辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导因式分解讲学案苏科版

因式分解
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
因式分解
因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，也正是因为因式分解以其广泛的应用性在初中数学中占有特殊重要地位，所以学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
二.
重、难点：
1.
理解因式分解的意义
2.
掌握因式分解的方法——提公因式法、公式法。
三.
知识要点：
1.
因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
1）因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2）因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。
3）因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解。
4）并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
2.
因式分解的基本方法
1）提公因式法。形如
2）运用公式法：
平方差公式：
完全平方公式：
3.
因式分解中的四大注意
1）首项有负常提负；
2）各项有“公”先提“公”；
如：把分解因式。
解：原式===
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如
的错误（错在哪里？）；
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
3）某项提出莫漏1，
4）括号里面分到“底”。
如：把分解因式。
解：原式=
这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉“1”。防止学生出现诸如：
的错误（错在哪里？）。
这里的“底”，指分解因式，必须指定数域范围内进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如：
的错误（错在哪里？）。
4.
因式分解中的六项错误
1）概念不明确，没有把一个多项式从整体上都化成整式相乘。
如：分解因式
误解：原式=
b(b－
2)－
3
正解：原式=(b+1)(b－
3)
2）解不彻底，没有在给定的范围内，分解到不能再分解不止。
如：分解因式x３+２x2－
３x
误解：原式=x(x2+２x－
３)
正解：原式=
x(x2+２x－
３)=
x(x+3)(x－
1)
3）步骤混乱，有公因式而不先提。
如：分解因式4－
36x2
误解：原式=(2+6x)(2－
6x)
正解：原式=4(1－
9x2)=4(1+3x)(1－
3x)
4）方法错误，有公因式而没提尽
如：分解因式a(x－
y)2－
a2(y－
x)
误解：原式=a[(x－
y)2－
a(y－
x)]=
a(x2－
2xy+y2－
ay+ax)]
正解：原式=
a(x－
y)2+a2(x－
y)＝a(x－
y)
[(x－
y)+a]=
a(x－
y)(x－
y+a)
5）当公因式即为某一项时，提后漏项而没补位。
如：分解因式3x2－
6xy+x
误解：原式=x(3x－
6y)
正解：原式=x(3x－
6y+1)
6）不能正确运用公式，分组没有明确的目标即盲目分组。
如：分解因式1－
x2－
y2+2xy
误解：原式=(1+x)(1－x)－
y(y－
2x)
正解：原式=1－
(x2－
2xy+y2)=1－
(x－
y)2=(1+x－
y)(1－
x+y)
当然“搞错符号”也是初学者常见的错误之一，在这就不一一列举。要减少这些错误，我们应进一步明确因式分解的的概念，深刻认识因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练掌握因式分解的基本方法及掌握基本方法的灵活运用，这样才能尽可能避免这些错误。
【典型例题】
一.
提公因式法
例1.
因式分解下列各式
①
②
③
④
分析：①②找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂；③中（a－b）与（b－a）只有符号之差的应先调整后再提；④首项为“－”应转化为“+”，且注意
解：①原式
②原式
③原式
④原式
二.
运用公式法
例2.
把下列各因式分解
①
②
③
分析：①前后两项交换位置后可直接运用平方差公式；②连续两次运用平方差公式，直到每个因式都不能再分解为止。③先用完全平方公式后再用平方差公式；
解：①原式
②原式
③原式
三.
变形后分解因式：
因式分解，题型多样，方法多种，技巧性强。对于一些不能直接运用基本方法进行分解的多项式，就需要经过适当变形，创造条件进行分解，常用的基本变形方法有以下四种：
1.
改变符号
常用的变换关系有：
（1）；
（2）当n为奇数时，；
（3）当n为偶数时，；
例3.
分解因式2(x－y)2(a－b)－(y－x)3－(y－x)(b－a)2
解：原式=2(x－y)2(a－b)+(x－y)3+(x－y)(a－b)2
=(x－y)[2(x－y)(a－b)+(x－y)2+(a－b)2]
=(x－y)[(x－y)+(a－b)]2
=(x－y)(x－y+a－b)2
2.
去括号再组合
例4.
分解因式(ax+by)2+(bx－
ay)2
解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2－
2abxy+a2y2
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(a2y2+b2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
3.
加减变形
分解某些多项式，有时需要加上一个适当的项，同时又要减去这个项，这种既加又减，使其形变而质不变，起到变难为易，便于分妥的作用。
例5.
分解因式x4+4
解：(加上并减去4x2项，得)
原式=x4+4x2+4－
4x2
=(x2+2)2－
4x2
=(x2+2x+2)(x2－
2x+2)
4.
折项变形
采用拆项的方法，将要分解的多项式进行适当组合
例6.
分解因式x3+3x2－4
解法一：将3x2拆成2x2+x2
原式=x3+2x2+x2－4
=(x3+2x2)+(x2－4)
=x2(x+2)+(x+2)(x－2)
　　=(x+2)(x2+x－2)
　　=(x+2)(x+2)(x－1)
　　=(x+2)2(x－1)
解法二：将－4拆成－1－3
原式=x3+3x2－1－3
　　=(x3－1)+(3x2－3)
　　=(x－1)(x2+x+1)+3(x2－1)
　　=(x－1)(x2+x+1)+3(x+1)(x－1)
　　=(x－1)(x2+4x+4)
=(x－1)(x+2)2
四.
因式分解应用：
例7.
△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，
∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0
∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0.
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，
∴a－c＝0，即a＝c，△abc为等腰三角形。
例8.
求证：多项式的值一定是非负数。
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
设，则
即。
例9.
分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
=3（a+b）（b+c）（a+2b+c）
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
例10.
将
解：
∴
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
把下列各式因式分解
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦(y－x)(c－b－a)－(x－y)(2a+b－c)－(x－y)(b－2a)
⑧
⑨
2.
写出一个三项式，再分解因式（要求三项式只含有字母a、b系数，次数不限，且能先提公因式再用完全平方公式）。
3.
计算：
4.
在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：_____________(写出一个即可)。
5.
丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长。你知道哪一个体积较大吗？大多少？（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
【试题答案】
1.
解：①原式
②原式
③原式
④原式
⑤原式=
⑥原式=
=
=
⑦原式=(y－x)(c－b－a)+(y－x)(2a+b－c)+(y－x)(b－2a)
=(y－x)(c－b－a+2a+b－c+b－2a)=(y－x)(b－a)
⑧原式=2=2=
⑨原式=
=
[]=
=
2.
如：等
3.
2001000
4.
解：=，
当x=10，y=10时，
∴产生的一个密码是：101030（顺序可不同）
5.
解：，
∵，∴