辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导幂的运算讲学案苏科版

幂的运算
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
幂的运算——同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方
［目标］
1. 掌握同底数幂的乘、除法，幂的乘方法则与积的乘方法则。
2. 会双向应用幂的乘方公式与积的乘方公式。
3. 会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法、除法。
4. 明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能与幂的运算法则一起进行运算，并能解决一些实际问题。
二. 重、难点：
1. 掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，知道它们的联系和区别，并能运用它们熟练进行有关计算。21世纪教育网版权所有
2. 同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方运算法则的推导过程。
3. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义。
4. 培养我们的归纳能力、化归思想和创新意识，并能养成“以理驭算”的良好运算习惯。
三. 知识要点
（1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即
（3）积的乘方：等于每个因式分别乘方，即
法则的推广：当n是正整数时，
［注意］
①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.
②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同
③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：
④幂的乘方公式可逆用：
（4）同底数幂相除：底数不变，指数相减，即 （a≠0）
［注意］
幂运算最后结果中幂的形式应是最简的：
①幂的指数、底数都应是最简的；
②底数中系数不能为负；
③幂的底数是积的形式时，要再用一次
（5）零指数和负指数：规定，（其中a≠0，p为正整数）
法则的推广：（其中，m、n均为整数）
（6）科学计数法： 的形式
（其中1≤a<10,n取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正）
［说明］
①微米：μm表示微米
1μm=mm=m
②纳米：
nm表示纳米，是长度单位，1纳米为十亿分之一米。
1 nm =m
刻度尺上的一小格是1mm，1nm是1mm的 百万分之一。难以相像1nm有多么小！将直径为1nm的颗粒放在1 个铅球上，约相当于将一个铅球放在地球上。21教育网
备注：本章主要考察公式及公式的逆用，在应用公式时，要注意公式成立的条件。
【典型例题】
例1. 求下列各式中n的值
（1）
（2）
（3）
分析：同底数幂相等，则指数相等。
解：（1）∵，
又∵
∴
解得：
（2）∵
∴
解得：
（3）∵
∴
解得：
说明：不同底的有时可以转化为同底。如：2，4，8，16……，3，9，27，81……等。
例2.（1） 已知
（2）若n为正整数，且的值.
分析：逆用同底数幂乘法与幂的乘方法则。
解：（1）∵
∴
（2）
=
=
=
=
=
==50×49=2450
说明：灵活应用。
例3. 计算:
（1）
（2）
（3）
（4）
（试用简便方法）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）（－2）3×（－2）－2－（－32）÷（）－2＋（－100）0
分析：利用乘法的交换律和结合律进行简便运算。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
=
=
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）（－2）3×（－2）－2－（－32）÷（）－2＋（－100）0
=（－2）3－2－（－9）÷＋1
=（－2）＋4＋1
=3
说明：反向使用、可使某些计算简捷。
例4. 如果，求m，n的值.
分析：本题虽然出现两个未知数，但是分别由两个关于幂的等式得到两个式子。联立解二元一次方程组即可。21cnjy.com
解：由题意可知
解得：
例5. 计算
解：原式= =
=
说明：关于幂的次数经常会讨论其奇偶性。
例6. 解关于x的方程：
（1） ； （2）3x+1·2x+1=62x－3
解：（1）


∴
（2）3x+1·2x+1=62x－3
（3×2）x＋1=62x－3
6x＋1=62x－3
∴x＋1=2x－3
x=4
例7.若，。则的末位数是多少？
解：原式===
∴的末位数字是3，∴原式的末位数字是
说明：此题较难，关键在于找到循环规律。
例8. 已知，，试说明。
分析：两分数相等，通常我们都先保证分母或者分子部分的相等，在观察另一部分是否相等。若等，则两分数相等，否则就不等。21·cn·jy·com
解：
例9. 已知a=－（0.3）2,b=－3－2,c=（－）－2,d=（－）0,试比较a、b、c、d的大小，并用“＜”号连接起来。www.21-cn-jy.com
分析：要比较大小，就要有统一的形式，因此我们把给出的幂的形式进行化简。
解：a=－（0.3）2=－0.09
b=－3－2=－0.11
c=（－）－2=9
d=（－）0=1
∵0.11<－0.09<1<9
∴b 例10. 美国旅行者一号太空飞行器在１ns（十亿分之一秒）的时间里能飞行０.０１７mm，求飞行器的速度是多少米／秒？2·1·c·n·j·y
解：，1ns =s
∴
答：飞行器的速度是
说明：速度=路程÷时间。但是计算前要把单位转化为符合要求的。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个算式：①②③④ 中，结果等于的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④
C. ②③ D. ③④
3. 化简的结果是（ ）
A. 0 B. C. D.
4. 的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 计算所得的结果是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列计算中，正确的有（ ）个
① ②
③ ④
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
7. 计算×1. 52002×（－1）2004的结果是（ ）.
A. B. C.－ D.－
8. 与的正确关系是（ ）
A. 相等
B. 当为奇数时它们互为相反数，当为偶数时相等
C. 互为相反数
D. 当为奇数时相等，当为偶数时互为相反数
9. 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 若为正整数，且，则的值为（ ）
A. 833 B. 2891 C. 3283 D. 1225
11. 等于（ ）
A. B. C. D.
12. 若，，则等于（ ）
A. 9 B. 10 C. 2 D. 1
13. 1纳米 = 0.000000001 m ,则2.5纳米用科学记数法表示为（ ）米.
A. 2.5×10－8 B. 2.5×10－9
C. 2.5×10－1 D. 2.5×109
14. 若，则，已知，，则
15. 计算：
16. ，
17. 若（x－1）0＝1，则x应满足的条件是___________
18. （1） （2）
（3） （4）
（用简便方法计算）
（5）
（6）（其中为正整数）
（7） （>）
（8）
19. 化简求值：，其中
20. 已知，试求的值。
21. 已知，，求的值。
22. 据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元，若一年按365天计算，我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为多少元？（用科学记数法表示，且保留两个有效数字）
【试题答案】
1. A 2. D 3. B 4. B 5. D
6. A 7. A 8. D 9. D 10. B
11. D 12. B 13. B
14. 8，216 15.—0.125
16. －1，8， 17. x≠1
18. （4）
（5） （6） （7） （8）
19. 解：=
20. 解：原式
21. 解：

原式=
当时，=
当时，=
22. 解：（元）