辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导一元一次方程的应用（2）讲学案苏科版

一元一次方程的应用（2）
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
一元一次方程的应用（2）
（等积变形问题、比例分配问题、工程问题、路程问题）
二.
重点、难点：
灵活应对各种类型的应用题，抓住题目中的“总线”
三.
知识巩固
实际问题中，常见的a＝bc型数量关系。
（1）总价＝单价×货物数量；
（2）利息＝利率×本金；
（3）路程＝速度×时间；
（4）工作量＝效率×时间；
（5）质量＝密度×体积。
【典型例题】
一.
等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积＝成品体积。
例1.
现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
分析：等量关系为：机轴的体积和＝钢坯的体积。
解：设可足够锻造x根机轴，
由题意得，
解得x＝
x＝＝40
答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
二.
比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为x
,利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和＝总量。
例2.
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。
等量关系为：（甲日产量＋丙日产量）－12＝乙日产量的2倍。
解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产×3x件（即件），由题意得，
4x＋－12＝2×3x
解得：x＝24
∴4x＝4×24＝96（件），3x＝3×24＝72（件），＝×24＝60（件）
答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。
三.
工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例3.
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析：设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量＋乙完成工作量＝工作总量。
解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，
由题意得，(＋)×3＋＝1，
解这个方程，＋
＋＝1
12＋15＋5x＝60
5x＝33
∴x＝＝6
答：乙还需6天才能完成全部工程。
例4.
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
分析：等量关系为：甲注水量＋乙注水量－丙排水量＝1。
解：设打开丙管后x小时可注满水池，
由题意得，(＋)(x＋2)－＝1
解这个方程，(x＋2)－＝1
21x＋42－8x＝72
13x＝30
∴
x＝＝2
答：打开丙管后2小时可注满水池。
例5.
整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部份人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：这里可以把总工作量看作1。
解：设先安排x人工作4小时，根据两段工作量之和应是总工作量，得
去分母，得4x＋8(x＋2)＝40
去括号，得4x＋8x＋16＝40
移项及合并，得12x＝24
x＝2
答：具体应先安排2人工作。
四.
路程问题：
路程问题中的三个量及其关系为：路程＝速度×时间
有时候有些题目不是单纯的速度与时间的关系。但是本质是相似的。
例6.
妈妈的工厂距离小新家3千米，小新11点骑车去接妈妈。已知小新骑车的速度是4千米/时，妈妈骑车的速度是6千米/时，他们同时出发，则他们在途中相遇需要多长时间呢？相遇后妈妈和小新立即又以4千米/时速度一起回家，请问他们到家时已经几点了？
分析：小新与妈妈相遇的时间＝他们相遇后回来的时间
解：设他们相遇需要x小时，根据题意得，
4x＋6x
＝
3
解得x
＝
0.3
0.3×2
＝
0.6（小时）
0.6
×60
＝
36（分钟）
答：他们在途中相遇需要0.3小时；到家时已经11点36分钟了。
例7.
某市出租车的收费标准是：起步价为6元，起步里程3千米（3千米以内按起步价付费），3千米后每千米收1.5元。某人乘出租车从甲地到乙地共付费16.5元。求甲、乙两地的路程。
分析：因为16.5>6，所以路程一定超过3千米。所以付的费由两部分组成：一是6元的前3千米，二是每千米1.5元的后面几千米。
解：设超过3千米以后又行驶了x千米，则甲、乙两地的路程为（3＋x）千米。由题意得
6＋1.5x＝16.5
解得x＝7
∴3＋x＝10（千米）
答：甲、乙两地的路程为10千米。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
一项工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？若设剩下的部分需x小时完成，则可列方程为（
）
A、1＝
＋
－
B、＋
＝
C、20x＋12x＝1－
D、1＝
＋
＋
2.
甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7∶6，甲用掉50元，乙用掉60元，二人余下的钱数之比是3∶2，则余下的钱数分别是（
）
A、140元，120元　　
B、60元，40元
C、90元，60元　　　
D、80元，80元
3.
某车间有26名工人，生产A、B两种零件，每人每天平均可生产A零件12个，或生产B零件18个，现有x人生产A零件，其余人生产B零件。要使每天生产的A、B两种零件按1∶2组装配套，问生产零件A要安排多少人，直接设元，据题意正确的方程是（
）
A、12x＝18(26－x)　　　　
B、2×12x＝18(26－x)
C、12(26－x)＝2×18x　　
D、18x＝12(26－x)
4.
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。该联络员共行驶了多少千米？
分析：联络员的速度总是不变的，关键在于求出他总共骑了多长时间。
5.
甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲每小时比乙快2千米，2小时后两人相距36千米，再过4小时后两人又相距36千米，求A、B两地的距离。
【试题答案】
1.
分析：这是工程问题，整个工程的工作量设为1，则甲乙二人所完成的工作量之和应等于整个工程的工作量，即＋＋＝1。故选D。
2.
分析：若设甲余下的钱数为3x元，则乙余下的钱数为2x元，甲所带的钱数为(3x＋50)元，乙所带的钱数为(2x＋60)元，由所带钱数之比是7∶6，即7(2x＋60)＝6(3x＋50)，4x＝120，x＝30，所以3x＝90，2x＝60，故选C。
3.
分析：若生产零件A要安排x人，则生产零件B要安排(26－x)人，每天可生产零件A（12x）个，零件B(18（26－x）)个，由两种零件按1∶2组装配套，即2×12x＝18(26－x)，
故选B。
4.
解：设（2）班经过x小时后两队相遇。则（1）班走了（x＋1）小时，由题意
6x＝4(x＋1)
解得：x＝2
∴12×2＝24（千米）
答：该联络员共行驶了24千米。
5.
解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x－2）千米/时，根据题意，得
4x＋4(x－2)＝72
∴
x＝10
∴x－2＝8
∴2×10＋36＋2×8＝72
答：A、B两地的距离为72千米。