2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：3.3幂函数

3.3
幂函数
自主整理
1.幂函数的定义
(1)定义:
一般地，我们把形如y=xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数.
(2)关于定义的理解：
①幂的底数是自变量;
②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;
③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x就不是幂函数.
④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x2的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
2.函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的图象与性质:
y=x
Y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
图象
定义域
R
R
R
［0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
［0,+∞)
R
［0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
?
增
增
?
定点
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(1,1)
3.幂函数的性质
当n>0时，幂函数y=xn有下列性质：
（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.
当n<0时，幂函数y=xn的性质：
（1）图象都过点（1，1）；
（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；
（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；
（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.
高手笔记
1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.
2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：
如何分析幂函数，记住图象是关键，
虽然指数各不同，分类之后变简单.
大于0时抛物线，小于0时双曲线，
还有0到1之间，抛物开口方向变,
不仅开口向右方，原来图象取一半.
函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，
奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.
图象第一象限内，函数增减看正负.
名师解惑
1.如何理解幂函数的图象和性质
剖析：幂函数y＝xn的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：
(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.
(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:
图象21世纪教育网21世纪教育网
幂函数y=xn(n为常数)
n>0
n<0
性质
(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大
(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线
2.当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样？
剖析：当n∈N
时，定义域为R；
当n=0时，定义域为{x|x≠0}；
当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；
当n=(p,q∈N
,q>1且p,q互质）时，
①若q为偶数，则定义域为［0,+∞)；
②若q为奇数，则定义域为R；
当n=(p,q∈N
,q>1且p,q互质）时，
①若q为偶数，则定义域为(0,+∞)；
②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}.
讲练互动
【例题1】若（a+1）＜（3-2a），则a的取值范围是__________.
解析：因为函数y＝x在［0，+∞)上单调递增，
所以y＝x在(0，+∞)上单调递减.
所以
解得＜a＜.
答案：（，）
绿色通道
虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.
黑色陷阱
忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x的取值范围.
变式训练
1.已知(x-3)<(1+2x)，求x的取值范围.
分析:其实质是解不等式(x-3)<(1+2x)，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数y=x的图象性质来求解.
解：因为y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,
原不等式可以化为：
①
②
③
①无解；②的解为x<-4；③的解是所以所求的x的取值范围为{x|x<-4或【例题2】已知0＜a＜1，试比较aa，（aa）a，的大小为__________.
解析：为比较aa与（aa）a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f（x）＝xa（0＜a＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y＝az（0＜a＜1）是减函数，且a＜1，所以a＜aa，从而aa＜（aa）a.
比较aa与（aa）a的大小，也可将它们看成底数相同（都是aa）的两个幂，于是可以利用指数函数y＝bx（b＝aa，0＜b＜1)是减函数，由a＜1，得到aa＜（aa）a.由于a＜aa，函数y＝az（0＜a＜1）是减函数，因此aa＞.
答案：a＜aa＜（aa）a
绿色通道
解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单.
变式训练
2.比较下列各组中两个值的大小:
(1)1.5与1.6;
(2)0.61.3与0.71.3;
(3)3.5与5.3;
(4)0.18-0.3与0.15-0.3.
分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题.如果指数相同，可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较.
解：(1)∵1.5与1.6可分别看作幂函数y=x在1.5与1.6处的函数值,
且>0,1.5<1.6,
∴由幂函数单调性,知1.5<1.6.
(2)∵0.61.3与0.71.3可分别看作幂函数y=x1.3在0.6与0.7处的函数值,
且1.3>0,0.6<0.7,
∴由幂函数单调性,知0.61.3<0.71.3.
(3)∵3.5与5.3可分别看作幂函数y=x在3.5与5.3处的函数值,
且<0,3.5<5.3,
∴由幂函数单调性,知3.5>5.3.
(4)∵0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x-0.3在0.18与0.15处的函数值,
且-0.3<0,0.18>0.15,
∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0.15-0.3.
【例题3】幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a，b，c，d的大小关系是(
)
图3-3-1
A.bB.bC.aD.a解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大.
方法一(性质法):
由幂函数的性质可知，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b＞c＞d＞a.
方法二(类比法):
当x趋于+∞时，函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴，类似于典型幂函数y=x-1，故a<0.
函数y=xb在区间［0,+∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y=x2,故b>1.
同法可知y=xc,y=xd类似于y=x,故0∴a最小，b最大.
方法三(特殊值法):
作直线x=2，由图象可知2a<2d<2c<2b,由指数函数的性质可知a答案：D
绿色通道
通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意.
变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(
)
图3-3-2
A.-2,,,2
B.2,,,-2
C.,-2,2,
D.2,,-2,
解析：要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1,C2,C3,C4的指数α依次为2，，，-2.
答案：B
【例题4】画函数y=1+的草图，并求出其单调区间.
分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便.
解：y=1+=+1.
∴此函数的图象可由下列变换而得到:
先作函数y=的图象，作其关于y轴的对称图象，即y=的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+的图象〔如图3-3-3(1)-(4)所示〕.
图3-3-3
黑色陷阱
本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了.
变式训练
4.求出函数f（x）=的单调区间，并比较f（-π）与f（）的大小.
分析:要写出f（x）的单调区间，可通过化简把f（x）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f（x）的单调区间.
解：f（x）==1+=1+（x+2）-2，
它是由g（x）=x-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.
∵g（x）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），
∴f（x）=的单调增区间是（-∞，-2），单调减区间是（-2，+∞），f（x）的图象关于直线x=-2对称.
∵-π∈（-∞，-2），∈（-2，+∞），关于x=-2对称的点的横坐标是-4，
又∵-4<-π，
∴f（-4）教材链接
［思考与讨论］
(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质
(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质
(3)幂函数y=xα,x∈［0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同
答:(1)
y=xα
α是正偶数
定义域
R
值域
［0,+∞)
奇偶性
偶
单调性
x∈［0,+∞)时,增x∈(-∞,0］时,减
定点
(1,1),(0,0),(-1,1)
(2)
y=xα
α是正奇数
定义域
R
值域
R
奇偶性
奇
单调性
增
定点
(1,1),(0,0),(-1,-1)
(3)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+∞)上是增函数.当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；特别要记住幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型,α>1时图象是竖直抛物线型，0<α<1时，图象是横卧抛物线型.