课题：2.4.2二次函数的应用
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
3．经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．
教学重点与难点：
重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力.
难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾，设疑导入
活动内容1：复习回顾（多媒体展示）
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标分别是什么？如何确定最值？你有几种方法？
（2）每件商品的利润怎么求？总利润呢？
处理方式：学生思考后，进行举手抢答，培养学生的竞争意识．
参考答案：（1）对称轴是直线，顶点坐标（，），两种方法求最值：配方法、公式法．
（2）每件商品的利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售量．
活动内容2：设疑导入（多媒体展示）
服装厂生产某口牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？本节课让我们继续共同学习二次函数的应用．【板书课题：§2.4二次函数的应用（2）】
设计意图：复习回顾一方面巩固二次函数的相关知识，一方面为本课的学习做好铺垫；问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识．
二、问题导学，探究感悟
活动内容：解疑释惑（多媒体展示）
服装厂生产某口牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
处理方式：引导学生分析引例题意，理解问题情境，同时思考以下问题：（多媒体展示）
1．本题反映了哪两个变量之间的关系？
2．设批发单价为x（10＜x≤13）元，那么
（1）每件T恤衫的利润可以表示为
；
（2）经销量可以表示为
；
（3）厂家获利可以表示为
；
（4）设厂家获利y元，则y与x的关系可以表示为
．
学生自主思考完成后，在小组内交流讨论，然后找一名学生展示，教师适时点拨强调．学生展示后，教师及时追问以下问题：
（5）厂家获利y元与批发单价x元是什么关系？
（6）厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流．
学生完成后，教师借助多媒体展示学生求解问题（6）的过程，认学生进行互评，教师适时点评强调，对于不同的求解方法要给予表扬鼓励，同时引导学生对比不同计算方法的优劣．
参考答案：
1．反映了厂家获利与批发单价两个变量之间的关系；
2．（1）x-10；（2）5000+；
（3）（x-10）（5000+）或-5000x2+120000
x
-700000；
（4）y=（x-10）（5000+）或y=－5000x2+120000
x
-700000；
（5）厂家获利y元是批发单价x元的二次函数；
（6）方法一（配方法）：y=（x-10）（5000+）=5000（x-10）（14-
x）=－5000（x-12）2+20000；
方法二（公式法）：y=（x-10）（5000+）=-5000x2+120000
x
-700000，
，．
设计意图：让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．
三、例题解析，应用新知
活动内容：例题解析（多媒体展示）
例2
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
处理方式：引导学生分析题意，明确本题是利用二次函数求最值的问题，解决本题的关键是找到等量关系，然后根据等量关系列出二次函数关系式求最值．
等量关系式为：客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房的间数
学生的设法不同，所列的关系式也不同，教师可以借助多媒体展示不同设法和解题过程，强调解题的步骤及规范性，及时的给予点评，并引导学生去发现不同设法区别．在用所设的未知量表示客房的间数时，教师要及时的给以点拨引导．
设法与解题过程预设：
（设法一）解：设每间客房的日租金提高10
x元，则每天客房出租数会减少6
x间．设客房的日租金总收入为y元，则
y=(160+10
x)(120-6
x)=
-60(x-2)2+19440．
∵x≥0且120-6
x＞0，
∴0≤x＜20．
当x
=2时，y最大=19440．
这时每间客房的日租金为160+102=180（元）．
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
（设法二）解：设每间客房的日租金为
x元，则每天客房出租数会减少(120-×6)间．设客房的日租金总收入为y元，则
y=
x
(120-×6)=
－0.6
(x-180)2+19440．
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
设计意图：通过这个实际问题，让学生进一步感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析．
四、拓展延伸，展示交流
活动内容：议一议（多媒体展示）
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x
(棵)与橙子总产量
(个)的二次函数表达式：
．
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
处理方式：学生思考并尝试解决，根据所给的函数关系式在课本49页的直角坐标系中画出函数图象，教师适时提醒学生函数图象只能在第一象限，5分钟后各小组同学分组交流、讨论.
然后借助实物投影展示学生的画图情况及时的评价，同时引导学生利用函数图象分析增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上，并说明理由．
解题过程预设：
(1)图象如下图：
当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x=10时，橙子的总产量最大；当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．
想一想：在利用二次函数解决生活实际最值问题时的步骤是什么？
处理方式：学生思考后在小组内交流，然后再全班展示说出自己的想法．教师给予点评鼓励．
二次函数解决生活实际问题时的步骤是：
（1）审清题意；
（2）找出题中的两个变量，并列出等量关系；
（3）设出两个变量，根据等量关系列出函数关系式；
（4）根据函数关系式，采用配方法、公式法或图象法求出最值；
（5）写出结论．
设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型.
让学生进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型．
五、巩固训练，应用提升
活动内容：做一做
（多媒体展示）
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得利润最大？
参考答案：
（方法一）解：
设销售单价为x元，则销售量[400－20（x－30）]件．
设半月内获得利润为y元，则
y=(x－20)
[400－20（x-30）]=－20(x-35)2+4500．
因此，当销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．
（方法二）解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元，则
y=(x+30-20)(40-20x)=-20x2+200x+400=-20(x-5)2+4500．
∴当x=5时，
y最大=4500．
因此，当售价提高5元，即销售单价为35元时，半月内可获最大利润4500元．
设计意图：在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升．
六、课堂小结，纳入系统
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！
教师强调：二次函数解决生活实际问题时的步骤．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
七、达标检测，反馈矫正
1．某单位商品的利润y与变化的单价数x之间的关系为：y=-5x2+10x，当1.5≤x≤2时，最大利润是
．
2．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x= 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
3．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=-(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是
．
4．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
参考答案：1．3.75
；
2．4
；
3．6米；
4．解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元．则
y=x[800-10(30-x)]=-10x2+1100
=－10(x－55)2+30250．
∴当x=55时，y最大=30250．
因此，一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
八、布置作业，课堂延伸
必做题：课本
第50页
习题2.9
第2题．
选做题：课本
第50页
习题2.9
第3题．
设计意图：必做题做为作业题让学生课后练习、巩固，选做题供学有余力的同学再提高．
板书设计：
§2.4
二次函数的应用（2）
二次函数的性质：对称轴：顶点坐标：确定最值：每件商品的利润=总利润=
引例解：
例2解：
投
影
区
学生活动区(共19张PPT)
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标分别是什么？如何确定最值？你有几种方法？
复习回顾
对称轴：直线
顶点坐标：
最
值：
（1）配方法；（2）公式法．
每件商品的利润=售价－进价.
总利润=每件利润×销售量.
复习回顾
每件商品的利润怎么求？总利润呢？
服装厂生产某口牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．
设疑导入
你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？
服装厂生产某口牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
本题反映了哪两个变量之间的关系？
设批发单价为x（10＜x≤13）元，那么
（1）每件T恤衫的利润可以表示为
；
（2）经销量可以表示为
；
（3）厂家获利可以表示为
；
（4）设厂家获利y元，则y与x的关系可以表示为
反映了厂家获利与批发单价两个变量之间的关系
x-10
70000-5000x
5000+
（x-10
）
（
）
-5000x2+120000
x
-700000
5000+
5000+
y=（x-10
）
（
）
y=-5000x2+120000
x
-700000
．
问题导学，探究感悟
服装厂生产某口牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
（5）厂家获利y元与批发单价x元是什么关系？
（6）厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流．
二次函数关系
y=-5000x2+120000
x
-700000
=5000（x-10）（14-
x）=-5000（x-12）2+20000
配方法：
因此，厂家批发单价是12元时，可以获利最多为20000元．
y=-5000x2+120000
x
-700000
公式法：∵
∴
，
．
因此，厂家批发单价是12元时，可以获利最多为20000元．
问题导学，探究感悟
例2
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
等量关系式为：
客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房的间数
例题解析，应用新知
解：设每间客房的日租金提高10
x元，则每天客房出租数会减少6
x间．设客房的日租金总收入为y元，则
y=(160+10
x)(120-6
x)=
－60(x-2)2+19440．
∵x≥0且120-6
x＞0，
∴0≤x＜20．
当x
=2时，y最大=19440．
这时每间客房的日租金为160+102=180（元）．
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
例2
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
（设法一）
例题解析，应用新知
例2
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
（设法二）
解：设每间客房的日租金为
x元，则每天客房出租数会减少(120-
×6)间．设客房的日租金总收入为y元，则
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
y=
x
(120-
×6)=
－0.6
(x-180)2+19440．
例题解析，应用新知
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
表示增种橙子树的数量x
(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式：
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
拓展延伸，展示交流
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．
解：(1)图象如下图：
当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x=10时，橙子的总产量最大；当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．
拓展延伸，展示交流
在利用二次函数解决生活实际最值问题时的步骤是什么？
想一想：
二次函数解决生活实际问题时的步骤是：
（1）审清题意；
（2）找出题中的两个变量，并列出等量关系；
（3）设出两个变量，根据等量关系列出函数关系式；
（4）根据函数关系式，采用配方法、公式法或图象法求出最值；
（5）写出结论．
拓展延伸，展示交流
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得利润最大？
解：设销售单价为x元，则销售量[400－20（x－30）]件．
设半月内获得利润为y元，则
y=(x－20)
[400－20（x-30）]=－20(x-35)2+4500.
因此，当销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500
元．
（方法一）
巩固训练，应用提升
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得利润最大？
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元，则
y=(x+30-20)(40-20x)=-20x2+200x+400
=-20(x-5)2+4500．
∴当x=5时，
y最大=4500．
因此，当售价提高5元，即销售单价为35元时，半月内可获最大利润4500元．
（方法二）
巩固训练，应用提升
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
课堂小结，纳入系统
1．某单位商品的利润y与变化的单价数x之间的关系为：y=-5x2+10x，当1.5≤x≤2时，最大利润是
．
2．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x= 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
3．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=-(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是
．
6米
3.75
4
达标检测，反馈矫正
4．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则
y=x[800-10(30-x)]=-10x2+1100
=－10(x－55)2+30250．
∴当x=55时，y最大=30250．
因此，一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元．
达标检测，反馈矫正
必做题：课本 第50页
习题2.9
第2题．
选做题：课本 第50页
习题2.9
第3题．
布置作业，课堂延伸
