辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算讲学案苏科版

有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算
二.
重点、难点：
1.
理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
2.
理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三.
知识要点
1.
有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：
a）
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
b）
任何数同0相乘，都得0。
［注意］：
①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：
a）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。
b）
几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
②
在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。
③
乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。
对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。
如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。
（2）
有理数乘法运算律
a）
交换律：
b）
结合律：
c）
分配律：
［注意］：
在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。
如：
2.
有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。
即a÷b=a×（b≠0）。
有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：
a）
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
b）
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
［注意］：
除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。
（2）
倒数
在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。
如：－2与－互为倒数，因为－2×（－）=1。
由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？
0没有倒数的原因有两个：
①若0能作除数，有=b（a≠0），则有0×b=a，这样的b不存在。
②若=b（a=0），则有0×b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，也就没有倒数。
3.
有理数的乘方
（1）乘方
一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
（2）幂
乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
如：（－5）2，底数是－5，指数是2，（－5）2=25，读作－5的二次方或－5的二次幂。
［注意］：
①一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常略去不写。
②二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，（－2）2=4，02=0可知“一个数的平方是一个非负数。”要注意（－2）4≠－24，，32≠3×2，32≠23，（2×3）2≠2×32
③由乘法法则可知：
a）正数的任何次幂都是正数；
b）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（3）科学记数法
一般地，一个大于10的数可以写成的形式，这种记数法称为科学记数法。
4.
有理数的混合运算
有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。若有括号，先算括号里面的。
【典型例题】
例1.
计算=
分析：－1的奇次方为－1，－1的偶次方则为它的相反数1；0的任何次方都为0。
解：原式=1+（－1）+1+0=1
例2.
若规定一种运算“
”：，如，，
那么的值等于
解：
例3.
根据二十四点算法，现有四个数3，4，－6，10，每个数用且只用一次进行加减乘除，使其结果等于24，则列式为
解：（答案不唯一）
例4.
计算①
②
分析：先确定符号。
①小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。
②小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。
解：①原式=
②原式=
例5.
①
②
分析：利用分配律进行计算。②小题把化为再利用分配律进行计算。
解：①原式=
②原式=
例6.
计算：①
②
③
分析：③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。
解：①原式=－1+0+6.5=5.5
②原式=
③原式=
例7.
计算①
②
分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。
①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。
解：①原式=
=
=
=
=
或：原式=
=
=
=
②原式=
=
=
例8.
计算
①
②
③
④
分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。
解：①原式=
②原式=
③原式=
④原式=
例9.
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求
值。
解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2.
所以=
当x=2时，原式==4－2－1=1；
当x=－2时，原式==4－（－2）－1=5。
例10.
半径是10cm
，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm
高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm
，30cm和20cm
的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少 （取3，容器厚度不算）
解：水桶内水的体积为×102×30
，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为：
（×102×30－2××32×6）
∴长方体容器内水的高度为：
（×102×30－2××32×6）÷（40×30）
=（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm
答：长方体容器内水的高度大约是7cm。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.
比较大小（用符号“＞”，“＜”或“=”连接＝
|－1|
|－2|
|（－1）×（－2）|，|－5－3|
|－5|－|－3|。
2.
n为自然数，则
，
。
3.
用四舍五入法得到2.14581精确到千分位的近似值是
；这时它的有效数字有
个；如果保留三个有效数字，它的近似值是
。
4.
设有理数a，
b
，
c
，满足a+b+c=0，abc>0，则a，b，c中正数的个数为
个。
5.
定义a⊙b=
是有理数范围内的一种运算，则⊙⊙=_________。
6.
计算：
1）5÷（－2）×（－）
2）。
3）
4）
5）
6）
7）
8）
7.
某小区有个圆形花坛的半径为3m，中间雕塑的底面是边长为1.2m
的正方形（如图）。计算实际种花的面积是多少
（取3）
8.
小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”点，他们互给对方的牌上的数字如下：①黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；②方块1，草花3，草花7和红桃12。请你帮他们凑成“24”点。
【课后阅读】
有理数混合运算中的六种错误
1.
概念不清
例1：计算：
错解：原式＝
分析：解错的原因是对乘方的概念认识不清，23表示3个2相乘，其结果是8，而不是指数与底数相乘；
犯了类似的错误。
正解：原式＝
2.
运算符号的错误
例2：计算：
错解：原式＝
分析：错解的原因是误认为－14＝（－1）4，事实上，（－1）4＝14与－14互为相反数。
正解：原式＝
3.
错用运算律
例3：计算：
错解：原式＝
分析：运用加法的交换律和结合律时，要连同前面的符号一起交换。
正解：原式＝
4.
对负分数理解不清
例4：计算：
错解：原式＝
分析：将负分数
错误地理解为
。负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即
正解：原式＝
　5.
5.
违背运算顺序
例5：计算：
错解：原式＝
分析：乘除是同级运算，应按从左到右的运算顺序进行。错误地先计算了
，违背了运算顺序。
正解：原式＝
6.
违背去括号法则
例6：计算：
错解：原式＝
分析：错解的原因是去掉“－”和中括号时，没有将
改变符号。
正解：原式＝
【试题答案】
1.
=；＞。
2.
+1；－1。
3.
2.146；4；2.15。
4.
1
分析：若a，b，c全为正，则a+b+c=0不成立；a，b，c中有两个正一个负，则abc>0不成立；若a，b，c全为负，则a+b+c=0也不成立，所以a，b，c中只有一个正数。
5.
解：⊙=
（）⊙=
∴⊙⊙=1
6.
1）；
2）；
3）16
；
4）；
5）；
6）－4.73；
7）；
8）－1。
7.
解：
答：实际种花的面积是
8.
①
②（答案不唯一）