(共17张PPT)
§2.3确定二次函数的表达式（2）
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.
2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
1.二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
2.如何求二次函数的表达式？
（1）已知二次函数表达式中的一个字母系数和图像上的一个点的坐标，可用一般式代入求其表达式.
（2）已知二次函数顶点坐标和图像上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式.
解析：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
解方程组得：
因此，所求二次函数的表达式是
a=2,
b=-3,
c=5
y=2x2-3x+5.
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
【例题】
（西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
解之
得
∴所求抛物线的表达式为
A
y
x
O
C
B
【跟踪训练】
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1，2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
【议一议】
解得
∴所求抛物线的表达式为
解析（二）：二次函数图像的顶点为（1,2）且经过点（0，-1）可以
设所求的二次函数为y=a(x-1)2+2,
由点(
0,-1)在抛物线上得：
a
+2=-1,
得a=-3，
故所求的二次函数表达式为y=－3(x-1)2+2.
如图是二次函数的部分图象，
你能从此图象中获取哪些信息？
你能求这个二次函数的表达式吗？
y
–1
3
O
x
P
1
–2
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是求出待定系数a,
b,
c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a,
b,
c的方程组，并求出a,
b,
c，就可以写出二次函数的解析式.
2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,
将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式
.
x
0
1
2
3
4
y
3
0
2
0
3
y=x2 4x+3
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC=
60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t
秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是(
)
解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE=
，当点M在OA
上时，ON=t，MN=
，所以S=
（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
值不变为
，所以S=
（2≤t≤4），故选C.
4.已知抛物线的顶点为
(-1，-3),与y轴交点为
(0，-5),求抛物线的表达式.
y
o
x
解析：
设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,
由点(
0,-5
)在抛物线上得：
a-3=-5,
得a=-2，
故所求的抛物线表达式为y=－2(x＋1)2-3.
-1
-3
你学到哪些二次函数表达式的求法？
（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式.
（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.
确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
（3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
布置作业
必做作业：课本习题2.7
第2题.
选做作业：课本习题2.7
第3题.
一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.
——佚名课题：
2.3.2确定二次函数的表达式
课型：新授课
年级：九年级
学习目标：
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.
2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
教学重点与难点：
重点：会用待定系数法确定二次函数的表达式.
难点：会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
教学过程：
一、复习回顾
1.二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k[a≠0，（h，k）是抛物线的顶点坐标]；
2.
如何求二次函数的表达式？
（1）已知二次函数表达式中的一个字母系数和图像上的一个点的坐标，可用一般式代入求其表达式.
（2）已知二次函数顶点坐标和图像上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式.
设计意图：上述两个问题是上一节课的问题，通过对这两个问题的回顾，学生自然会产生寻求其他求解方法的欲望，符合学生的学习心理。适当的回顾也是引导学生不仅要学会解决问题的不同方法，而且还应该关注对该数学问题进行正确的解答。
二、知识讲解
问题：二次函数一般式中的三个字母都不知道，需要几个条件可求出表达是呢？
例2
已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
处理方式：先找学生口述方法，再板演书写过程.过程中出现的错误学生自行解决.
可能出现的问题有：1.代入出现系数错误.2.三元一次方程不会解或解不对.3.
解后忘记带回关系式.
注意：老师可帮助学生一起解三元一次方程组，让学生体会消元思想。
解：设所求的二次函数的表达式为.将三点A（-1，10），B（1，4），C（2，7）的坐标分别代入表达式,
得解得：所以，所求二次函数的表达式为.
因为，所以，二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为.
跟踪训练：
1.已知二次函数的图像经过点A（-1，0），B(3，0），C（0，-1）三点，求这个二次函数的表达式.
处理方式：学生自己独立解决，查找错误进行改正.
总结规律：求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是求出待定系数a,
b,
c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a,
b,
c的方程组，并求出a,
b,
c，就可以写出二次函数的解析式.
设计意图：通过例题的讲解让学生体会随着条件的增加，可以大胆设用二次函数的一般式确定函数表达式.在求解过程中，遇到解三元一次方程组的实际困难鼓励学生独立解决，提高学生的计算能力和独立解决问题的能力.
三、议一议：
活动内容：一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1，2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
处理方式：1.先让小组内讨论可用什么方法解决.
2.每个小组派代表先说后在黑板书写解题过程.
3.同一个小组内可用不同方法去解.
4．小组内总结错误的地方，给出不同方法的优缺点.
5.师生共同总结，每个学生可选用自己喜欢或能做对的方法.
方法（一）设所求的二次函数为，由图像经过点(
0,-1
)得：
，解得：.故所求的二次函数表达式为,即
方法（二）设所求的二次函数的表达式为.将三点A（0，-1），B（1，2），C（2，1）的坐标分别代入表达式,
得解得：所以，所求二次函数的表达式为.
四、拓展提高
活动内容：如图是二次函数的部分图象，你能从此图象中获取哪些信息？你能求这个二次函数的表达式吗？
（3分钟时间思考，尽可能多的写出获取的信息）
1.因为抛物线开口向上，所以a>0；因为对称轴在y轴右侧，所以b<0；因为抛物线交y轴负半轴，
所以
c<0.
2.抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-2）.
3.当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值，y最小=-2.
方法一：抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-2）.
所以设抛物线表达式是-2，把点（3,0）代入，得：4a-2=0.解，得：a=.所以，抛物线的表达式是-2,即y＝x2–x.
方法二：因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-1，0）.
因为抛物线与x轴的两个交点分别是（3,0），（-1,0），所以设抛物线表达式是y＝a（x-3）（x+1），把点（1，-2）代入，得：-4a
=-2.解，得：a=。所以，抛物线的表达式是y＝（x-3）（x+1），即y＝x2–x.
方法三：设抛物线表达式是y＝ax2＋bx＋c，把点（1，-2），（3,0），（-1,0）分别代入，得：
解得
所以，抛物线的表达式是y＝x2–x.
设计意图：学习函数的一种重要的方法就是“数形结合”.，引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。教学中应关注学生不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习.导入问题主要考查学生对二次函数图象性质的理解程度.
五、课堂小结
1.你学到哪些二次函数表达式的求法？
（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式.
（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.
（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.
2.确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
六、达标检测
1.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式
.
2．一条抛物线，顶点坐标为，且形状与抛物线相同，则它的函数表达式是
．
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=
60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t
秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是(
)
4.已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的表达式.
七、布置作业
必做作业：课本45页习题2.7第2题.
选做作业：课本45页习题2.7第3题.
板书设计：
§2.3.2确定二次函数的表达式
复习回归：
学生板演：
练习：
投影区
学
生
活
动
区
y
–1
3
O
x
P
1
–2
