高中数学三角函数知识点汇总
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文档简介
三角函数总结及统练
一.
教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1.
与角终边相同的角的集合
2.
三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值
3.
三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4.
三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=
5.
同角三角函数的关系
平方关系：
( http: / / www.21cnjy.com )商数关系：
倒数关系：
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6.
诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦
余弦
正切
余切
7.
两角和与差的三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )
8.
二倍角公式——代换：令
( http: / / www.21cnjy.com )
降幂公式
( http: / / www.21cnjy.com )
半角公式：；；
9.
三角函数的图象和性质
函数
图象
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
定义域
R
R
值域最值
时时
时时
R无最大值无最小值
周期性
周期为
周期为
周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上都是增函数；在上都是减函数（）
在上都是增函数，在上都是减函数（）
在内都是增函数（）
10.
函数的图象变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）
（2）
（二）数学思想与基本解题方法
1.
式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2.
诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3.
估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4.
角的和与差的相对性
如：－
角的倍角与半角的相对性
如：
5.
升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6.
数形结合：心中有图，观图解题。
7.
等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8.
换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1.
如：（化成一个角的一个三角函数）
( http: / / www.21cnjy.com )
[例1]
求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
解：
（1），，
（2），，
，
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
；
[例2]
化简
。
答案：
3.
化异为同
[例3]
已知，求：
（1）
（2）
答案：（1）3；（2）
[例4]
已知，求：
答案：
4.
与间的相互转化
（1）若，则；；=
（2）若，则；
（3）
[例5]
化简：
。
答案：
[例6]
若在第二象限，，求。
答案：
5.
互为余角的三角函数相互转化
若，则；
[例7]
已知，则
。
答案：
[例8]
求值：
。
答案：
[例9]
求值：
。
答案：
6.
公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例10]
计算
。
答案：
[例11]
。
答案：
7.
角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12]
若，则
。
答案：7
[例13]
若，则
。
答案：
[例14]
在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。
答案：
8.
角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15]
已知，求。
答案：
[例16]
若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式然后限定角的范围。
解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。
解法三：利用，可回避限定角的范围。
答案：
9.
在三角形中的有关问题
；；
结论：；
；
[例17]
已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18]
在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由则
故
同理
三式相加，得证。
10.
形如的化简
[例19]
求值：（1）
（2）
答案：（1）（2）
11.
三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20]
求下列函数的定义域。
（1）
（2）
答案：
（1）
（2）
[例21]
求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则的值域。
答案：（1）
（2）
12.
可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）
[例22]
已知函数，求“一套”。
答案：，定义域：R；值域：，，；
对称轴
增区间：
减区间：
13.
函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例23]
已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
14.
可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）
[例24]
求函数的值域
解：
[例25]
已知，若记其最大值为，求的解析式。
解：，当时，
当时，
当时，
15.
周期函数与周期
[例26]
已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期
。
解：T
[例27]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：4
[例28]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：8
[例29]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：6
[例30]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立
，求其周期。
解：6
16.
函数与方程的思想
[例31]
方程的解的个数
。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.
求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
2.
已知，求：
3.
设，则
。
4.
求的最大值和最小值。
5.
求值：。
6.
若；，求
7.
已知、且，，求的值。
8.
为何值时方程有解？
9.
方程，有两解时求的值。
10.
求值：
（1）
（2）
11.
求下列函数的定义域。
12.
已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？
【试题答案】
1.
，，
，
2.
3.
4.
令，，，，
5.
6.
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
又由得，得
则故
8.
9.
10.（1）
（2）
11.
（）
12.
当时，；时，
一.
教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1.
与角终边相同的角的集合
2.
三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值
3.
三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4.
三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=
5.
同角三角函数的关系
平方关系：
( http: / / www.21cnjy.com )商数关系：
倒数关系：
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6.
诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦
余弦
正切
余切
7.
两角和与差的三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )
8.
二倍角公式——代换：令
( http: / / www.21cnjy.com )
降幂公式
( http: / / www.21cnjy.com )
半角公式：；；
9.
三角函数的图象和性质
函数
图象
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
定义域
R
R
值域最值
时时
时时
R无最大值无最小值
周期性
周期为
周期为
周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上都是增函数；在上都是减函数（）
在上都是增函数，在上都是减函数（）
在内都是增函数（）
10.
函数的图象变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）
（2）
（二）数学思想与基本解题方法
1.
式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2.
诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3.
估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4.
角的和与差的相对性
如：－
角的倍角与半角的相对性
如：
5.
升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6.
数形结合：心中有图，观图解题。
7.
等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8.
换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1.
如：（化成一个角的一个三角函数）
( http: / / www.21cnjy.com )
[例1]
求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
解：
（1），，
（2），，
，
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
；
[例2]
化简
。
答案：
3.
化异为同
[例3]
已知，求：
（1）
（2）
答案：（1）3；（2）
[例4]
已知，求：
答案：
4.
与间的相互转化
（1）若，则；；=
（2）若，则；
（3）
[例5]
化简：
。
答案：
[例6]
若在第二象限，，求。
答案：
5.
互为余角的三角函数相互转化
若，则；
[例7]
已知，则
。
答案：
[例8]
求值：
。
答案：
[例9]
求值：
。
答案：
6.
公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例10]
计算
。
答案：
[例11]
。
答案：
7.
角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12]
若，则
。
答案：7
[例13]
若，则
。
答案：
[例14]
在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。
答案：
8.
角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15]
已知，求。
答案：
[例16]
若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式然后限定角的范围。
解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。
解法三：利用，可回避限定角的范围。
答案：
9.
在三角形中的有关问题
；；
结论：；
；
[例17]
已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18]
在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由则
故
同理
三式相加，得证。
10.
形如的化简
[例19]
求值：（1）
（2）
答案：（1）（2）
11.
三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20]
求下列函数的定义域。
（1）
（2）
答案：
（1）
（2）
[例21]
求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则的值域。
答案：（1）
（2）
12.
可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）
[例22]
已知函数，求“一套”。
答案：，定义域：R；值域：，，；
对称轴
增区间：
减区间：
13.
函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例23]
已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
14.
可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）
[例24]
求函数的值域
解：
[例25]
已知，若记其最大值为，求的解析式。
解：，当时，
当时，
当时，
15.
周期函数与周期
[例26]
已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期
。
解：T
[例27]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：4
[例28]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：8
[例29]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：6
[例30]
已知奇函数对定义域中每一个都有成立
，求其周期。
解：6
16.
函数与方程的思想
[例31]
方程的解的个数
。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.
求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
2.
已知，求：
3.
设，则
。
4.
求的最大值和最小值。
5.
求值：。
6.
若；，求
7.
已知、且，，求的值。
8.
为何值时方程有解？
9.
方程，有两解时求的值。
10.
求值：
（1）
（2）
11.
求下列函数的定义域。
12.
已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？
【试题答案】
1.
，，
，
2.
3.
4.
令，，，，
5.
6.
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
又由得，得
则故
8.
9.
10.（1）
（2）
11.
（）
12.
当时，；时，