辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导全等三角形的判定讲学案苏科版

全等三角形的判定
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
全等三角形的判定
［目标］
熟练掌握全等三角形判定的四种方法以及直角三角形全等判定的方法与性质。
二、重、难点：
1.
熟练掌握全等三角形判定的四种方法以及直角三角形全等判定的方法。
2.
会作辅助线协助解题。
三、复习巩固：
三角形全等的判定：
①三边对应相等（“边边边”或“SSS”）
性质：三角形的稳定性——如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。
特别地，四边形和其它多边形都不具有稳定性。
②两边及夹角对应相等（“边角边”或“SAS”）
[注意]：这个角一定是两个边的夹角
③两角及夹边对应相等（“角边角”或“ASA”）
④两角及一角对边对应相等（“角角边”或“AAS”）
⑤一直角边及一斜边对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）——只用于直角△
注意：
AAA——三角对应相等的两个三角形不一定全等；
SSA——两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
【典型例题】
一、挖掘“隐含条件”判全等
例1.
①如图（1），AB＝CD，AC＝BD，则与∠ACB相等的角是
，为什么？
②如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC。
若∠B＝20°，CD＝5cm，则∠C＝
，BE＝
。
③如图（3），若OB＝OD，∠A＝∠C，若AB＝3cm，则CD＝
分析：一些题目中，经常会有一些公共边、公共角，以及对顶角这些“隐含的条件”
解：①∠ACB＝∠DBC
②∠C＝20°，BE＝5cm
③CD＝3cm
二、熟练转化“间接条件”判全等
例2.
①如图（4）AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE，△AFD与△
CEB全等吗？为什么？
②如图（5）∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
③“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量，就知道∠ABC＝∠ADC。请用所学的知识给予说明。
分析：从结果入手寻找条件也是证明全等三角形的一种思路。这样就要求我们熟记四种判定的条件。
解：①△AFD与△
CEB全等。∵AE＝CF
∴AE－FE＝CF－FE
即AF＝CE
②△ABC与△ADE全等。
∵∠CAE＝∠BAD
∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB
即∠CAB＝∠EAD
③连结AC
三、体验感受条件开放题
例3.
填空：如图（7）请你选择适合的条件填入空格中，使两个三角形全等。
①因为DF＝DF，
，
，根据
，
可知△DEF≌△DGF。
②因为DF＝DF，
，
，根据
，可知△DEF≌△DGF。
③因为DF＝DF，
，
，根据
，
可知△DEF≌△DGF。
④因为DF＝DF，
，
，根据
，可知△DEF≌△DGF。
分析：涉及到三角形一条边的判定，四种均可，只是在“边角边”这个判定中，再选一条边，则角也就必须是它们的夹角。
解：①∠EDF＝∠GDF，DE＝DG
理由：SAS
②∠EDF＝∠GDF，∠EFD＝∠GFD
理由：ASA
③∠EDF＝∠GDF，∠E＝∠G
理由：AAS
④DE＝DG，EF＝GF
理由：SSS
说明：答案不唯一。三角形的六要素均可考虑。
四、体验感受结论开放题
例4.
如图（8）△ABE≌△ACD，由此你能得到什么结论？（越多越好）图
分析：先确定哪对三角形全等，再根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。再由推得的边角推导出其他三角形的全等。
解：由△ABE≌△ACD知：AB＝AC、BE＝CD、AD＝AE、∠BAE＝∠CAD、∠B＝∠C、∠AEB＝∠ADC
由BE＝CD知：BD＝CE
由∠BAE＝∠CAD知：∠BAD＝∠CAE
由∠AEB＝∠ADC知：∠AEC＝∠ADB
则综合上述边角可得：△ABD≌△ACE
五、体会应用
例5.
已知：A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请你给出一个合适可行的方案，画出设计图说明依据。
方案一：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。
证明：在ΔABC与ΔDEC中，
方案二：如图，先作三角形ABC,再找一点D，使AD∥BC，并使AD＝BC，连结CD，量CD的长即得AB的长
解：连接AC，由AD∥CB，可得∠1＝∠2。
在ΔACD与ΔCAB中
方案三：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长AD至C，使CD＝AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。
解：在RtΔADB与RtΔCDB中
六、利用辅助线解题——补短法、截长法：
例6.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，交BC于D点。试探索AC、CD和AB的关系。
解法一：（补短法）在Rt△ABC中，由勾股定理知：
又AC＝BC
∴，∠B＝45°
延长AC到F，使得AF＝AB，
∵AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠FAD
∴CF＝AF－AC＝（）AC
而∠DCF＝180°－∠ACB＝90°
∴在Rt△DCF中，CD＝
CF＝（）AC
综上可得：AC：CD：AB＝1：（）：
解法二：（截长法）
同解法一得：，∠B＝45°
在AB上取一点E，使得AE＝AC
而∠BED＝180°－∠AED＝90°
∴在Rt△BED中，
DE＝BE＝AB－AE＝（）AC
∴CD＝DE＝（）AC
综上可得：AC：CD：AB＝1：（）：
说明：巧妙地做辅助线可以帮助我们处理问题。
七、深化拓展（感受中考）
例7.
已知：A、F、C、D四点在同一直线上，AC＝DF，ABDE
⑴求证：△ABC≌△DEF
⑵求证：∠CBF＝∠FEC
证：⑴∵
AB∥DE
∴∠D＝∠A
⑵∵AC＝DF
∴AC－FC＝DF－FC，即AF＝DC
由⑴可得：∠ABC＝∠DEF
∴∠ABC－∠ABF＝∠DEF－∠DEC，即∠CBF＝∠FEC。
说明：此题的难点在第二问。这里需要我们分别通过两个全等三角形的对应角相等来凑∠CBF与∠FEC。
例8.
在△ABC中，AB＝AC，⑴求证：∠B＝∠C；
⑵BD＝CE，∠DEF＝∠B，试找出和△BDE全等的三角形，并予以证明.
分析：（2）入手点：∠DEC＝∠B+∠BDE（三角形外角＝不相邻的两个内角和）
⑴证：∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B＝∠C
⑵解：△BDE≌△CEF
∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∠DEF＝∠B
∴∠CEF＝∠DEC－∠DEF＝∠DEC－∠B＝∠BDE
例9.
如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，点C在AD上，AE的延长线交BD于点F，请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程.
分析：等腰直角三角形的两个直角边是相等的。则只要把一个等腰直角三角形的两个直角边分别放到两个三角形中即可。
解：△ACE≌△BCD
证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°
∴△ACE≌△BCD（SAS）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.
下面的四组条件中，不能确定两个三角形全等的一组是（　　）
A、两个三角形的两边一角对应相等　　
B、两个三角形的两角一边对应相等
C、两个三角形的三边对应相等　　　　
D、两个三角形的两边及夹角对应相等
2.
如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论：
（1）AS＝AR，（2）QP∥AR，（3）△BRP≌△QSP中。（　　　）
A、全部正确
B、仅（1）和（2）正确
C、仅（1）正确
D、仅（1）和（3）正确
3.
如图，D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A、AD＝AE　B、∠AEB＝∠ADC　C、BE＝CD　D、AB＝AC
4.
如图，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°点B、C、D在同一直线上，则图中∠ACE的度数是（　　）
A、38°　　B、48°　　C、132°　D、62°
5.
如图，△AFC≌△DEB且AF＝DE，下列结论不正确的是（　　）
A、∠1＝∠2　　B、AC＝DB　　C、AB＝DC　　D、∠B＝∠C
6.
如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件：　　　　　时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）
7.
如图，△AEB≌△ADC，C和B是对应的顶点，∠B＝25°，∠AEB＝135°，则∠A＝
　　°，∠C＝　　°，∠ADC＝　　　°
8.
已知，如图在△ABC中，AD平分∠BAC，ADBC，则△ACD≌△ABD的根据是
　　　　　　
9.
已知如图，AB＝EC，BF＝CD要证△ABF≌△ECD，只需补充条件　
　＝FD或AB∥EC和　　　∥　　　　。
10.
如图CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有　　　对。
11.
木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像如图所示那样，钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD两个木条）这样做根据的数学道理是　　　　　　　　　　　　　　。
12.
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？小明的思考过程如下：（①）
△ABC≌△ADE（②）
∠B＝∠D（③）
试把每步的理由写在横线上。
（①）　　　　　　　　　　　　
（②）　　　　　　　　　　　　
（③）　　　　　　　　　　　　　
13.
如图，有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片接成的平面图形中，有　　个不同的四边形。
14.
如图，在△ABC
中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：
，使△AEH≌△CEB。
15.
如图，A、B两点在一座小山的两侧，现有皮尺足够长和足够用的木杆，请你用学过的几何知识设计一种方法，求出A、B两点之间的距离（简要说明设计方法和理由）
16.
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：⑴△ABE≌△CDF；⑵BE∥DF。
17.
如图，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，AD⊥m，BE⊥m，垂足分别为D、E。试探索AD、BE、DE的大小关系。
18.
如图，A，B，C三点在同一直线上，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，AE交BD于点F，DC交BE、AE于点G、H，问：（1）AE与DC相等吗？
（2）BF与BG相等吗？
【试题答案】
1.
A
2.
B
3.
B
4.
B
5.
D
6.
或
7.
8.
ASA
9.
AE，DC//BF
10.
4对
11.
三角形的稳定性
12.
①已知
②SAS
③全等三角形对应角相等
13.
3个
14.
AH＝CB（或AE＝CE或
HE＝BE）
15.
略
16.
证：（1）∵
AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD
∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD
（2）由（1）可得∠AEB＝∠CFD
而∠AEB+∠FEB＝180°，∠CFD+∠EFD＝180°
∴∠FEB＝∠EFD
∴BE∥DF
17.
解：∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ACB＝90°，AC＝CB
∵AD⊥m，BE⊥m
∴∠CAD+∠ACD＝90°
，∠BCE+∠CBE＝90°
又∠ACD+∠BCE＝180°－∠ACB＝90°
∴∠CAD＝∠BCE
∴AD+BE＝CE+DC＝DE
18.
解：（1）AE与DC相等
∵ΔABD和ΔBCE是等边三角形
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝60°，∠EBC＝60°
而∠ABE＝180°－∠EBC，∠DBC＝180°－∠ABD
∴∠ABE＝∠DBC
（2）BF与BG相等
由（1）可得∠EAB＝∠CDB
∠DBG＝180°－∠ABC－∠EBC＝60°
∴∠DBG＝∠ABF