个固定值． 观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？ 在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦（sine），记作sinA，即一个角的正弦表示定值、比值、正值．正弦Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3所以 ＝__________＝__________． 观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的邻边与斜边、 ∠A的对边与邻边之间有什么关系？ 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，
∠A的对边与斜边的比、
∠A的邻边与斜边的比、
∠A的对边与邻边的比都是一个固定值． 在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦（cosine），记作cosA，即一个角的余弦表示定值、比值、正值．余弦 在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切（tangent），记作tanA，即一个角的余切表示定值、比值、正值．正切 锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数（trigonometric fun_ction of acute angle） 1．sinA、cosA、tanA 是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．
2．sinA、 cosA、tanA 是一个比值（数值）．
3．sinA、 cosA、 tanA 的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．1.判断对错:√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；×我来试一试：O3、如图：P是平面直角坐标系上
的一点，且点P的坐标为（3，4）
则sin = P( 3 , 4 )
A 4、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。BCADBDAC 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，
BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵又∵
10 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．解：∵设AC=15k，则AB=17k所以1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________; ∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;
2、设Rt△ABC， ∠C＝90゜ ∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件∠B的三个三角函数值：
a=5，c=13. 3、 如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍，tanA的值（ ）
A．扩大100倍 B．缩小100倍
C．不变 D．不能确定 4、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值。
5、如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90゜， sinA= ,AB=15，求△ABC的周长和面积.小结：在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：
(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°请记住这些结论(3)边角之间关系：请记住这些结论课件9张PPT。九年级数学上册·华师第24章 解直角三角形24.4.1 解直角三角形 复习导入
1.在三角形中共有几个元素？
2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
探索新知1.解直角三角形我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。（1）概念：由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。（2）思考：为什么要至少有一条边？探索新知2.已知两条边，求其余未知元素例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，则大树在折断之前高多少？分析：先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论。解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形。应用拓展3.已知一条边和一个锐角，求其余未知元素例2 如图，炮台B在炮台A的正东方向1678m处．两炮台同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与炮台B的距离．（参考数据：sin40°≈0.643，os40°≈0.766，tan40°≈0.839）分析：根据炮台B在炮台A的正东方向，敌舰C在炮台B的正南方向，得出∠ABC=90°，再利用tan∠ACB =AB/BC，求出BC的值即可.巩固练习答案:1.10.0 6.0. 2.9.4海里.归纳小结 本章的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除尘运算。课件9张PPT。九年级数学上册·华师第24章 解直角三角形24.4.2 俯角与仰角 复习导入
1.什么是解直角三角形？
2.解直角三角形的依据是什么。
探索新知1.仰角、俯角探索新知例1如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端的仰角为43°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1）1.方位角例2 如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛C在北偏东60°和北偏东45°方向上，已知小岛C周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．分析：从点C向直线AB作垂线，垂足为E，设CE的长为x海里，根据锐角三角函数的概念求出x的值，比较即可。巩固练习答案:1.4221米. 2.35.3米 53.6米.归纳小结1.解决仰角、俯角、方位角有关的问题时，常用的两个基本图形。2.通过学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体地说，就是利用正切解直角三角形，从而把问题解决。
