课题：1.4
解直角三角形
课型：新授课
年级：九年级
教学目标:
1.理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形.
2.通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力.
3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法.
教学重点与难点:
重点：根据条件解直角三角形.
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角.
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题，引入本课：【板书课题：1.4解直角三角形】
处理方式：由于三角函数有关的计算作为基础，学生易解决问题，所以找两名学生上黑板书写计算过程.
设计意图：体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对直角三角形已知元素求未知元素的探究.
二、提出问题，探索新知
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c
.
问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？
问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？
问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
师：出示课件：课本“做一做”
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c
，且a=，b=，求这个三角形的其他元素.
师：出示课件：课本“想一想”
在Rt△ABC中，如果已知一边和一角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
出示例2
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c
，且b=30，∠B
=25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
处理方式：对于前三个问题找学生口答；对于例1师生共同完成：
解：在Rt△ABC中，+=，a=，b=，
∴c===2.
在Rt△ABC中，sinB===，
∴∠B=30°.
∴∠A=60°.
对于例2由学生仿照例1独立完成.最后教师给出解直角三角形的定义及其依据.
设计意图：学生经历实践、探索的过程，既培养了学生的动手实践能力，积累了数学活动经验，也了解了解直角三角形的两种情况，为接下来探究做准备．
三、深入探究，理解新知
问题4：通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？
问题5：除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
问题6：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
处理方式：问题4找几个学生展示，让学生现场出题，当堂验证，学生讨论分析，得出结论；问题5、6可以借助问题4和两个例题；也可以查阅以前做的题目（包括课本例题、习题），.最后学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）总结：解直角三角形，有下面两种情况：(其中至少有一边)
（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）
（2）已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一斜边一锐角）
设计意图：这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形的有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心.
四、知识应用，及时反馈
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=2，∠A=45°, 解这个直角三角形。（先画图，后计算）
2、海船以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求：
（1）从A处到B处的距离；
（2）灯塔Q到B处的距离。
（画出图形后计算，用根号表示）
设计意图：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力.
五、回顾反思，提炼升华
师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？想一想，与同伴交流．
处理方式：让学生自己总结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。
1．“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。
2．解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角.
3．解直角三角形的方法：
（1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理
（后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）；
（2）已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；
（3）已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余.
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，首选正切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦，
计算方法要选择，能用乘法不用除.
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.
六、当堂检测，评价反馈
1．△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,
∠C所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°,求∠B,a,c.
2.在△ABC中,∠C＝90°,a=2,b=2,
求∠A、∠B、c边.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本17页
习题1.5
第1题（2）、第2题（1）．
选做题：课本26页
第19题．
设计意图：关注学生的个体差异，设置必做题和选做题,使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨．
板书设计：
§1.4
解直角三角形
解直角三角形:
例1：
例2：
投影区
学
生
活
动
区(共25张PPT)
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
---达哥拉斯
问题：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
创设情景
引入新课
问题（1）可以归结为：在Rt
△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长．
（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
所以
BC≈6×0.97≈5.8。
由计算器求得
sin75°≈0.97，
由
，得
A
B
α
C
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题。可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数.
由于
利用计算器求得
a≈66°
．
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°
．
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
A
B
C
α
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角.
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题.
新课导入
4．解直角三角形
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c
.
提出问题
探索新知
问题1:直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
问题2:直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°.
问题3:直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
“做一做”
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求
出这个三角形的其他元素吗？
提出问题
探索新知
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c
，且a=
，b=
，求这个三角形的其他元素.
提出问题
探索新知
“想一想”
在Rt△ABC中，如果已知一边和一角，你能求出
这个三角形的其他元素吗？
例2
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别记作a，b，c
，且b=30，∠B
=25°，
求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
深入探究，理解新知
问题4：通过对上面例题的学习，如果让你设
计一个关于解直角三角形的题目，你会给题
目几个条件？如果只给两个角，可以吗？
如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.
问题5：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
深入探究，理解新知
深入探究，理解新知
问题6：通过上面两个例子的学习，你们知道解
直角三角形有几种情况吗？
结论：
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
结论
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠
A＋
∠
B＝
90 ；
(3)边角之间的关系:
★面积公式：
知识应用，及时反馈
1.在Rt△ABC中，∠C=90，已知AB=2，∠A=45°，解这个直角三角形。（先画图，后计算）
2
.海船以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求：
（1）从A处到B处的距离；
（2）灯塔Q到B处的距离。
（画出图形后计算，用根号表示）
回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
回声嘹亮
1.“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程.
2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且
至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角.
3.解直角三角形的方法：
（1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理（后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）；
（2）已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；
（3）已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余.
口诀好记
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，首选正切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦，
计算方法要选择，能用乘法不用除.
1.
△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,
∠C所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°,求∠B,
a,
c.
A
B
C
a
b
c
3
30°
当堂检测，评价反馈
A
B
C
a
b
c
2
2.在△ABC中,∠C＝90°,
,
求∠A、∠B、c.
布置作业
课堂延伸
必做题：课本
第17页
习题1.5
第1题（2）、第2题（1）．
选做题：课本26页，第19题．
结束寄语
一个人只要坚持不懈地追求,他
就能达到目的.
下课了!
