辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导角与角平分线讲学案苏科版

角与角平分线
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
角与角平分线
学习目标：
1.
说出角的特征，根据特征在图形中识别角。认识并会表示角。
2.
掌握角的常用度量单位：度、分、秒，并会进行度、分、秒简单的换算与和差计算。
3.
知道角平分线的意义。
二.
重点、难点：
1.
掌握角的常用度量单位：度、分、秒及其和差倍分计算。
2.
掌握钟面角的计算方法。
3.
知道角平分线的意义。
三.
知识要点
1.角
（1）角的概念：
角是由两条有公共端点的射线构成的图形，也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。
（2）角的组成部分：
角的两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。如图：
（3）角的表示方法：
（4）特殊角：
当角的两边（两条射线）成一条直线时，这时所形成的角叫做平角；
当角的终边绕其端点旋转到再次与终边重合的时候所形成的角叫做周角。
（5）角的度量单位：
把周角分成360份，每一份为1度，记作1°，因此一个周角的度数就是360°，但一个角的度数未必都是整数，把1度平均分成60份，每一份为1'，读作1分；把1'平均分成60份，则每一份为1″，读作1秒。
度、分、秒是常用的角的度量单位；进率是60（与时间的单位：时、分、秒的换算一样），即1°＝60'，1'＝60"
2.
角的分类：
大于0°而小于90°的角叫锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°而小于180°的角叫做钝角；
180°的角叫做平角；360°的角叫做周角。
1周角＝2平角＝4直角
3.
角的大小比较：
比较两个角的大小，可以有两种方法：
（1）重合法：把一个角放到另外一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧，再比较大小。
（2）度量法：比较两个角的度数，度数大的角大。
说明：①两种方法的比较结果是一致的。
②利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小。
③在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关。这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大。
4.
角平分线：
（1）定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
（2）几何语言表示：OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB（或）
说明：若∠COB＝∠AOC，则OC是∠AOB的平分线，同样有两条三等分线，三条四等分线，等等。
（3）对于角平分线的概念，要注意以下两点：
①它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分。
②要掌握角平分线的数学表达式：若OC是∠AOB的平分线，
则∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB或
5.
钟面角：
（1）钟面角是指时针与分针在某一时刻所成的角。
我们知道钟面数字从1到12共有12个大格，60个小格，而1周角＝360°，所以钟面上每个大格对应360°÷12＝30°的角，每个小格对应360°÷60＝6°的角，这样，时针每走1小时对应30°的角，每走1分钟对应30°÷60＝0.5°的角；分针每走1分钟对应6°的角。
（2）钟面角的计算公式：
①当时针在分针前面时，钟面角＝30°m+0.5°n－6°n；
②当时针在分针后面时，钟面角＝6°n－30°m－0.5°n；
其中m表示时针所指钟面的时钟数，n表示分针所指钟面的分钟数，即m点n分。
【典型例题】
例1.
图中有多少个角，分别把它们表示出来。
分析：只要把握角由一个顶点和两条边组成，不难数出图中的角的个数。
解：图中有13个角，
它们是：∠EAB，∠EAD，∠EAC，∠BAD，∠BAC，∠BAF，∠DAC，∠DAF，∠CAF，∠B，∠ADB，∠ADC，∠C。
例2.
把下列角化成以度表示的角。
（1）15°24′36″　　　（2）36°59′96″　　（3）50°65′60″
分析：要把角化成以度表示的角，就需要利用度，分，秒之间的进位关系，从秒到分，再从分到度的顺序进行。
解：（1）
（2）36°59′96″＝36°60.6′＝37.01°
（3）50°65′60″＝50°66′＝51.1°
例3.
列角化成度分秒的形式
（1）56.25°　
　（2）68.56°　
　（3）19.60°
分析：将角转化成度分秒的形式，跟化成度的形式一样，需要利用度分秒之间的进制关系，但顺序应按照从度到分，再从分到秒的顺序。
解：（1）56.25°＝56°+（0.25×60）′＝56°+15′＝56°15′。
（2）68.56°＝68°+（0.56×60）′＝68°+33.6′＝68°33′+（0.6×60）″＝68°33′36″
（3）19.60°＝19°+（0.60×60）′＝19°36′
例4.
如图，已知∠AOC＝∠BOD，∠AOB＝25°，求∠DOC的度数。
分析：要求∠DOC的度数，可以利用转化的思想，∠DOC＝∠DOB－∠BOC，再利用∠DOB＝∠AOC，可以使问题得到解决。
解：因为∠DOC＝∠DOB－∠BOC，∠DOB＝∠AOC，
所以∠DOC＝∠AOC－∠BOC。
因为∠AOC－∠BOC＝∠AOB，
所以∠DOC＝∠AOB＝25°。
例5.
如图，已知：∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数。
分析：本题已知∠AOE和∠BOF，又OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以可以利用转化的思想，把∠EOF转化成∠COE+∠COF，再利用条件去求。
解：因为
OF平分∠AOC，OE平分∠BOC
所以可设∠BOE＝∠EOC＝α，∠COF＝∠FOA＝β
根据图形，∠EOF＝∠COE+∠COF＝
如图，有∠AOE＝2β+a＝100°　　
①
∠BOF＝β+2a
＝80°　　
②
①+②得：3（a+β）＝180°
所以a+β＝60°，即∠EOF＝
a+β＝60°。
例6.
画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°。下图中正确的是（
）
分析：仔细观察图形的特点，用直接法来解。
解：对于A，射线OC画到∠AOB外部了；
对于B，画成∠AOB＝90°了；
对于C，∠AOC≠90°，不符合条件，对于D，是符合条件的。故应选D。
说明：本例属于“画符合题设条件的射线”题型。
例7.
已知：如图，∠α和∠β。求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β
分析：合理的操作程序是：先作∠AOC＝∠α再作∠COB＝∠β如何作∠COB＝∠β呢 ——可以用∠AOC的边OC为一边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β即可。
解：作法：（1）作∠AOC＝∠α；
（2）以OC为一边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β，∠AOB就是所求作的角（如图）
例8.
已知如图，一个三角形的两个角∠A、∠B，求作第三个角∠C
分析：∠A，∠B，∠C是一个三角形的三个内角，即∠A+∠B+∠C＝180°，已知∠A，∠B，所以可先作一个平角，在平角内再作出∠A+∠B，那剩下的就是要求作的∠C了!
解：作法：（1）作一个平角∠AOC，即∠AOC＝180°
（2）以AO为边作∠AOM＝∠A
（3）以OM为一边，在∠AOM的外部作∠MON＝∠B
（4）则∠NOC即为所求，即∠NOC＝∠C。如图
说明：对于操作型的作图题，呈现程序化形态，只要按照作图操作步骤和要求，一步一步作下来即可。
例9.
求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数。
解法1：从3点整开始，分针转过了6°×25＝150°，时针转过了0.5°×25＝12.5°，而3点整时两针夹角为90°，
所以3点25分时两针夹角为150°－90°－12.5°＝47.5°
解法2：3点25分时，分针在钟面“5”字上，时针从“3”转过了0.5°×25＝12.5°，又“3”“5”之间夹角为60°，故3点25分两针夹角为60°－12.5°＝47.5°
解法3：设所求夹角度数为x°，将分针视作追赶并超过时针，它们的速度分别为60°/分和0.5°/分，则可列方程（6－0.5）×25＝90+x。
解得x＝47.5°
说明：本题考查角的度量的实际应用，关键是明确分针1分钟转6°，时针1分钟转0.5°，并且要注意到分针在运动时，时针也在动，而不能认为时针静止。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
下列关于角的说法正确的个数是（
）
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.
下列4个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（
）
3.
图中，小于平角的角有（
）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
4.
将一个周角分成360份，其中每一份是____°的角，直角等于___°，平角等于___°
5.
30.6°＝_____°_____′＝_______′；30°6′＝_______′＝______°。
6.
计算：（1）49°38′+66°22′
（2）180°－79°19′
（3）22°16′×5
（4）182°36′÷4.
7.
根据下列语句画图：
（1）画∠AOB＝100°；
（2）在∠AOB的内部画射线OC，使∠BOC＝50°；
（3）在∠AOB的外部画射线OD，使∠DOA＝40°；
（4）在射线OD上取E点，在射线OA上取F，使∠OEF＝90°。
8.
任意画一个三角形，估计其中三个角的度数，再用量角器检验你的估计是否准确。
9.
分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成的角的度数。
10.
9点20分时，时钟上时针与分针的夹角a等于多少度
11.
马路上铺的地砖有很多种图案，如图所示的图案是某街面方砖铺设的示意图，请你用量角器量一下其中出现的所有的角度
12.
如图，在∠AOB的内部引一条射线OC，可得几个小于平角的角
引两条射线OC、OD呢 引三条射线OC、OD、OE呢 若引十条射线一共会有多少个角
13.
请用直线、线段、角等图形设计成表示客观事物的图画，如图，并为你的图画命名。
【试题答案】
1.
A
2.
B
3.
D
4.
1，90，180
5.
30，36，1836；1806，30.1
6.
（1）116°；（2）100°41′；（3）111°20′；（4）45°39′。
7.
略
8.
略
9.
30°；0°；120°；90°
10.
160°
11.
略
12.
引1条射线有2+1＝3个角；
引2条射线有3+2+1＝6个角；
引3条射线有4+3+2+1＝10个角；
引10条射线有11+10+9+……+3+2+1＝66个角。
13.