2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：3.4函数的应用（Ⅱ）

3.4
函数的应用(Ⅱ)
自主整理
1.指数函数型增长的函数模型
指数函数y=ax(a>1)经复合可得到的指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型.
指数型增长随底数不同而不同.
复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.
2.对数函数型增长的函数模型对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢.
如经济学家马尔萨斯提出的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年增长率.到了很多年以后，人口增长的就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幂函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了.
3.幂函数型增长的函数模型
幂函数y=xn(n>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快.例如球的体积V随半径R的增大而变化的关系就是幂函数的关系，体积是半径的函数V=πR3.
随着x的增大，若y=xn(n>0)比起y=ax(a>1)增长速度来，是后者增长得快.
高手笔记
1.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果基础量为a，平均增长率为r，则对于时间x的总量y＝a（1＋r）x，解决平均增长率的问题，可用此公式建立函数式.
2.在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.3.由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.4.数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据，根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系，这种模拟是粗略的,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图，从图象上观察并选择适当的函数，最后还需要检验.
名师解惑
1.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？
剖析：一般地,对于指数函数
y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间（0,＋∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间（0,＋∞）上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时,就会有logax综上所述，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=ax(a>1)、y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax2.常见的数学模型有哪些？
剖析：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型：
（1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量y=N（1+p）x.
（2）储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y=a（1+r）x.
（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.
（4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.
3.解数学应用题应具备哪些能力？
剖析：（1）能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合运用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言加以表述.
（2）学会审题，题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细、反复阅读，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义.分析已知条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题.
（3）正确建模与解模，在审题的基础上，联想数学知识和方法，恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的几何图形.解模时要特别注意：所建模型中函数自变量的实际意义以及解模涉及的近似计算要保持一定的精确度.
图示如下：
图3-4-1
讲练互动
【例题1】据报载，自2004年起的三年内，我国城市垃圾平均每年以9%的速度增长，到2006年底，三年总共堆存的垃圾将达60亿吨，侵占了约五亿平方米的土地.
（1）问：2004年我国城市垃圾约有多少亿吨？
（2）据预测从2007年开始我国还将以年产一亿吨的速度生产着新的垃圾，从资源学观点看，生活垃圾也是资源，如果1.4亿吨垃圾发电，可以节约2
333万吨煤炭，现在从2007年起，我国每年处理上年总共堆存垃圾的用于发电，问：2007和2008这两年，每年可节约多少吨煤炭以及共节约多少平方米土地？
分析:(1)如果设2004年产生的垃圾为x亿吨，则可依次得到后面各年的垃圾量，于是可以找到关键的等量关系，求出x；（2）这是一个比例关系，即1.4亿吨垃圾相当于2
333万吨煤，那么2007和2008两年处理的垃圾量分别相当于多少吨煤.
解：（1）设2004年我国共有x亿吨垃圾，则2005年有x(1+9%)亿吨，2006年共有x(1+9%)2亿吨.
所以三年共堆存的垃圾为x+x(1+9%)+x(1+9%)2亿吨.
由题意,得x+x(1+9%)+x(1+9%)2=60，解得x=18.3亿吨.
（2）2007年共处理堆存的垃圾60×=6亿吨，
设2007年节约x1万吨煤，
由，
解得x1=9
998.6万吨；
2008年共处理堆存垃圾(60+1-6)×=5.5亿吨.
设2008年节约x2万吨煤，则，解得x2=9
165.4万吨.
由于60亿吨垃圾占用了土地5亿平方米，即每吨垃圾占用土地为平方米，而2007和2008这两年共处理垃圾6+5.5=11.5亿吨，所以可节约11.5×=0.958亿平方米土地.
黑色陷阱（1）要注意关键的字眼“三年总共堆存的垃圾”，否则易得到这种x(1+9%)2=60错误的等量关系；（2）注意单位的换算.
变式训练
1.在英国，1961年时，一所房子以3
500英镑的价格出售，而1981年，它却以34
000英镑的价格再次出售，20年来，这所房子没有什么变化，但价格上涨了，假定20年来，价格膨胀率不变，那么这所房子的价格膨胀率是多少？（忽略房子折旧因素）若上面膨胀率一直保持到2007年不变，则在2007年，房子的价格是多少？
解析：设价格膨胀率为x%，则3
500(1+x%)20=34000,
解得x%≈12%.
若按以上价格膨胀率一直保持到2007年不变，则在2007年，房子的价格是34
000(1+12%)26≈647
362（英镑）.
【例题2】(2007海南高考样题，理17)某工厂今年1、2、3月生产产品1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c，如果已知4月份产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好 理由是什么？分析:本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份产量，看哪一个函数表达式预测值与实际值比较接近.
解：设f(x)=px2+qx+r(p≠0).
由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,
有解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.
∴f(4)=1.3.
设g(x)=abx+c.
由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,
有解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=1.35.
∵｜1.3-1.37｜＝0.07＞0.02＝｜1.35-1.37｜，
∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.
绿色通道
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型，根据数据特点，可能有多种可能结果，但用哪一个还需结合实情选择.
变式训练
2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
-2.0
-1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则与x,y的函数关系最接近的函数为(其中a,b为待定系数)(
)
A.y=a+bx
B.y=a+bx
C.y=ax2+b
D.y=a+
解析：散点图如图所示:
由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C、D，故选择B.
答案：B
3.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100
kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=abt，Q=a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
分析:（1）可先以时间t为横坐标，成本为纵坐标在平面直角坐标系中描出对应的点，来判断其与哪个函数更吻合；（2）求相应函数的最值即可.
解：（1）由表中数据在平面直角坐标系中描点可知，当时间变化时，种植成本不是一个单调函数，而Q=at+b、Q=abt、Q=a·logbt都是单调的，故只能选用Q(t)=at2+bt+c.
把点(50,150)，(110,108)，(250,150)分别代入Q(t)=at2+bt+c,可得
解得Q(t)=t2t+.
（2）对Q(t)进行配方,得Q(t)=(t-150)2+100，当t=150时，西红柿种植成本最低为100元/100
kg.
【例题3】某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
分析:某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1
000］时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图象得到初步的结论，再通过具体计算确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象如图3-4-2所示：
图3-4-2
观察图象发现，在区间［10,1
000］上模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间［10,1
000］上是单调递增的，当x∈(20,1
000)时，y>5，因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x，利用计算器可知，1.002806≈5.005，由于y=1.002x是增函数，故当x∈(806,1
000］时，y>5，因此，也不符合题意.
对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1
000］上单调递增，且当x=1
000时，y=log71
000+1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈［10,1
000］时，利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象，由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)7<0，即log7x+1<0.25x.
所以当x∈［10,1
000］时，y<0.25x.
这说明，按模型y=log7x+1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求.
绿色通道
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数幂爆炸等不同函数类型增大的含义.
变式训练
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是_____________.
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格可以看出，四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1,y2,y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案：y2
5.李先生打算将1万元存入银行,现银行提供两种计息方式:一是单利,即只有本金生息,利息不再产生利息,年利率为4%;二是复利,即头年所生的利息第二年也开始计息,年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分),问小李应选用哪种计息方式 (可以利用计算器)
分析:列表格表示分别按复利和单利存款不同年数的本息，观察表格即可.
解：按单利计息,则第n年的本息为10
000(1+n×0.8×0.04)=10
000(1+0.032n);
按复利计息,则第n年的本息为10
000(1+3.6%×0.8)n,利用计算器列表，如下表所示：
年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
单利
10320
10640
10960
11280
11600
11920
12240
12560
12880
13200
13520
复利
10288
10584
10889
11203
11525
11857
12199
12550
12912
13283
13666
从上表可以看出,若存款年数不超过8年,应选用单利计息;若存款年数超过8年,则选用复利计息.