辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导有理数与数轴讲学案苏科版

有理数与数轴
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
有理数与数轴
理解有理数的概念是学习数学的基础，要从小学中“0是最小的数”中跳出来，这就要求我们要更新对于数的认识，尤其要结合生活，理解负数的概念。数轴的引入让我们把数与形结合了起来，利用数轴去理解相反数、绝对值，更为下面学习有理数的运算作好了铺垫。
目标：
1.
理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
2.
借助数轴理解绝对值和相反数的意义，会求有理数的绝对值与相反数。
二.
重点、难点：
1.
经历把生活中意义相反的量用正、负数表示，体验数感。
2.
通过对有理数的分类，初步形成分类的思想。
3.
借助数轴，体会“数形结合”。
三.
过程
（一）通过生活
思考数学
1.
篱笆
如图，一边靠校园院墙，另外三边用12m长的篱笆，打算围成一个长方形兔圈。请你探究：怎样围可使小兔的活动范围较大？
设矩形一边为a，另一边为b，且2a+b=12，则
a（）
b（）
S=ab（）
1
10
10
2
8
16
3
6
18
4
4
16
5
2
10
由表格观察得：当a=3m，b=6m时，S有最大值。
2.
火柴棒
按下列方式，用火柴棒搭成三角形
根据上图填下表
三角形个数
1
2
3
4
……
100
……
火柴棒根数
3
5
7
9
……
？
……
你觉得当三角形个数很多时，还能用逐个数的方法来填表吗？
当三角形的个数是n时，火柴棒的根数为
2n+1
当三角形的个数是1000时，火柴棒的根数为多少？
3.
月历
观察月历，回答下列问题。
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
请你探究：①有阴影方框中的9个数与方框中间的数有什么关系吗？这个关系对任意一个这样的方框都成立吗？
答：阴影方框中的9个数之和是方框中间的数的9倍。对任意一个这样的方框都成立。
②这9个数的和可能为189吗？可能为108吗？为什么？
答：这9个数的和可能为189，中间一个数为；这9个数的和不可能为108，因为，而12在最右边，不是中间的数。
你想到了吗？
（二）有理数
1.
正、负数的概念
（1）
正数：大于0的数叫做正数。
小学算术中学过的数（除了0）都是正数。
如：3，0.78，，200％（也可写作+3，+0.78，）等是正数。它们都比0大。
（2）
负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。
如：－33，－3.141592，等是负数。它们都比0小。
2.
有理数的分类
正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。（数学上，有理数是两个整数的比，通常写作，这里
b
不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。）
（1）按整数分数关系分类　
　
　（2）按正数、负数与0的关系分类
3.
生活中的有理数
具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。
1）如果汽车向西行驶150m，记做+150m，那么向东行驶55m，就记做－55m。
2）零度以上的气温用正数表示，零度以下的气温用负数表示。
3）水面比警戒线高4m，记做+4m，比警戒线低4m，记做－4m。河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。
（三）数轴
1.
数轴的定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴三要素：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。
2.
数轴的画法：
画数轴一般先取向右为正方向，原点和单位长度则由我们具体情况灵活选定它们的位置和大小。
注意：①原点在直线的位置可以是任意的，但必须确定并明确标记。
②在所画直线的最右端画一个向外的箭头表示正方向，负方向通常不需要表示。
③单位长度与单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，如：cm、m、km等。
④数轴的位置通常是水平的，但也可以是任意位置的。
3.
数轴的意义：
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数，有的点还表示无理数（八年级将会进一步学习），这个数轴也叫做“实数轴”。
（a）准确地在数轴上画出给出的有理数的点，表示指定数的点要用笔涂成小圆黑点。
如：给出，，0，0.5，3等，能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：
（b）对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。
如：指出下列图中A，B，C，D，E各点分别表示的有理数：
答：点A表示，点B表示，点C表示2，点D表示，点E表示。
4.
数轴的应用：
比较有理数的大小
有理数大小比较的法则：正数都大于０；负数都小于０；正数大于一切负数。总之，数轴上的点表示的数，右边表示的数比左边的大，特别地，两个负数比较大小，绝对值越大数反而小。
如下图：由a、b两点的位置知：
（四）绝对值与相反数
1.
绝对值
数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
如：。
2.
相反数
符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数。
规定：0的相反数是0。
互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。
3.
一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数的关系：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
即
0的绝对值是0。
4.
应用
两正数比较大小，绝对值大的那个数大；
两负数比较大小，绝对值大的那个数反而小。
【典型例题】
例1.
下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。
（1）前进2km记作+2km，那么－5km就表示后退－5km。（
）
（2）有理数中不是正数的数就是负数。（
）
（3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分。（
）
（4）负整数和非负整数统称为整数。（
）
分析：本例应准确把握互为相反意义的量的含义以及有理数的两种分类标准才能准确判断。
解：（1）（×）根据互为相反意义的量的含义，－5km应表示后退5km，后退－5km就表示前进5km。
（2）（×）有理数包括正数、负数以及0，而本小题忽视了0为有理数这一特殊情况。
（3）（√）“0”的标准我们可以根据具体情况而定，故本题80分相当于0分，所以80分以上为正，80分以下为负，故74分应记为－6分。
（4）（√）整数包括正整数、负整数、零，而非负整数指正整数和零。所以本题对整数的分类正确。
说明：对类似于本例的说理判断题，应注意灵活运用，全面把握各概念，否则易因考虑不周全，似是而非致错。
例2.
把下列各数填入相应的大括号内－7，3.01，300％，－0.142857，＋0.1，0，，。
（1）正整数集：{
……}
（2）分数集：{
……}
（3）正分数集：{
……}
（4）负分数集：{
……}
分析：正数集合包括所有的正整数和正分数；分数集合包括所有的正分数和负分数。
解：（1）正整数集：{300％，
……}
（2）分数集：{3.01，＋0.1，－0.142857，
……}
（3）正数集：{3.01，300％，＋0.1，
……}
（4）负分数集：{－0.142857，
……}
说明：本例是对有理数进行分类，做题之前首先要明确各集合的含义，特别是对于以分数和百分数形式出现的数应注意化简。如本例中的“300%”和“”经化简后为正整数。
例3.
判断正误，并说明理由。
（1）所有正数都是整数。
（2）在整数中除了正整数就是负整数。
（3）分数是有理数。
（4）正整数都是自然数。
（5）任何有理数都有倒数。
（6）没有最大的正数，但有最大的负数；
（7）没有最小的负数，但有最小的正数；
（8）有最大的负整数，也有最小的正整数；
（9）有最小的有理数是零。
答：（1）不正确。因为正分数是正数但不是整数。如是正分数，但它不是整数。
（2）不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。
（3）正确。因为整数和分数统称为有理数。
（4）正确。自然数包括全体正整数和0。
（5）不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。
（6）不正确。因为既没有最大的正数也没有最大的负数。
（7）不正确。因为既没有最小的正数也没有最小的负数。
（8）正确。因为最大的负整数是－1，最小的正整数是1。
（9）不正确。负数都比零小。
例4.
下列各图中，哪些是数轴？为什么？
答：只有（3）是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直线。
（1）不是数轴。因为它是曲线，不是直线。
（2）不是数轴。因为它没有单位长度。
（4）不是数轴。因为它是线段，不是直线。
（5）不是数轴。因为它的方向反了。
（6）不是数轴。因为它没有规定正方向。
例5.
在数轴上A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应将A点
（　
）
（A）向左移动5个单位　
　（B）向右移动5个单位
（C）向右移动4个单位　
　（D）向左移动1个单位或向右移动5个单位
答：A要由－2变成3，由数轴知，需向右移5个单位。∴选B
例6.
一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票，女儿按半价优惠”。乙旅行团告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的收费”，若这两家旅行社每人的原票价相同，那么，优惠条件是（　
）
（A）甲比乙更优惠　　（B）乙比甲更优惠　　（C）甲与乙相同　　（D）与原票价有关
分析：本题直接运算比较，易知甲用钱为原票价的2+=，乙用钱为原票价的=，将与比较易知大小，即可作出判定，从而选出正确选项。
答：选B。
例7.
有理数在数轴上的位置如图所示，
求：
分析：由数轴观察可知，，为正数，为负数。
则为较小数减去较大数，结果为负数；而负数的绝对值为其相反数，因此有；为较大数减去较小数，结果为正数，而正数的绝对值等于其本身，于是有；为负数，因此有。
解：
例8.
如果的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是（
）
（A）

（B）
（C）
（D）不存在
分析：的相反数为，则，所以a可以有两个取值，且这两个取值分别是它本身和它的相反数。
答：选C。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
把下列各数分别填在相应的大括号内：25，，－0.91，π，3.14，－7，0，－50，，9。
（1）整数集合：{
……
}
（2）分数集合：{
……
}
（3）正整数集合：{
……
}
（4）负整数集合：{
……
}
（5）正分数集合：{
……
}
（6）负分数集合：{
……
}
（7）正有理数集合：{
……
}
（8）负有理数集合：{
……
}
（9）有理数集合：{
……
}
2.
用正数、负数表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点。
（1）零上10℃与零下5℃；
（2）高于海平面100米与低于海平面200米。
3.
下列说法：
（1）零是正数；
（2）零是整数；
（3）零是最小的有理数；
（4）零是非负数；
（5）零是偶数。
其中正确说法的个数为（
）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
4.
－0.25的相反数是_______；倒数是_______；绝对值是_______。
5.
大于－5而不大于2的所有的整数是_______。
6.
在数轴上表示数2的点与表示数－5的点之间的距离是_______。
7.
把在数轴上表示－1的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_______。
8.
已知09.
如图，在数轴上有A、B、C三点对应的有理数是a、b、c，且有，下列不等式关系中错误的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
10.
甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米，－15米和－10米，那么最高的地方比最低的地方高（　　
）
（A）10米　
　
（B）25米　　
（C）35米　
　（D）5米
【试题答案】
1.
（1）整数集合：{
25，－7，0，－50，9
……
}
（2）分数集合：{
，－0.91，3.14，
……
}
（3）正整数集合：{
25，9
……
}
（4）负整数集合：{
－7，－50
……
}
（5）正分数集合：{
3.14，
……
}
（6）负分数集合：{
，－0.91
……
}
（7）正有理数集合：{
25，
3.14，，
9
……
}
（8）负有理数集合：{
，
－0.91，
－7，
－50
……
}
（9）有理数集合：{
25，，－0.91，3.14，
－7，
0，
－50，
，9
……
}
2.
解：（1）如果用正数表示零上温度，那么零上10℃就表示+10℃，零下5℃就表示为－5℃，它的分界点是0℃。
（2）如果用正数表示高出海平面的高度，那么高出海平面100米就表示为+100米，而低于海平面200米就表示为－200米，海平面就是它的分界点，用0表示。
3.
正确的是（2）（4）（5），所以选B。
4.
0.25；4；0.25
5.
－4，－3，－2，－1，0，1，2
6.
距离为正的，在数轴上表示的两个数2与－5，距原点的距离分别为2和5，所以所求距离为2+5=7
7.
2或－4（向左移3个单位为－4，向右移3个单位为2）。
8.
0∴为较小数减去较大数，结果为负数；而负数的绝对值为其相反数，因此有；而为正数，因此有，∴
9.
B
（采用特值法：不妨设）
10.
C
最高的地方是甲地海拔高度为20米，最低的地方是乙地海拔高度为－15米，所以高度差为：20+15=35米。
【课余思考】
1.
一个有理数减0所得的差是什么？
2.
两个有理数的差一定比被减数小吗？
3.
互为相反数的两个数，它们的和是多少？差是多少？
4.
两个数的和的相反数与这两个数相反数的和相等吗？
5.
怎样的两个数的积为0？
6.
一个数与－1的积是多少？
7.
什么数的平方等于它本身？
8.
什么数的平方等于4？
9.
一个数的平方能是负数吗？最小可能是多少？
10.什么数的立方等于－8？