课件15张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程你还认识“老朋友”吗？1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答。问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
思考：
1、根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？2、若设长方形绿地的宽为X米，则长方形绿地的长为多少米？3、你能根据题意，列出方程吗？(X+10)米X(X+10)=900把以上方程整理得：X2+10X-900=0 （1）问题２：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？
思考：
1、去年年底的图书数是5万册，若设两年的年平均增长率为X，则今年年底的图书数是多少万册？5(1+X)万册2、明年年底的图书又是今年年底图书数的多少倍？(1+X)倍3、你能根据题意，列出方程吗？5(1+X)2 =7.2整理以上方程可得：5X2+10X-2.2=0 （2）仔细观察，你会发现什么规律？说说你的结论一元一次方程一般形式：
ax+b=0 (a≠0)
新方程：X2+10X-900=0 (1)
5X2+10X-2.2=0 (2)问题3：以上两个方程与一元一次方程的区别在哪里？他们有什么共同点呢？
◆(区别在于未知数的最高次数不同，一元一次方程未知数的最高次数是1，以上俩个方程未知数的最高次数是2；他们的共同特点是：都是整式方程；都只含有一个未知数）把ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数． 上面的方程都是只含有一个未知数X、X的最高次数为2的整式方程,并且都可以化为
（ a，b，c为常数， a≠０）的形式，这样的方程叫做一元二次方程 例题讲解1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1)
(2)解：1、a≠0是方程ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件。
2、一元二次方程化成一般形式后，二次项系数既可以写成正数，也可以写成负数，此时相应的一次项系数、常数项均不同，要特别注意符号！为了便于交流，一般将二次项系数化为正数。
3、方程根的意义对一元二次方程也成立，即使方程左右两边相等的未知数的值。（1）下列哪些数是方程的根？从中你能体会根的作用吗？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4 （2）若x＝2是方程 的一个 根，你能求出a的值吗？根的作用：
可以使等号成立.[例1]下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）
（2）
（3）练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） （ ）（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×√×√×√ [例2]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；C1、若 是关于 的一元二次方程，则（ ）2、是关于 的一元二次方程，则m的值为。变式1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。课件13张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.2.2 配方法1.利用直接开平方法解下列方程(1) x2-6=0(2) (x+3)2=52.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?复习导入(1) x2-6=0(2) (x+3)2=5(1)观察 (x+3)2=5与这个方程有什么关系？
(2)你能将方程转化成（x+h)2=k(k ≥ 0)的形式吗?如何解方程: x2+2x=5？探索新知因式分解的完全平方公式完全平方式填一填它们之间有什么关系?总结归律: 对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方,就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.体现了从特殊到一般的数学思想方法变成了(x+h)2=k 的形式体
现
了
转
化
的
数
学
思
想 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.注意例：用配方法解方程 4x2 - 12x- 1 = 0掌握新知巩固练习1.填空，将左边的多项式配成完全平方式：2.用配方法解下列方程：3.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.归纳小结课件13张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.2.3 公式法探索新知一元二次方程的求根公式特别提醒解：掌握新知例 解方程：解：解：去括号，化简为一般式：巩固练习用公式法解一元二次方程的一般步骤：归纳小结课件28张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.3 实践与探索第1课时 用一元二次方程解决简单的应用问题一元二次方程应用题 ----面积问题、 ----增长率问题列方程解应用题的一般步骤：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)分析题意，设未知数找出等量关系，列方程解方程看方程的解是否符合题意答数复习导入例 学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了方便管理,准备沿平行于两边的方向纵,横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2,小道的宽应是多少? 探索新知解：设道路宽为xm，则两条小道的面积为32xm2和20xm2，其中重叠部分面积为x2m2，
根据题意得：
32×20-32x-20x+x2=540
整理，得x2-52x+100=0． ∴（x-50）（x-2）=0， ∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是2m． 例 学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了方便管理,准备沿平行于两边的方向纵,横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2,小道的宽应是多少? 如图，可将两条小道平移到边缘，从而将四小块种植地合并成一个整体来解决.解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）解：设小道的宽为x m，根据题意得：
（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2;x2=50舍去
因为0＜x＜32，所以x2=50应舍去
即x=2
答：小道的宽应是2m.掌握新知某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）元的（1-x）倍.解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得
56（1-x）2=31.5
解方程，得
x1=0.25,x2=1.75
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意.经检验x=0.25=25%符合本题要求.
答：每次降价的百分率为25%.1、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少.分析：画出示意图巩固练习解：设与墙垂直的一边长为xm，
则与墙平行的一边长为(35-2x)m根据题意,可列出方程 x(35-2x)=150整理得，（不符，舍去）答：鸡场的长为15m，宽为10m.2、如图，长方形ABCD，AB=15m，BC=20m，四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246m2 ，求小路的宽度.解：设小路的宽度为xm，根据题意，可列方程
(15+2x)(20+2x)=300+246（舍去）整理得，
解得，答：小路的宽是3m.3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，化简得，其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.则4.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.化简得，其中x=-20.5应舍去
答:小路的宽为3米.解:设小路宽为x米，则5. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;
（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是
多少米？解：(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米6.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃的一边长为xm,则化简得，答:应围成一个边长为9米的正方形. 7．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为（x+2）m，渠底为（x+0.4）m，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．8.某种药剂原售价为4元，经过两次降价，现在每瓶售价为2.56元，问平均每次降价百分之几？解：设平均每次降价x%，由题意得
4（1-x%）2=2.56
解得x1=20,x2=180(舍去)
答：平均每次降价20%.9.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几？解：设平均每年需降价x%，由题意得
（1-x%）2=1-19%
解得x1=10,x2=190(舍去)
答：平均每年需降价10%.10.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，由题意得
5（1+x）2=7.2
解得x1=1.2,x2=-2.2(舍去)
答：这两年的年平均增长率为120%.列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.归纳小结课件10张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时 用直接开方方法解一元二次方程平方根2.如果 ， 则 。4.把下列各式分解因式：χ(χ－3)(2χ－3)(χ+1)3.如果 ，则 。x=±8复习导入探索新知 为了丰富学生的学习生活，某校决定举办一次学生才艺大比拼活动。现决定在操场正中间搭建一个面积为144平方米的
正方形舞台，那么这个舞台的各边边长将会是多少米呢？1.你能想到什么方法来解方程：x2＝144对于x2＝144，意味着x是144的平方根.这里得到方程的两个根，通常也表示成：
x1＝12，x2＝－12.结合实际问题这里应将x2=－12舍去.
所以这个舞台的各边连长应是12米.(1) x2 – 2 = 0例1.用直接开平方法解方程.(2) 16x2 – 25 = 0(3) （x-3）2 – 144 = 0掌握新知交流与概括对于方程(1),可以先移项得 x2=2根据平方根的定义可知:χ是2的( ). 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元
二次方程的两个根。平方根概括：利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。例2.用直接开平方法解方程.分析：(1)中把(2x－1)看作一个整体，(2)中把(2y-5)、(3y-1)均看作一个整体.巩固练习归纳小结课件18张PPT。九年级数学上册·华师第二十二章 一元二次方程22.3 实践与探索第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题列方程解应用题的一般步骤：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)分析题意，设未知数找出等量关系，列方程解方程看方程的解是否符合题意答数复习导入问题1 小明把一张长为10厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.如图.(1).如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?探索新知解：（1)设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得：
（10-2x)2=81
解得：x1=0.5,x2=9.5
∵0＜x＜5，∴x2=9.5应舍去
只取x=0.5
答：剪去的正方形边长为0.5cm.2 . 按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么截去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？1321.5482.534240.51842250483.518观察表中数据发现：
随着折叠成的长方体底面积减小，剪去的正方形边长增大，
折叠成的长方体的侧面积先增大后减小.3.以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体的侧面积为函数,在直角坐标系中画出相应的点,猜猜函数图形的形状.能从图中观察到侧面积的最大值吗?解：设剪去的正方形的边长为x cm，折叠成的长方体面积为S cm2
根据题意可得S随x变化的函数关系式为：
S=4x（10-2x)
整理得：S=-8x2+40x
配方得：S=-8（x-2.5）2+50
所以当x=2.5时，S有最大值为50
答：当剪去的正方形边长为2.5cm时，折叠成的长方体的侧面积有最大值为50cm2.问题：某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？掌握新知问题：某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的.（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值.即每年按同样的百分数增加）3、若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？4、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？ 问题：(1)某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？答：这两年中财政净收入的平均年增长率约为41.4%问题（2）若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？解：设第一年的增长率为x，则第二年的增长率应为2x.
根据题意，得:
(1+x)(1+2x)=2答：第一年的增长率为28%，可以实现两年后产值翻一番.例3：某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你根据上表所给的数据表述出每件售价提高的价格（元）与产品的日销售量减少的数量（件）之间的关系.
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价多少元时，每日盈利可达到1600元？分析：（1）从表中可看出，每件售价提高多少元，日销售量就要减少多少件.
（2）可根据表格中“每件售价130元时，日销售量为70件”以此为基础，利用公式“每件商品的利润×销售量=总利润”列出方程，得出答案.解：（1）由表格中数量关系可知，该产品每件售价上涨1元，其日销售量就要减少1件.
（2）设每件产品的售价在130元的基础上涨价x元，则销售价位（130+x）元，日销售量为（70-x）件，由题意，得：
[(130+x)-120](70-x)=1600
解这个方程，得：
x1=x2=30
x+130=160
答：每件商品的售价为160元时，每日盈利可达1600元.1.某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？解：设平均每月增长的百分率为x，依题意，得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
x1=0.2，x2=-2.2
因为x2=-2.2不符合题意，所以只能取x1=0.2=20%
答：平均每月增长的百分率是20%.巩固练习2.某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元.平均每次降价百分之几？解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：
96（1-x）2=54列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.归纳小结
