辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导暑假专题—二元一次方程组综合提高讲学案苏科版

暑假专题——二元一次方程组综合提高
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
二元一次方程组综合提高
通过解一些较为复杂的二元一次方程组，提高解题能力。
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 解可以换元的二元一次方程组。
2. 解字母系数的二元一次方程组。
3. 列二元一次方程组解应用题。
【解题方法指导】
例1. 已知。
求关于的方程组的解。
分析：先解的解，代入另一方程组，求。
解：
，得
代入①，得
将代入到中，得

∴
评析：此题是两个方程组形成阶梯式形式，第一个方程组是为第二个方程组作准备的。
例2. 解方程组：
分析：此题可有两种解法，一种是把方程组加以整理，化为关于的二元一次方程组；另一种是将看作m，看作，求出后再求，这是一种换元法。
解法一：原方程化为：
解得
解法二：设，，得

解得
∴
解得
评析：换元法是一种重要的数学方法，通过换元，使方程或方程组转化为较为简单的形式，从而化难为易，化繁为简。21·cn·jy·com
※例3. 解方程组：
分析：若采用去分母的方法去解，将会出现二次项，从而加大解题难度。我们把方程组看成，如果用，换元，将化为整式方程组去解。
解：设，原方程组变为：

解得
即
∴
评析：此方程组称为分式方程组，以后还要进一步学习，通过换元，可以使它转化为二元一次方程组。这里只是为了使同学们见一见换元法解其他方程组的方法，开阔一下眼界，如果有困难，可在以后继续学习。【来源：21·世纪·教育·网】
【考点突破】
【考点指要】
二元一次方程组在数学中是很重要的基础知识，无论是求函数解析式，还是解决实际问题都经常用到。正因为如此，在中考试题中出现的频率很高，但大多是基础的题目。对于技巧性较强的题目，考的机会不是太高。通过列二元一次方程组解应用题的题目却大量出现，不但考查了二元一次方程组的解法，而且考查了列方程组解应用题的能力。21·世纪*教育网
【典型例题分析】
例1. 设，当时，；当时，。求的值。
分析：此题从形式上看还不是二元一次方程组，但把代入到中，便得到一个二元一次方程组。
解：∵当时，；当时，，
∴可得方程组：
解关于的方程组，得

评析：此题的实质还是二元一次方程组，不要受形式所蒙蔽。
例2. 用两种方程解二元一次方程组：

分析：第一种方法是把方程组整理为关于的二元一次方程组；
第二种方法是通过换元，转化为新的二元一次方程组。
解法一：原方程整理为：

解得
解法二：设，，则原方程化为

即
解得
代回所设，即：
解得
评析：两种方法都是为了将方程组转化为比较简单的形式，从而使解法较为简单，减少失误。
例3. 某幼儿园小班共有儿童若干人，有一筐桔子要分给这些儿童。如果每人分6个，则还差6个桔子；如果每人分5个，则多出了5个桔子，问有多少个儿童，多少个桔子？
分析：可以设幼儿园有儿童x人，桔子y个，据题意，可列出二元一次方程组，解这个方程组即可。
解：设该幼儿园小班共有儿童x人，筐中的桔子有y个。
据题意，得
即
①－②，得
代回①，得
∴
答：共有儿童11人，桔子60个。
评析：在列方程中，仔细思考题意，比如为什么，不要搞错。
例4. （2005年呼和浩特市）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？21教育网
分析：此题可设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，由条件可得，要注意是整个鸽群的数目，解方程组求解。2·1·c·n·j·y
解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子
根据题意，得
整理，得
解得
答：树上有7只鸽子，树下有5只鸽子。
例5. 为了促销，甲、乙两种商品降价出售，甲种商品七折优惠，乙种商品九折优惠，共卖出386元；这两种商品促销前售价之和为500元。问这两种商品原售价分别为多少元？
分析：七折即按原价的70%，九折即按原价的90%，弄清这一概念后，可列方程组去解。
解：设甲、乙两种商品原售价分别为x元，y元
根据题意，得
整理得
即
解得
答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元。
评析：打折问题在现实问题中经常出现，但在解题过程中，要能将70%转换为，90%转换为，计算起来比较容易。21cnjy.com
【模拟试题】
1. 若方程组的解是，求a、b的值。
2. 若一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是5，则符合条件的两位数的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知，计算的值。
4. 方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
5. 根据下图给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价值。
6. 某人从甲地去乙地，去时每小时走12千米，回来时每小时走8千米，则往返一次的平均速度为（ ）www.21-cn-jy.com
A. 10千米/时 B. 9.8千米/时
C. 9.6千米/时 D. 9.4千米/时
7. 一个两位数数字的和为8，若每个数字都加上1，则得到的数比原数的2倍小6，求这个两位数。
8. 一项工程，甲队做40天可完成，乙队做50天可完成，现由甲队先做，后甲队有事撤出，由乙队接替，共做了46天完成，问甲、乙二队各做了多少天？21世纪教育网版权所有
【试题答案】
1.
简解：将代入，得
求得
2. C
简解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为
当时，，两位数为50；
当时，，两位数为41；
当时，，两位数为32；
当时，，两位数为23；
当时，，两位数为14；
当时，，组不成5位数，
∴共有5个两位数。
3.
解：由，解得
∴
4. A
解：将原式改换成
整理，得
即
解得
故选A。
5.
解：设每件T恤衫x元，每瓶矿泉水y元

解得
6. C
解：设甲、乙两地的距离为a千米，甲去时所用时间为x小时，回来所用时间为y小时，则

则
往返一次的平均速度为（千米/时）
故选C。
7. 17
解：设原数个位数字为x，十位数字为y
则
整理，得
解得
8. 甲16天，乙30天
解：设甲队工作了x天，乙队工作了y天

即

解得