2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：3.1.2指数函数

3.1.2
指数函数
自主整理
1.指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1,x∈R)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.
2.指数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
①定义域：R
②值域：（0，+∞）
③图象过定点（0，1）
④在（-∞，+∞）上是增函数
在（-∞，+∞）上是减函数
高手笔记
1.对于指数函数y＝ax（a＞0且a≠1），其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1.
2.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
3.对于指数函数y＝ax，一定要注意底数a对函数值变化的影响，若a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
4.解决复合函数的单调性、值域等问题应充分考虑底数的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免造成混淆.
5.指数函数y=ax和y=()x（a>0且a≠1）的图象关于y轴对称.
6.底数a对图象特征的影响可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴,递增的速度越快；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴,递减的速度越快.7.指数函数性质口诀：
指数增减要看清，抓住底数不放松，
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减.
无论函数增和减，图象都过(0,1)点.
名师解惑
指数函数中为什么规定底数a>0且a≠1？
剖析：很多同学学习了指数函数的定义后，对底数的限制a>0,且a≠1总是迷惑不解.突破方法是分析不加限制可能出现的“混乱局面”.①若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义.如(-2)x，当x=,,…等时，在实数范围内函数无意义.
②若a=0，则当x>0时，ax=0；当x≤0时，ax无意义.
③若a=1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义,且ax>0.
讲练互动
【例题1】将三个数1.50.2，1.30.7，（）按从小到大的顺序排列.
分析:当两个幂指数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数,借助函数的单调性来比较大小.
解：先比较1.50.2〔即（）0.2〕和（）的大小，考查指数函数y=（）x，由于底数在区间（0，1）内，所以指数函数y=（）x在（-∞，+∞）上是减函数.
由0.2=＜,得1＞（）0.2＞（）.另一方面，由于1.3＞1，0.7＞0，得1.30.7＞1.所以（）＜1.50.2＜1.30.7.
绿色通道处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围（如大于0）的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.
变式训练
1.比较下列各组数的大小:
(1)()0.1和()0.2;
(2)()和();
(3)0.8-2和();
(4)a和a(a>0,a≠1).
分析:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.
解：(1)y=()x在(-∞,+∞)上是减函数,
又-0.1>-0.2,故()0.1<()0.2.
(2)()=(),由y=()x的单调性,得()>(),即()>().
(3)由0.8-2>1而()<1,可知0.8-2>().
(4)当a>1时,aa.
【例题2】求下列函数的定义域与值域：
（1）y=2；
（2）y=（）|x|；
（3）y=4x+2x+1+1；
（4）y=2.
解：（1）因为指数函数y=2x的定义域为x∈R，值域为y∈（0，+∞）.若x≠0，则y≠1；由于y=2中的≠0，所以y≠1.
所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y＞0且y≠1}.
（2）因为y=（）|x|中的|x|≥0，
所以x∈R，0＜y≤1.
所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}.
（3）将已知函数整理成y=4x+2x+1+1=（2x）2+2（2x）+1=（2x+1）2.
由此可知定义域为R，值域为{y|y＞1}.
（4）已知函数可化为y=2，
由≥0,得x＞1.
又由＞0，得y=2＞1.
所以定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}.
绿色通道
本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x的取值范围（集合）；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.
变式训练
2.（2007吉林高三期末统考，文13）函数f(x)=的定义域是_________.
解析：由题意得()x-1≥0，即()x≥1，得x≤0.
答案：（-∞,0］
3.函数y=的定义域是___________.
解析：解得x≠0且x≠1.
答案：(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
【例题3】若函数y＝为奇函数.
（1）确定a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域；
（4）讨论函数的单调性.
分析:本题可通过奇函数的定义，得f（-x）+f（x）=0，推导出a的值，而求函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围；值域求解通常可利用单调性逐步求解.解：先将函数化简为y=a.
（1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，即a=0，
∴2a+=0.∴a=.
（2）∵y＝，∴2x-1≠0.
∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}.
（3）方法一（逐步求解法）:∵x≠0，∴2x-1＞-1.又∵2x-1≠0，∴0＞2x-1＞-1或2x-1＞0.
∴＞或＜，即函数的值域为{y|y＞或y＜}.
方法二（利用有界性）:由y＝≠，可得2x＝.
∵2x＞0，∴＞0.可得y＞或y＜，
即函数的值域为{y|y＞或y＜}.
（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1-y2＝.
∵0＜x1＜x2，∴1＜2＜2.
∴2-2＜0，2-1＞0，2-1＞0.
∴y1-y2＜0.
因此y＝在（0，+∞）上递增.
同样可以得出y=在（-∞，0）上递增.
绿色通道
研究复合函数的单调性可通过首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成，然后根据“同增异减”法则作出判断.所以本题我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.
当x＞0时，∵2x单增，
∴2x-1单增，单减，单增.
∴y＝在（0，+∞）上递增.
求复合函数y=f［g(x)］的值域，应分层进行，即首先求出内函数u=g(x)的值域，它就是外函数y=f(u)的定义域，然后根据y=f(u)的单调性再求出原函数的值域.
变式训练
4.求函数y=3的单调区间和值域.
分析:应注意函数y=3不是指数函数，而是指数函数与二次函数的复合函数，不能直接根据指数函数y=3u来判断其单调性，解本题时，应避免会忽视y＞0而得出值域的错误结果.
解：设y=3u，u=-x2-x.
因函数u=-(x+)2+在(-∞,］上为增函数，在［,+∞)上为减函数，
故当x1又指数函数y=3u是增函数,
从而y1＜y2，即原函数的递增区间是(-∞,］.
类似地，由≤x1于是y1＞y2，即原函数的递减区间是［,+∞).
由于u≤且y=3u是增函数，故0【例题4】如果函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在［-1，1］上有最大值14，试求a的值.
分析:将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，采用换元法,利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.
解：设t＝ax，则原函数可化为y=（t+1）2-2，对称轴为t＝-1.
（1）若a＞1，∵x∈［-1，1］，
∴-1＜≤t≤a.
∵t＝ax在［-1，1］上递增，
∴y＝（t＋1）2-2当t∈［，a］时也递增.
∴原函数在［-1，1］上递增.
故当x=1时，ymax=a2+2a-1.
由a2+2a-1=14，解得a=3或a=-5（舍去，∵a＞1）.
（2）若1＞a＞0，可得当x=-1时，ymax=a-2+2a-1-1=14，
解得a=或a=（舍去）.
综上，可得a=或3.
黑色陷阱本题容易出现以下错误：
（1）误认为函数y=a2x+2ax-1在x∈［-1，1］上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.
（2）令t＝ax，x∈［-1，1］，不论0＜a＜1还是a＞1，就认为t的取值范围是［a-1，a］，由此作为外层函数的定义域引出错误.
变式训练
5.求函数y=9x+2×3x-2的值域.
分析：在利用换元法时，不能遗漏了指数函数的值域问题，令t=ax>0，一定要注意换元后新变量的取值范围.
解：设3x=t(t>0)，所以y=t2+2t-2=(t+1)2-3(t>0).
因为当t=0时，y=-2，从而y=9x+2×3x-2的值域为（-2，+∞）.