2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：2.4函数与方程

2.4
函数与方程
自主整理
1.函数零点
(1)概念
一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=0,则a叫做这个函数的零点.
(2)意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点
①当Δ>０时,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点;
②当Δ=０时,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;
③当Δ<０时,方程ax2+bx+c=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
(4)变号零点与不变号零点
若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点;
若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点.
(5)零点的性质①当函数的图象通过零点时(不是二重零点),函数值变号;
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
2.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
(1)定义
对于在区间［a,b］上连续不断,且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
注:用二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.
用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数ε,即使得|x-x0|≤ε,一般步骤为:
①在区间D上确定区间［a,b］D,使f(a)·f(b)<0;
②求区间［a,b］的中点x1;
③计算f(x1),
若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1〔此时零点x0∈(a,x1)〕;
若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1〔此时零点x0∈(x1,b)〕.
④判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②到④.
高手笔记
1.虽然有的函数在区间上不连续,但它可能有零点存在;有的函数在区间上是连续的,也不存在零点;如f(x)=与y=1,x∈R.
2.如果函数y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的曲线,且x是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.
3.函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.求函数的零点就是求相应的方程的根,一般可以借助求根公式或因式分解等办法求出方程的根,从而得到函数的零点.
4.对于已知函数的零点在一个大的区间内,在不要求精确的情况下,计算分点的函数值可以简化运算过程,但此法适用于在此区间内零点个数不多的情况.当函数的零点的精确度要求较高时,如果再利用列表法求各区间端点函数值的符号,则所求的值太多,费时费力,考虑用二分法,求零点所在区间,既可以得到精确值,又可以减少运算量.
5.非二次函数零点的存在性问题可以利用函数的单调性,然后找出一个较大的区间判断根的存在性.再利用二分法求零点的近似值,所使用的是排除法的思想,即判断符号,排除零点不在的半区间,取另一个零点存在的半区间,继续循环排除,并继续判断,直到找到符合条件的近似值为止,此法不论精确度有多高,均可以计算出来.
6.记忆口诀
函数连续值两端,相乘为负有零点,
区间之内有一数,方程成立很显然.
要求方程近似解,先看零点的区间,
每次区间分为二,分后两端近零点.
名师解惑
1.怎样找出方程的一个实数解？能不能找出方程一个实数解的存在区间并利用二分法找出方程的所有实数解？
剖析:要找方程的实数解,首先要确定实数解的存在性,即方程对应函数的零点存在区间问题,从而联想有关知识:(1)函数y=f(x)的零点即y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标;(2)函数y=f(x)的零点即对应方程f(x)=0的实数解;(3)判断函数在某区间有零点的依据.
通过计算我们可以得到不同的并且有公共区间的存在区间.方程实数解的存在区间越小,区间两端点就越接近该区间的实数解.倘若给定精确值,在方程解的存在区间端点的近似值相等时,可认为是方程的一个近似解.从而我们可以通过将解的存在区间无限细分的方法:每次将区间二等分、三等分、……,每次只留取区间端点值符号相反的区间.“二分法”是一种通法,它可以用来逼近方程的实数解的精确值,但不能用来找到所有的实数解.2.如何用二分法求给定精确度ε的函数的零点近似值
剖析:用二分法求函数零点的近似值,首先要选好、选准计算的初始区间,这个区间既要符合条件,又要尽量使其长度小;其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度,以决定是停止计算还是继续计算.通过不断地求中点,变换存在零点近似值的区间,直到它的长度|bn-an|<2ε为止,此时xn=即为所求.
像这种按照一定的程序使计算一步步地进行下去,直到找到问题结果为止的求解过程叫做算法.区间［an,bn］的长度|bn-an|越小,就越接近它的零点值.
讲练互动
【例题1】二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是(
)
A.1
B.2
C.0
D.无法确定
解析：分析条件a·c<0,a是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0),所以a·c=af(0)<0,即a与f(0)异号,即或∴函数必有两个零点.
此时也可由Δ来判断零点的个数,因ac<0,
所以Δ=b2-4ac>0.所以一定有两个根,即有两个零点.
答案：B
绿色通道
判断二次函数f(x)的零点的个数,就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数,一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点,则要结合二次函数的图象进行.
变式训练
1.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是(
)
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点
解析：∵f(1)f(2)f(4)<0,f(0)>0,∴f(0)f(1)f(2)f(4)<0.∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点.答案：D
2.下列关于方程3x+4x=5x的解及解的个数正确的说法是(
)
A.有且只有2一个解
B.不仅有2还有其他解
C.有两个负根
D.有两个正根
解析：通过观察知2是方程的一个根,再把原方程化为()x+()x=1.
∵()x与()x均大于0,且同时大于1或同时小于1,或同时等于1,
∴方程()x+()x=1除2以外没有其他的根,
即方程3x+4x=5x只有2一个解.
答案：A
【例题2】求函数f(x)=x3-x的零点,并画出它的图象.
分析：解方程f(x)=0,求零点,若方程是高次,一般考虑利用因式分解.
解：因为x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),
令f(x)=0,即x(x+1)(x-1)=0,
解得已知函数的零点为-1,0,1,这三个零点把x轴分成4个区间:(-∞,-1］,(-1,0］,(0,1］,(1,+∞),在这四个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表:
x
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
y
…
-1.875
0
0.375
0
-0.375
0
1.875
…
在直角坐标系内描点作图,这个函数的图象如图2-4-1:
图2-4-1
绿色通道
利用函数的零点,可研究函数的性质,并能较准确地画出函数的图象.事实上,由于该函数是奇函数,可只作出当x≥0时的部分图象,再利用对称性画出另一部分.
变式训练
3.求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并根据零点画出简图.
分析：对简单的三次函数的零点的求法,一般原则是进行分解因式,从而转化为求方程的根将零点求出.
解：y=(x-2)(x-1)(x+1),
令y=0可求得已知函数的零点为-1、1、2.函数的简图如图所示:
【例题3】求方程x5-x3-3x2+3=0的无理根(精确到0.01).
分析：求方程的无理根问题可以通过因式分解,发现其有理根,然后转化为求另一个方程的无理根问题.方程x5-x3-3x2+3=0的无理根是x3-3=0的根,只需求出g(x)=x3-3的零点即可.
解：令f(x)=x5-x3-3x2+3,则f(x)=(x2-1)(x3-3),显然无理根就是x3-3=0的根.令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=-2<0,g(2)=5>0,故可取［1,2］作为计算的初始区间,列表如下:
端点或中点横坐标
中点函数值
取区间
a0=1,b0=2
g(1.5)=0.375>0
［1,1.5］
1.25
g(1.25)=-1.047<0
［1.25,1.5］
1.375
g(1.375)=-0.400
4<0
［1.375,1.5］
1.437
5
g(1.437
5)=-0.029
5<0
［1.437
5,1.5］
1.468
75
g(1.468
75)=0.168
4>0
［1.437
5,1.468
75］
1.453
125
G(1.453
125)=0.068
4>0
［1.437
5,1.453
125］
1.445
312
5
g(1.445
312
5)=0.019
2>0
［1.437
5,1.445
312
5］
1.441
406
25
g(1.441
406
25)=-0.005
3<0
［1.441
406
25,1.445
312
5］
1.443
359
375
g(1.443
359
375)=0.006
9>0
［1.441
406
25,1.443
359
375］
由于区间［1.441
406
25,1.443
359
375］的两个端点的精确到0.01的近似值都是1.44,所以原方程的无理根是1.44.
绿色通道
利用二分法求方程近似解的步骤:①构造函数,转化为求函数的零点;②明确精确度和函数的零点所在的区间(通常区间的左右端点相差ε);③利用二分法求函数的零点;④归纳结论.
变式训练
4.求方程3x=的正实数根(精确到0.1).
分析：此题的零点要求的精确度较高,可以用二分法求零点的近似解.利用函数的单调性,来判断零点的大致区间.
解：原方程变为3x+=0,
令f(x)=3x+,
∴f(0)=-1<0,f(1)=>0.
下面证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
设x2>x1>0,则
f(x2)-f(x1)=3x2-3x1+>0.
∴f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
由以上可知f(x)的零点只在［0,1］内,且在［0,1］内有且只有一个零点.取［0,1］为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间
中点
中点函数值
［0,1］
0.5
0.732
［0,0.5］
0.25
-0.084
［0.25,0.5］
0.375
0.322
［0.25,0.375］
0.312
5
0.124
［0.25,0.312
5］
由于区间［0.25,0.312
5］的长度为0.062
5<0.1,所以这一区间的两个端点的近似值0.3就是方程的根的近似值,即原方程的正根是0.3.