辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导两条直线的关系讲学案苏科版

两条直线的关系
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
两条直线的关系
［目标］
1. 理解直线的平行与垂直等概念，并能用符号表示互相平行、垂直的直线。
2. 熟练的过一点画出已知直线的平行线、垂线
3. 掌握平行线、垂线的性质。
二. 重、难点：
1. 了解平面上两条直线的平行与垂直关系。
2. 掌握平行线、垂线的性质。如：“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”，“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”等。21世纪教育网版权所有
3. 探索平行线的一些特殊角之间的关系。
4. 能用平行、垂直的有关知识解决数学问题及实际问题。
三. 知识要点
1. 平行：
（1）平行的描述性语言：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
思考：①在同一平面内，两条直线有哪几种位置关系？
答：在同一平面内，两条直线的位置关系是：平行与相交。
②在空间里，两条直线又有哪几种位置关系？
答：在空间里，两条直线的位置关系是：平行、相交与异面。
[注意]：①“在同一平面内”是前提条件
②“不相交”是指两直线没有交点
③平行线是指“两条直线”而不是两条射线或两条线段
（2）表示方法：
直线a平行于直线b，可表示为a∥b。
如图，已知正方体中，指出三组平行线。
（3）画平行线：经过直线外一点画已知直线的平行线：一靠、二移、三画线。
（4）平行线的性质：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②如果两条直线都和已知直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2. 垂直：
（1）两条直线互相垂直的概念：两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。21cnjy.com
（2）表示方法：两条直线互相垂直，可表示为a⊥b于点O或表示为：AB⊥CD于点O。
（3）画垂线：当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
如何经过一点画已知直线的垂线呢？
一靠、二移、三画线。
讨论：①当点在已知直线上时，②当点在已知直线外时。
（4）垂线的性质：
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
这条垂线段的长度也叫做这点到这条直线的距离。
3. 邻补角
如图，过平角AOB的顶点O画射线OC，所得的∠1与∠2有一个公共边OC，另一条边OA与OB互为反向延长线。象这样的两个角，叫做邻补角。邻补角是位置特殊的互补的角。
【典型例题】
例1. （1）下列说法正确的是（　　　）
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，则这两条直线互相垂直；
②若两条直线相交有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
④两条直线相交，若有一组相邻的角相等，则这两条直线互相垂直。
A. 1个　　　　B. 2个　　　　　　C. 3个　　　　D. 4个
（2）下列说法正确的是　 (　 　)
A. 有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直
C. 连结两点的线段叫做这两点间的距离
D. 过点A作直线m的垂线段，则这条垂线段叫做点A到直线m的距离
分析：这两题考查的是概念。因此要明确我们所学过的知识点。
解：（1）垂直概念：相交成直角的两条直线互相垂直
①相交所成的四个角中有一个是直角，则四个角都为直角，所以垂直。
②对顶角相等，又互补，即相加等于180°，则每个角都等于90°，所以垂直。
③相交所成的四个角相等，即每个角都等于周角的=90°，所以垂直。
④一组相邻的角相等，即每个角都等于平角的=90°，所以也垂直。
因此选D：4个都是正确的。
（2）A错在只有过平面内一点做已知直线的垂线时才有且只有一条，否则可以有无数条。
C、D错在“线段”是“距离”。“线段的长度”才是“距离”。
因此选B。
例2. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：
①a∥b，②b∥c，③a∥c，④a⊥b，⑤a⊥c
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成你认为正确的题目。
分析：本题要求以五个论断中的两个为条件，一个为结论，组成正确的题目，也就是让我们自己来编一些题目。在做这样的题目时，我们可以将五个论断两两组合，然后看每一种组合能否推出余下的论断，若能，就得到一个正确的题目。21教育网
解：可以写出如下题目：
（1）若a∥b，b∥c，则a∥c
（2）若a∥b，a∥c，则b∥c（（1）、（2）、（3）其实是平行线的传递性）
（3）若b∥c，a∥c，则a∥b
（4）若b∥c，a⊥b，则a⊥ c
（5）若b∥c，a⊥c，则a⊥b
（6）若a⊥b，a⊥c，则b∥c（垂直于同一条直线的两条直线平行）
注意：本题在解答过程中容易遗漏，同学们可以按分析中的方法，先确定两个论断作为条件，共有10组，然后看是否能推出余下的论断。www-2-1-cnjy-com
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例3. 平面内二条平行直线将平面分成三部分，三条平行直线将平面分成四部分，请问：①四条、五条平行直线分别将平面分成几部分？　②n条平行线将平面分成几部分？（n为大于1的正整数）
分析：因为不相交，所以每增加一条平行线，这条平行线就把其中一个平面分成两部分，即增加一个面。2-1-c-n-j-y
答：①四条平行直线分别将平面分成五部分；五条平行直线分别将平面分成六部分。
②n条平行线将平面分成n+1部分。
说明：这是一道找规律问题，关键在于从少的几种情况中找出共有的特点。
例4. 在正方体中，与棱DD1平行的棱有几条？与DD1既不平行也不相交的棱有几条？分别把它们写出来。【来源：21cnj*y.co*m】
解：与棱DD1平行的棱有AA1、BB1、CC1共3条
与DD1既不平行也不相交的棱有AB、A1B1、BC、B1C1
说明：考查空间直线的位置关系。
例5. 平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点。怎样安排才能办到?
分析：我们先从极端情形考虑：平面上的10条直线，如果两两相交，最多可以出现个交点。而题中只要求出现31个交点，这就启发我们一定有平行线的情形出现. 我们再采取逐步调整的方法，可以达到目的。【来源：21·世纪·教育·网】
解：在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点. 所以在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉。转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点. 这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行。如图所示【出处：21教育名师】
说明：本题属于操作题型，解题关键是：先考虑极端情形；再考虑题中条件，用逐步调整法解决问题。
例6. 已知直线a、b、c在同一平面内，a//b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交。请说明理由。www.21-cn-jy.com
分析：如何说明“b与c也一定相交”呢?——直接说明有困难，那么我们运用逆向思维，从问题的反面入手，也就是：假定b与c不相交，即b∥c，再想办法推导出矛盾，说明假设不成立，从而说明原结论成立。【版权所有：21教育】
解：假定b与c不相交，即平行，b∥c
∵a∥b(已知)，
∴a∥c(平行公理的推论)
这与a与c相交于p矛盾，故假设不成立.
∴b与c一定相交.
说明：本题有一定思维难度. 上述证明方法是反证法。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 如图所示的长方体中，平行于AB的棱有__________条，垂直于AB的棱有______条.
2. 如图，a代表水面，b代表三名选手从十米跳台入水示意图，比赛结果，图（1）水花最小，得分最高，由此我们可得出结论，当入水轨迹与水面__________时，无水花溅起得分最高。
3. 运动会上，甲乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA=5.52米，PB=5.13米，则小明的真实成绩为__________米。21教育名师原创作品
4. 如图，CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，则C到OB的距离是______，E到OA的距离是______，O到CD的距离是______，Ｏ到EF的距离是______。21*cnjy*com
5. 如图，直角梯形ABCD中，相互平行的直线有__________对，相互垂直的直线有__________对。
6. 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫这条线段的中垂线，一条线段的垂线有__________条，中垂线有__________条。21·世纪*教育网
7. 给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（　　）
A. 能 B. 不能 C. 有的能有的不能 D. 无法确定
8. 如图，过点P作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是（　　）
A. 都能作且只能作一条
B. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
C. 垂线能作两条，斜线可作无数条
D. 均可作无数条
9. 如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有（　　）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
10. 以下结论正确的是（　　）
A. 不相交的两条线段叫平行线段
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 若a⊥c，b⊥c，则a⊥b
D. 同一平面内，如果两条线段不相交，那它们也不一定平行
11. 运动场上，跳高横杆与地面的关系属于（　　）
A. 直线与直线平行 B. 直线与直线垂直
C. 直线与平面平行 D. 直线与平面垂直
12. 在同一平面内的三条直线，如果要使其中的两条有且只有两条平行，那么它们只能（　　）
A. 有一个交点 B. 有两个交点 C. 有三个交点 D. 没有交点
13. 如果l1∥l2，l2∥l3，l3∥l4，那么l1与l4的关系是（　　）
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不能确定
14. 一测量员从点A出发，行走100米到点B，然后向左转90°，再走100米到C点，再左转90°，行走100米到D点，那么AB与CD平行吗？请画出示意图。21·cn·jy·com
15. 河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，应如何作？21*cnjy*com
【想一想】
如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外。如何测量？
【试题答案】
1. 3，8　 2. 垂直 3. 5.13　
4. CD　EF　OD　OF 5. 一　二　 6. 无数　一
7. A　 8. B　 9. C　 10. D　 11. C　 12. B　 13. D2·1·c·n·j·y
14. 平行，图略
15. 过A作河岸的垂线，垂线与河岸的交点为码头的位置。